一．选择题（共12小题）1．在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．2019年4月10日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的65亿倍，距离地球大约55000000年，将数据55000000用科学记数法表示为（）A．0.55×108B．5.5×108C．5.5×107D．55×1063．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列各运算中，计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（3a2）3＝9a6C．（a+b）2＝a2+b2D．2a•3a＝6a25．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．36．某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（）A．平均分是91B．众数是94C．中位数是90D．极差是8 7．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．8．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．97°B．116°C．122°D．151°9．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交x轴、y轴于点M、点N，再分别以点M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P（a，b），则a与b的数量关系为（）A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞010．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，由题意可列方程（）A．B．C．D．11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠ABD等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤二．填空题（共4小题）13．分解因式：x2﹣4＝．14．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m 的取值范围是．15．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为．16．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣2cos30°+（1﹣π）0+|﹣|．18．先化简，再求值：•+，其中a＝2．19．体育中考临近时，某校体育老师随机抽取了九年级的部分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．等级得分x（分）频数（人）A 95＜x≤100 4B 90＜x≤95 mC 85＜x≤90 nD 80＜x≤85 24E 75＜x≤80 8F 70＜x≤75 4请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）本次抽样调查中m＝，n＝；（2）扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角α的度数为；（3）该校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．20．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110米，那么该建筑物的高度BC约为多少米？（结果保留整数，≈1.73）21．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．（1）求证：△ABN≌△ADN；（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．23．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，连接BD和CD，求当△BCD面积的最大值时，线段ED的值；（3）在（2）中△BCD面积最大的条件下，如图3，直线x＝m上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣1＜0＜1，∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．2．2019年4月10日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的65亿倍，距离地球大约55000000年，将数据55000000用科学记数法表示为（）A．0.55×108B．5.5×108C．5.5×107D．55×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将55000000科学记数法表示为：5.5×107．故选：C．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．4．下列各运算中，计算正确的是（）A．a+a＝a2B．（3a2）3＝9a6C．（a+b）2＝a2+b2D．2a•3a＝6a2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；B、原式＝27a6，不符合题意；C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；D、原式＝6a2，符合题意．故选：D．5．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．3【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．故选：C．6．某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、89分，则下列结论正确的是（）A．平均分是91B．众数是94C．中位数是90D．极差是8 【分析】直接利用平均数、众数、中位数以及极差的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选项错误；B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项正确；C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项错误；D、极差是98﹣89＝9，故此选项错误．故选：B．7．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选A．故选：B．8．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．97°B．116°C．122°D．151°【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠EFD＝∠1＝58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，∵AB∥CD，∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．故选：D．9．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交x轴、y轴于点M、点N，再分别以点M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P（a，b），则a与b的数量关系为（）A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0【分析】利用基本作图得OP为第二象限的角平分线，则点P到x、y轴的距离相等，从而得到a与b互为相反数．【解答】解：利用作图得点OP为第二象限的角平分线，所以a+b＝0．故选：A．10．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，由题意可列方程（）A．B．C．D．【分析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积．【解答】解：第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．方程应该为：，故选：C．11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠ABD等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】由圆周角定理可知：∠ADB＝90°，求出∠OAD即可解决问题．【解答】解：∵∠BOC＝110°，∴∠AOC＝180°﹣110°＝70°，∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAB＝70°，∵AB是直径，∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°，故选：A．12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（1，3），且与x轴有一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．二．填空题（共4小题）13．分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．14．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第一象限内，则m 的取值范围是m＞2 ．【分析】根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．【解答】解：由第一象限点的坐标的特点可得：，解得：m＞2．故答案为：m＞2．15．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为（2+2，2）．【分析】过C作CE⊥OA，根据“∠AOC＝45°，OC＝2”可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出．【解答】解：过C作CE⊥OA于E，∵∠AOC＝45°，OC＝2，∴OE＝OCcos45°＝，CE＝OCsin45°＝2，∴点B的坐标为（2+2，2）．16．如图，Rt△OAB的边AB延长线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，连接OC，且∠AOB＝30°，点C的纵坐标为1，则△OBC的面积是．【分析】过点C作CH⊥x轴于H，先求出点C坐标，可得CH＝1，OH＝3，由直角三角形的性质可求BH＝，可求OB的长，由三角形面积公式可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H，∵点C在反比例函数图象上，点C的纵坐标为1，∴点C（3，1）∴CH＝1，OH＝3，∵∠ABO＝∠CBH，∠A＝∠BHC＝90°，∴∠HCB＝∠AOB＝30°，∴CH＝BH，∴BH＝，∴OB＝OH﹣BH＝，∴△OBC的面积＝×OB×CH＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣2cos30°+（1﹣π）0+|﹣|．【分析】先计算算术平方根、代入三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝3﹣2×+1+＝3﹣+1+＝4．18．先化简，再求值：•+，其中a＝2．【分析】先将原式利用因式分解的方法、分式的乘法和加法法则化简，再将a＝2代入计算即可．【解答】解：•+＝•+，＝+＝，∵a＝2，∴原式＝＝．19．体育中考临近时，某校体育老师随机抽取了九年级的部分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．等级得分x（分）频数（人）A 95＜x≤100 4B 90＜x≤95 mC 85＜x≤90 nD 80＜x≤85 24E 75＜x≤80 8F 70＜x≤75 4请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）本次抽样调查中m＝12 ，n＝28 ；（2）扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角α的度数为36°；（3）该校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．【分析】（1）用D组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以B组所占的百分比得到m的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到n的值；（2）用E组所占的百分比乘以360°得到α的值；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）24÷30%＝80，所以样本容量为80；m＝80×15%＝12，n＝80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4＝28；故答案为12，28；（2）E等级对应扇形的圆心角α的度数＝×360°＝36°，故答案为：36°；（3）画树状图如下：共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，所以恰好抽到甲和乙的概率＝＝．20．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110米，那么该建筑物的高度BC约为多少米？（结果保留整数，≈1.73）【分析】根据题意可得AD⊥BC，再根据特殊角三角函数即可求出该建筑物的高度BC．【解答】解：根据题意可知：AD⊥BC，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110，在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，∴tan60°＝，即＝，解得BC＝110（+1）≈300（米）．答：该建筑物的高度BC约为300米．21．如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．（1）求证：△ABN≌△ADN；（2）若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝a，求点M到AD的距离及tana的值．【分析】（1）△ABN和△ADN中，不难得出AB＝AD，∠DAC＝∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．（2）通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得∠MDA＝∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠1＝∠2．又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN（SAS）．（2）作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH＝∠ABC＝60°．在Rt△AMH中，MH＝AM•sin60°＝4×sin60°＝2．∴点M到AD的距离为2．∴AH＝2．∴DH＝6+2＝8．在Rt△DMH中，tan∠MDH＝，由（1）知，∠MDH＝∠ABN＝α，∴tanα＝．22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．【解答】解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），∴x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，答：x的值为12或16；（2）∵AB＝xm，∴BC＝28﹣x，∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28﹣15＝13，∴6≤x≤13，∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，答：花园面积S的最大值为195平方米．23．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，连接BD和CD，求当△BCD面积的最大值时，线段ED的值；（3）在（2）中△BCD面积最大的条件下，如图3，直线x＝m上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决即可．（2）设D（m，m2﹣m﹣2），直线直线BC的解析式，求出点E的坐标，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．（3）连接BC，易证△BOC∽△COA，进而可得出BC⊥AC，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC，AC的解析式，设点Q的坐标为（2，n），由平行线的性质可得出过点Q且垂直AC 的直线的解析式为y＝x+n﹣1，联立该直线与AC的解析式成方程组，通过解方程组可求出交点的坐标，再由该点到点Q的距离等于线段OQ的长度可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）设D（m，m2﹣m﹣2），∵C（0，﹣2），B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴E（m，m﹣2），∴DE＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，∴S△BCD＝•DE•OB＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴m＝2时，△BDC的面积最大，此时DE＝﹣×22+2×2＝2．（3）如图3中，连接BC．∵＝＝2，∠BCO＝∠COA＝90°，∴△BOC∽△COA，∴∠OBC＝∠OCA．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°＝∠ACB，∴BC⊥AC．∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，设点Q的坐标为（2，n），则过点Q且垂直AC的直线的解析式为y＝x+n﹣1．联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴两直线的交点坐标为（，）．依题意，得：（2﹣0）2+（n﹣0）2＝（﹣2）2+（﹣n）2，整理，得：n2﹣3n﹣4＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝4，∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．综上所述：在这条直线上存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．。
数学一、选择题（每题4分，共40分） 1.3的相反数是 A. -3B. 0C. 13D. 32.中国的领水面积约为2370000km ，将370000用科学计数法表示为 A. 43710⨯B. 43.710⨯C. 53.710⨯D. 60.3710⨯3.将单项式3m 与m 合并同类项，结果是 A. 4B.4mC. 23mD. 24m4.图1是由三个正方体组成的几何体，它的主视图是A. B. C. D.图15.有一组数据：35,36,38,40,42,42,75.这组数据的中位数是 A. 39B. 40C. 41D. 426.若多项式22x x n ++是完全平方公式，则常数n 是 A. -1B.14C.12D. 17.在平面直角坐标系中，若点(0a ，)在y 轴的负半轴上，则点(2,1a --)的位置在主视方向A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是A. B. C. D.9.如图2，六边形ABCDEF 是正六边形，点P 是边AF 的中点，,PC PD 分别与BE 交于点,M N ,则:PBMMCDNS S 四边形的值为A.12B.32C.33D.23图210.函数224y x bx =++的图像与x 轴两个交点的横坐标分别为12,x x ，且11x ＞，214x x -=，当13x ≤≤时，该函数的最小值m 与b 的关系式是A. 25m b =+B. 48m b =+C. 613m b =+D. 24m b =-+二、填空题（每题4分，共24分）NM FEA B11.3|2|＋－＝.12.如图3，AB AC =，AD BC ∥，50DAC =︒∠，则B ∠的度数是.13.某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生“阅读之星”的称号。
初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表一所示：表一可以估计该年级学生获得此称号的概率是.14.如图4，四边形ABCD ，CEFG 都是正方形，点G 在边CD 上，它们的面积之差为251cm ，且17BE cm =，则DG 的长为cm .图4AC15.图5是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中OC 为桌面（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架AO 与灯管AB 的长度都为30cm ，且夹角为150︒（即150BAO ∠=︒），若保持该夹角不变，当支架AO 绕点O 顺时针旋转30︒时，支架与灯管落在11OA B 位置（如图6所示），则灯管末梢B 的高度会降低_______cm .图5OA图6OA16.如图7，点P 在双曲线2(0)k y x x =＞上，PA x ⊥轴于点A ,PB y ⊥轴于点B ,,PA PB 分别与双曲线221(0,0)ky k k x x=＜＜＞交与点,C D ,DN x ⊥轴于点N ，若3PB PD =,2PDNC S =四边形,则1k =.图7三、计算题17.（本题满分8分） 解不等式组30215x x x-≤⎧⎨+>--⎩18. (本题满分8分) 先化简再求值：()2111m m ⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭，其中1m =-.19．（本题满分8分）如图8，四边形ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，证明BE DF =.B图820.(本题满分8分)如图9，在ABC ∆中，90B ∠=︒，点D 在边BC 上，连接AD ，过点D 作射线DE AD ⊥.(1) 在射线DE 上求作点M ，使得ADM ABC ∆∆，且点M 与点C 是对应点；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的条件下，若2cos 3BAD ∠=, 6BC =，求DM 的长.图921.（本题满分8分）探测气球甲从海拔0m 处出发，与此同时，探测气球乙从海拔6m 处出发.图10中的,12l l 分别表示甲、乙两个气球所在位置的海拔s （单位:m ）与上升时间t （单位：min ）之间的关系. （1）求2l 的函数解析式；BCD（2）探测气球甲从出发点上升到海拔16m 处的过程中，是否存在某一时刻使得探测气球甲、乙位于同一高度？请说明理由.图1022.（本题满分10分）四边形ABCD 是矩形，点P 在边CD 上，=︒∠PAD 30，点G 与点D 关于直线AP 对称，连接BG .（1）如图11，若四边形ABCD 是正方形，求∠GBC 的度数； （2）连接CG ,设,,AB a AD b ==探究当=︒∠CGB 120时a b 与的数量关系.1/min图1123.（本题满分10分）某公司有500名职员，公司食堂供应午餐.受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间.为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂。
一．选择题（共10小题）1．2021模拟的相反数是（）A．2021模拟B．﹣2021模拟C．D．2．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米，用科学记数法表示154纳米是（）A．1.54×10﹣7米B．1.54×10﹣9米C．0.154×10﹣6米D．154×10﹣9米3．一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，在该正方体中，和“国”字相对的字是（）A．武B．汉C．加D．油4．在一次数学竞赛活动中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10．则关于这组数据的结论不正确的是（）A．众数是5B．平均数是6C．中位数是5D．中位数是3 5．如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．4：9B．1：3C．1：2D．2：36．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO 上，两条斜边互相平行，∠O＝∠BCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠ACB等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A（4，3）按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，1）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）9．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c ＜0中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．计算：（π﹣3）0+（﹣）2＝．12．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是13．一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取2个小球，则恰为一个红球，一个白球的概率为．14．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．15．如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM ＝1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P．当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．17．某校为了调查学生预防“新型冠状病毒”知识的情况，在全校随机抽取了一部分学生进行民意调查，调查结果分为A，B，C三个等级，其中“A：非常了解”、“B：了解”“C：不了解”，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：（1）这次抽查的学生为人；（2）求等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）若该校有学生2200人，请根据抽样调查的结果、估计该校约有多少学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．18．已知，如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB于点A，点D 在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC＝DA，交圆O 于点C（A，C不重合），连接BC，CE．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）若四边形OECB是菱形，圆O的直径AB＝2，求AD的长．19．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）20．今年疫情防控期间，某小区卫生所决定购买A，B两种口罩，以满足小区居民的需要．若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元．（1）购买人A，B两种口罩每包各需多少元？（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n ≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB ＝2OA＝3OD＝12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F 是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；（2）探究问题．如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度23．如图，某二次函数的图象是一条顶点为P（4，﹣4）的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段OA于点M，点N在对称轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A的坐标是（6，﹣3），请直接写出MN的长；（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM 有什么数量关系？并证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．2021模拟的相反数是（）A．2021模拟B．﹣2021模拟C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2021模拟的相反数是：﹣2021模拟．故选：B．2．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米，用科学记数法表示154纳米是（）A．1.54×10﹣7米B．1.54×10﹣9米C．0.154×10﹣6米D．154×10﹣9米【分析】首先把154纳米转化为米，再利用绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：154纳米＝154×10﹣9米＝1.54×10﹣7米．故选：A．3．一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，在该正方体中，和“国”字相对的字是（）A．武B．汉C．加D．油【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“中”与面“加”相对，面“国”与面“汉”相对，“武”与面“油”相对．故选：B．4．在一次数学竞赛活动中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10．则关于这组数据的结论不正确的是（）A．众数是5B．平均数是6C．中位数是5D．中位数是3【分析】根据众数和中位数、平均数的定义分别计算可得．【解答】解：这组数据的众数是5，平均数为＝6，将数据重新排列为3、5、5、7、10，所以中位数为5，故选：D．5．如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．4：9B．1：3C．1：2D．2：3【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3．故选：D．6．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示即可得解．【解答】解：，解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞﹣1，在数轴上表示如下：．故选：D．7．如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C在边AO 上，两条斜边互相平行，∠O＝∠BCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，则∠ACB等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠FGC＝45°，再根据三角形外角的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵AF∥BE，∴∠B＝∠FGC＝45°，又∵∠A＝30°，∴∠ACB＝∠FGC﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故选：A．8．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A（4，3）按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，1）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B 的坐标即可．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，4）．故选：C．9．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠D＝∠A ＝60°；又BD＝2R，根据锐角三角函数的定义得BC＝R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，∴∠CBD＝30°，∵BD＝2R，∴DC＝R，∴BC＝R，故选：D．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c ＜0中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；根据对称轴方程得到b＝3a，则b+2a＝5a，再利用抛物线的开口向下得到a＜0，则可对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用x＝﹣1时，y＞0可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，∴b+2a＝5a，而抛物线的开口向下，∴a＜0，∴b+2a＜0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＜﹣，y随x的增大而增大，所以③正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以④错误．故选：C．二．填空题（共5小题）11．计算：（π﹣3）0+（﹣）2＝ 4 ．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+4＝4．故答案为：4．12．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤0且k≠﹣1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，解得k≤0且k≠﹣1．故答案为k≤0且k≠﹣1．13．一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取2个小球，则恰为一个红球，一个白球的概率为．【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出一个红球，一个白球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中一个红球，一个白球的结果数为12，所以恰为一个红球，一个白球的概率＝．故答案为．14．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是8﹣8 ．【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．【解答】解：连接AE，∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，∴sin∠AED＝，∴∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，∴AD＝DE＝2，∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．15．如图，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB上一点，且BM ＝1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连接MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为P．当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为1或5【分析】分两种情形：如图1中，当点P落在AC上时，解直角三角形求出AN即可．如图2中，当点P落在BC上时，利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．【解答】解：如图1中，当点P落在AC上时，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝3，BM＝1，∴AM＝2，∵∠ANM＝90°，∴∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝1．如图2中，当点P落在BC上时，∵∠BPN＝∠C+∠PNC＝∠BPM+∠MPN，又∵∠B＝∠C＝60°，∠A＝∠MPN＝60°，∴∠BPM＝∠PNC，∴△PBM∽△NCP，∴＝＝，∵AN＝PN，AM＝PM＝2，∴＝＝，解得AN＝5﹣或5+（舍弃），综上所述，AN的值为1或5﹣．故答案为1或5﹣．三．解答题（共8小题）16．先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，求出x 后代入，即可求出答案．【解答】解：原＝÷＝•＝﹣，∵x为整数，且满足0＜x＜，∴x为1或2，但是当x＝1时，分式无意义，所以只有x＝2，当x＝2时，原式＝﹣．17．某校为了调查学生预防“新型冠状病毒”知识的情况，在全校随机抽取了一部分学生进行民意调查，调查结果分为A，B，C三个等级，其中“A：非常了解”、“B：了解”“C：不了解”，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图，请根据统计图，解答下列问题：（1）这次抽查的学生为500 人；（2）求等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）若该校有学生2200人，请根据抽样调查的结果、估计该校约有多少学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．【分析】（1）利用B类人数除以所占百分比可得抽取总人数，计算即可得解；（2）根据用360°乘以A类所占的百分比可得答案；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．【解答】解：（1）280÷56%＝500（人），答：抽查的学生为500人，故答案为：500；（2）360°×＝118.8°，答：等级A在扇形统计图中所占圆心角的度数为118.8°；（3）2200×＝1958（人），答：该校约有1958名学生对预防“新型冠状病毒”知识已经了解．18．已知，如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB于点A，点D 在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC＝DA，交圆O 于点C（A，C不重合），连接BC，CE．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）若四边形OECB是菱形，圆O的直径AB＝2，求AD的长．【分析】（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD＝∠OAD＝90°；（2）依据菱形的性质得到OE＝CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO＝60°，依据平行线的性质可知∠DOA＝60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AM⊥AB，∴∠OAD＝90°．∵OA＝OC，OD＝OD，AD＝DC，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OCD＝∠OAD＝90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）∵四边形OECB是菱形，∴OE＝CE．又∵OC＝OE，∴OC＝OE＝CE．∴∠CEO＝60°．∵CE∥AB，∴∠AOD＝60°．在Rt△OAD中，∠AOD＝60°，AO＝AB＝＝1，∴AD＝．19．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）【分析】作CH⊥AB于H，得到BD＝CH，设CD＝x米，根据正切的定义分别用x表示出CH、ED，由题意列出方程，解方程即可．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图所示：则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH，BH＝CD，由题意得，∠ACH＝30°，∠DCE＝45°，设BH＝CD＝x米，则AH＝（12﹣x）米，在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝＝，∴HC＝AH＝（36﹣x）米，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，∴ED＝CD＝x米，∵CH＝BD＝BE+ED∴8.7+x＝36﹣x．∵≈1.73，解得x≈10．答：小华家阳台距地面高度CD的长约为10米．20．今年疫情防控期间，某小区卫生所决定购买A，B两种口罩，以满足小区居民的需要．若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元．（1）购买人A，B两种口罩每包各需多少元？（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）直接根据题意得出购买A种口罩9包+B种口罩4包的费用＝700，购买A种口罩3包+B种口罩5包费用＝380元，分别得出等式求出答案；（2）根据A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，得出购买A 种口罩的数量取值范围，进而结合一次函数的性质得出答案．【解答】解：（1）设购买A种口罩每包x元，B种口罩每包y元，根据题意可得：，解得：，答：购买A种口罩每包60元，B种口罩每包40元；（2）设购买A种口罩m包，则B种口罩（90﹣m）包，根据题意可得：m≥2（90﹣m），解得：m≥60，∵购买口罩的费用w＝60m+40（90﹣m）＝20m+3600，∵20＞0，∴m越小费用越低，∵m≥60，所以m＝60，90﹣60＝30，∴最省钱方案，A种口罩60包，B种口罩30包．21．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n ≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB ＝2OA＝3OD＝12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．【解答】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD＝20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n＝xy＝﹣80∴反比例函数解析式为：y＝﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得x1＝10，x2＝﹣4当x＝10时，y＝﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，∴由图象得，不等式kx+b≤的解集﹣4≤x＜0或x≥10．22．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F 是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；（2）探究问题．如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后由SAS证得△BGE≌△ECF，即可得出结论；（3）连接EF、过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，证明同（2），得出BE＝EF，证明∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，∠BEA＝30°，则AE＝2AB＝6，BE＝＝3＝EF，得出∠EBC＝∠EFB＝30°，∠BEF＝120°，则∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝90°，由勾股定理即可得出结果．【解答】解：（1）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，∴∠CBE＝∠F＝30°，∴BE＝EF；（2）猜想线段BE与EF的数量关系为：BE＝EF；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图②所示：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，△ABC与△ACD都是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，AB＝AC，∴∠ECF＝120°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝AE＝GE，∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF；（3）连接EF，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图③所示：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝AE＝GE，∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，又∵CF＝AE，∴GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∵∠ABC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BEA＝180°﹣∠ABE﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，在Rt△ABE中，∠BEA＝30°，∴AE＝2AB＝2×3＝6，BE＝＝＝3，∴EF＝3，∵BE＝EF，∴∠EBC＝∠EFB＝30°，∴∠BEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠AEF＝∠BEF﹣∠BEA＝120°﹣30°＝90°，由勾股定理得：AF＝＝＝3．23．如图，某二次函数的图象是一条顶点为P（4，﹣4）的抛物线，它经过原点和点A，它的对称轴交线段OA于点M，点N在对称轴上，且点M、N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A的坐标是（6，﹣3），请直接写出MN的长；（3）若点A在抛物线的对称轴右侧运动时，则∠ANM与∠ONM 有什么数量关系？并证明．【分析】（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出a的值，即可得出二次函数的关系式；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，将A点代入，求出直线OA 的解析式，再把x＝4代入y＝﹣x，求出M的坐标，根据点M、N关于点P对称，求出N的坐标，即可求解；（3）过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x＝m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM＝tan∠ANM，可得出∠ONM＝∠ANM，得证．【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，﹣4），∴设二次函数的关系式为y＝a（x﹣4）2﹣4，又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴0＝a（0﹣4）2﹣4，解得a＝，∴二次函数的关系式为y＝（x﹣4）2﹣4；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，将A（6，﹣3）代入得﹣3＝6k，解得k＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，把x＝4代入y＝﹣x得y＝﹣2，∴M的坐标是（4，﹣2），又∵点M、N关于点P对称，∴N的坐标是（4，﹣6），∴MN＝4；（3）相等，理由：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：设A（m，m2﹣2m），又O（0，0），∴直线AO的解析式为y＝x＝（m﹣2）x，则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4，m2﹣2m），∴OD＝4，ND＝m，HA＝m﹣4，NH＝ND﹣HD＝m2﹣m，在Rt△OND中，tan∠ONM＝＝，在Rt△ANH中，tan∠ANM＝＝＝，∴tan∠ONM＝tan∠ANM，则∠ANM＝∠ONM．。
一、选择题1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020 B．2020 C．﹣D．2．2019年底，我国暴发了新型冠状病毒感染的肺炎疫情．已知新型冠状病毒的平均直径约为0.000 000 203米，该数据用科学记数法表示为（）A．2.03×10﹣8 B．2.03×10﹣7 C．2.03×10﹣6D．0.203×10﹣63．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝80°，则∠A的大小为（）A．20 B．25°C．30°D．40°4．下列计算正确的是（）A．3a+4b＝7ab B．x12÷x6＝x6C．（a+2）2＝a2+4 D．（ab3）3＝ab65．如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体A向右平移到正方体P前面，其“三视图”中发生变化的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图6．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5 7．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（）A．43.5元B．26元C．18元D．43元8．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（）A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣D．﹣≤a＜19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（）A．B．C．D．10．已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（）A．（4，0）B．（﹣2，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．[+|﹣4|﹣（﹣1）2020﹣（）﹣1]×505＝．12．对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝﹣5，则整数x的取值是．13．一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球，在每一个小球上书写一个汉字，这些汉字组成一句话：“知之为知之，不知为不知，是知也”．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次取出的小球都是“知”的概率是．14．如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．17．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2＝CE•AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝9，求EC之长．18．现如今”微信运动“被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了该校50名教师某日“微信运动“中的行走步数情况，并将统计的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图表．请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b，c，d的值，并补全频数分布直方图．（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在被调查的50名教师中．选取日行步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．步数（x）频数频率0≤x＜4000 a 0.1615 0.34000≤x＜80008000≤x＜b 0.241200010 c12000≤x＜1600016000≤x＜3 0.06200002 d2000≤x＜2400019．为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．20．最近，受气温变暖趋势及频繁的大风影响，全球正在进人新一轮的森林火灾高发期，3月30日西昌泸山森林突发火灾，火势迅速向四周蔓延．直接威胁马道街道办事处和西昌城区安全有关部门紧急部署，疏散附近居民．并且组织了一批救灾帐篷和食品以备居民使用．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件．（1）求帐篷和食品各多少件．（2）现计划租用A，B两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，请设计一下，共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，A种货车每辆需运费800元，B种货车每辆需运费720元，怎样租车才能使总运费最少？最少运费是多少元？21．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）为x轴上一动点，点M（1，﹣1）、点N（3，﹣4），连接AM、MN，点N关于直线AM的对称点为N′．（1）若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN′（保留作图痕迹），直接写出点N′的坐标；（2）若a＞0，连接AN、AN′，当点A运动到∠N′AN＝90°时，点N′恰好在双曲线y＝上（如图2），求k的值；（3）点A在x轴上运动，若∠N′MN＝90°，此时a的值为．22．（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝；∠BFD ＝；（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC 的度数，并说明理由．（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE 所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．23．抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF 下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020 B．2020 C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．2．2019年底，我国暴发了新型冠状病毒感染的肺炎疫情．已知新型冠状病毒的平均直径约为0.000 000 203米，该数据用科学记数法表示为（）A．2.03×10﹣8 B．2.03×10﹣7 C．2.03×10﹣6D．0.203×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 000 203＝2.03×10﹣7．故选：B．3．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝80°，则∠A的大小为（）A．20 B．25°C．30°D．40°【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠AED＝80°，然后根据三角形外角性质求解．解：∵BC∥DE，∴∠C＝∠AED＝80°，∵∠1＝∠A+∠C，∴∠A＝110°﹣80°＝30°．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．3a+4b＝7ab B．x12÷x6＝x6C．（a+2）2＝a2+4 D．（ab3）3＝ab6【分析】A、根据同类项的定义，3a和4b所含的字母不同，不是同类项，不能合并；B、根据同底数幂的除法法则进行计算；C、利用完全平方公式进行计算．D、根据积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算；解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，所以此选项不正确；B、x12÷x6＝x6，所以此选项正确；C、（a+2）2＝a2+4a+4，所以此选项不正确；D、（ab3）3＝a3b9，所以此选项不正确；故选：B．5．如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体A向右平移到正方体P前面，其“三视图”中发生变化的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据三视图的意义，可得答案．解：若把正方体A向右平移到正方体P前面，俯视图发生变化，故选：C．6．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选：D．7．“十•一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（）A．43.5元B．26元C．18元D．43元【分析】根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数．解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元．故选：B．8．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（）A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣D．﹣≤a＜1【分析】先确定抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，则确定点B （1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），然后利用二次函数的性质得到a的范围．解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，而点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），∵m＜0，∴抛物线开口向下，且y1＞y2，∴﹣4＜a＜1．故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（）A．B．C．D．【分析】首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，判断出BE＝BC＝5；然后根据勾股定理，求出AE的值是多少，进而求出DE的值是多少；再根据勾股定理，求出CE的值是多少，再根据BC＝BE，BF⊥CE，判断出点F是CE的中点，据此求出CF、BF的值各是多少；最后根据角的正切的求法，求出tan∠FBC的值是多少即可．解：∵以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，∴BE＝BC＝5，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝5﹣4＝1，∴CE＝，∵BC＝BE，BF⊥CE，∴点F是CE的中点，∴CF＝，∴BF＝＝，∴tan∠FBC＝，即tan∠FBC的值为．故选：D．10．已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（）A．（4，0）B．（﹣2，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6＝336…4，进而可得点P2020的坐标．解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1，∴1＝，﹣1＝，解得x＝2，y＝﹣4，所以点P1 （2，﹣4）；同理：P1关于点B的对称点P2，所以P2 （﹣4，2）P2关于点C的对称点P3，所以P3 （4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6 （0，2），…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴2020÷6＝336…4，所以点P2020的坐标是（﹣2，﹣2）．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．[+|﹣4|﹣（﹣1）2020﹣（）﹣1]×505＝2020 ．【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、乘方的意义、负整数指数幂的性质进行计算，再算括号里面的加减，后算乘法即可．解：原式＝（3+4﹣1﹣2）×505＝4×505＝2020，故答案为：2020．12．对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝﹣5，则整数x的取值是﹣17，﹣16，﹣15 ．【分析】根据题意得出﹣5≤＜﹣4，进而求出x的取值范围，进而得出答案．解：∵[m]表示不大于m的最大整数，∴﹣5≤＜﹣4，解得：﹣17≤x＜﹣14，∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，故答案为﹣17，﹣16，﹣15．13．一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球，在每一个小球上书写一个汉字，这些汉字组成一句话：“知之为知之，不知为不知，是知也”．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次取出的小球都是“知”的概率是．【分析】利用画树状图的方法可得到共有13×13＝169种等可能的结果数，找出两次取出的小球都是“知”的结果数，然后根据概率公式计算即可．解：随机摸出一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共有13×13＝169种等可能的结果数，其中两次取出的小球都是“知”的结果数为5×5＝25，所以两次取出的小球都是“知”的概率＝．故答案为．14．如图，正方形的边长为2，以各边长为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为2π﹣4 ．【分析】如图，作辅助线；首先求出半圆O的面积，其次求出△ABP 的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP），求出值，即可解决问题．解：如图，连接PA、PB、OP．则S半圆O＝＝，S△ABP＝×AB•OP＝×2×1＝1，由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）＝4（﹣1）＝2π﹣4，故答案为2π﹣4．15．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为1或．【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM＝BN＝AD ＝1，由勾股定理得到A′N＝0，求得A′M＝1，再由勾股定理解得A′E即可；②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′＝30°，由三角函数求出AE＝A′E＝A′B×tan30°；即可得出结果．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠PA′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三、解答题（共8小题，满分75分）16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝．17．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2＝CE•AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝9，求EC之长．【分析】（1）先判断出∠BDC＝∠DAC，进而判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；（2）设出CE＝x，进而表示出AC，AE，借助（1）的结论得出CD，进而求出BC，再判断出△BOC是等边三角形，利用三角形的中位线表示出AD，即可得出结论；（3）先判断出∠CHB＝30°，进而判断出△ACH的面积是△BOC面积的3倍，即可得出结论．解：（1）如图1，∵CD＝BC，∴，∴∠BDC＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•AC；（2）设CE＝x，∵AE＝2CE，∴AE＝2x，∴AC＝AE+CE＝3x，由（1）知，CD2＝CE•AC，∴CD2＝x×3x＝3x2，∴CD＝x，∴BC＝CD＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，根据勾股定理得，AB＝＝2x，∴OA＝OB＝AB＝x，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC⊥BE，∴OF＝OB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OEB，∴OF∥AD，∵OA＝OB，∴AD＝2OE＝x，∴＝＝1；（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵CH是⊙O的切线，∴∠OCH＝90°，∴∠CHO＝30°，∴OH＝2OC，∵OH＝OB+BH＝OC+BH，∴OB＝BH，∴OA＝OB＝BH，∴S△ACH＝3S△BOC＝9，∴S△BOC＝3，∵S△BOC＝OB2＝×（x）2＝3，∴x＝﹣2（舍）或x＝2，∴EC＝2．18．现如今”微信运动“被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了该校50名教师某日“微信运动“中的行走步数情况，并将统计的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图表．请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b，c，d的值，并补全频数分布直方图．（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在被调查的50名教师中．选取日行步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．步数（x）频数频率0≤x＜4000 a 0.1615 0.34000≤x＜8000b 0.248000≤x＜1200012000≤x＜10 c160003 0.0616000≤x＜20000d2000≤x＜224000【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案；（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数58000可得答案；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝50×0.24＝12，c＝10÷50＝0.2，d＝2÷50＝0.04，补全直方图如下：（2）估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有58000×（0.2+0.06+0.04）＝17400（人）；（3）设步数为16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，步数为20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，画树状图如下：由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．19．为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．【分析】延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x 米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可．解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，在Rt△PAM中，∠PAM＝45°，∴AM＝PM＝x米，∴BM＝x﹣100（米），在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝，∴tan60°＝＝，解得：x＝50（3+），在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝，∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3+）×tan30°＝50（+1）（米），∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）；答：信号塔PQ的高度约为100米．20．最近，受气温变暖趋势及频繁的大风影响，全球正在进人新一轮的森林火灾高发期，3月30日西昌泸山森林突发火灾，火势迅速向四周蔓延．直接威胁马道街道办事处和西昌城区安全有关部门紧急部署，疏散附近居民．并且组织了一批救灾帐篷和食品以备居民使用．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件．（1）求帐篷和食品各多少件．（2）现计划租用A，B两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，请设计一下，共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，A种货车每辆需运费800元，B种货车每辆需运费720元，怎样租车才能使总运费最少？最少运费是多少元？【分析】（1）首先设帐篷有x件，食品有y件，根据已知条件可以列出方程组，解方程组即可求解；（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16﹣a）辆，根据已知条件可以列出不等式组，解不等式组即可求解；（3）设总费用为W元，则根据已知条件列出函数解析式W＝800a+720（16﹣a）＝80a+11520，然后利用一次函数的性质和（2）的结论即可求解．解：（1）设帐篷有x件，食品有y件．则，解得．答：帐篷有440件，食品有240件（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16﹣a）辆，则，解得6≤a≤8．故有3种方案：A种车分别为6，7，8辆，B种车对应为10，9，8辆（3）设总费用为W元，则W＝800a+720（16﹣a）＝80a+11520，k＝80＞0，W随a的增大而减少，所以当a＝6时，即租用A种货车6辆，B种货车10辆，总运费最少，最少运费是12000元．21．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）为x轴上一动点，点M（1，﹣1）、点N（3，﹣4），连接AM、MN，点N关于直线AM的对称点为N′．（1）若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN′（保留作图痕迹），直接写出点N′的坐标（﹣2，1）；（2）若a＞0，连接AN、AN′，当点A运动到∠N′AN＝90°时，点N′恰好在双曲线y＝上（如图2），求k的值；（3）点A在x轴上运动，若∠N′MN＝90°，此时a的值为﹣4或．【分析】（1）根据要求画出图形，利用图象法解决问题即可．（2）如图2，过A，M分别作y轴平行线BE，CD，过N，N′分别作x轴平行线，交BE，CD于点D，B，C．利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）画出图形，利用图象法解决问题．解：（1）作图如图1所示，N′（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．（2）如图2，过A，M分别作y轴平行线BE，CD，过N，N′分别作x轴平行线，交BE，CD于点D，B，C．∴∠B＝∠E＝∠D＝∠C＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵∠N’AN＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2又AN′＝AN，∴△ABN≌△NEA（AAS），∴BA＝EN，BN＝EA∵A（a，0），M（1，﹣1），N（3，﹣4），∴BA＝EN＝a﹣3，BN′＝EA＝4，DM＝2，DM＝3，N′（a﹣4，a﹣3），由轴对称性质可知MN′＝MN＝∴NC＝a﹣4﹣1＝a＝5，CM＝a＝3﹣（﹣1）＝a﹣2CN2+CM2＝MN2＝13，∴（a﹣5）2+（a﹣2）2＝13，∴a2﹣7a﹣8＝0，∴k＝（a﹣4）（a﹣3）＝a2﹣7a+12＝（a2﹣7a﹣8）+20＝20．（3）如图3中，将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到N′（4，1），作线段NN′的垂直平分线交x轴于A，∴直线NN′的解析式为y＝5x﹣19，∴线段NN′的中垂线的解析式为y＝﹣x﹣，可得A（﹣4，0）．将线段MN绕点M顺时针旋转90°得到N″（﹣2，﹣3），作线段N″N′的垂直平分线交x轴于A′，同法可得直线y＝5x﹣6，∴A′（，0）．∴a＝﹣4或．故答案为﹣4或．22．（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝ 1 ；∠BFD＝150°；（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE 所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．【分析】（1）利用SAS判断出△CAD≌△BAE，得出CD＝BE，再用数据线的外角和三角形的内角和定理，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出△ADF∽△CDE，即可得出结论；（3）先求出EF＝2，设出CE，进而表示出AE，最后用勾股定理求出CE，即可得出结论．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC＝AB，AD＝AE，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∴＝1，∵△CAD≌△BAE（SAS），∴∠ACD＝∠ABE，∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，故答案为1，150°；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD，∵AB＝AD，∴＝，在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，∴tan∠DEF＝，∴＝，∴，∵∠EDF＝90°＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF∽△CDE，∴＝，∠DAF＝∠DCE，AD与CD的交点记作点O，∵∠DCE+∠COD＝90°，∴∠DAF+∠AOG＝90°，∴∠AGC＝90°；（3）如备用图，连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，∴AB＝AD＝，根据勾股定理得，AC＝2，由（2）知，，∴AF＝CE，设CE＝x．则AF＝x，在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，∴EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，由（2）知，∠AEC＝90°，在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，∴（x﹣2）2+x2＝28，∴x＝﹣（舍）或x＝2，∴AF＝x＝6．23．抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF 下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．【分析】（1）①由x＝0得到点C坐标为（0，c），故可以c表示OA、OB进而表示点A、B坐标，把含c的坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．②过点M作MD⊥AC于点D，构造Rt△ADM，所以cos∠MAC＝，进而得到MD＝4AD．由AC于x轴夹角为45°联想到分别以MD、AD为斜边在MD、AD下方构造等腰直角△MDH和△ADG，则相似比为4．设AD＝DG＝t，用t表示DH和MH，进而用t表示点M坐标，代入抛物线解析式即求得t的值．（2）由点P（m，﹣2）在抛物线上得m2+bm+c＝﹣2，即c+2＝﹣m2﹣bm．设点E、F纵坐标为n，代入抛物线解析式并整理得x2+bx+c﹣n＝0，根据韦达定理得xE+xF＝﹣b，xE•xF＝c﹣n．过点P作PQ⊥EF于点Q，易证△EPQ∽△PFQ，由对应边成比例可得PQ2＝EQ•FQ，用含n、m、xE、xF的式子表示PQ、EQ、FQ并代入化简，最终得到关于n的一元二次方程，解得n＝﹣1，故点E、F纵坐标为定值．解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c∴A（c，0），B（﹣2c，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH⊥GH于点H，如图1∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝∴AM＝AD∴MD＝＝4AD∵c＝﹣∴A（﹣，0），B（1，0），C（0，﹣）∴OA＝OC∴∠OAC＝45°∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°∴△ADG为等腰直角三角形∴∠ADG＝45°∴∠MDH＝180°﹣∠ADG﹣∠ADM＝45°∴△MDH为等腰直角三角形设AG＝DG＝t，则AD＝t∴MD＝4AD＝4t∴DH＝MH＝4t∴xM＝xA+t+4t＝﹣+5t，yM＝4t﹣t＝3t ∵点M在抛物线上∴（﹣+5t）2﹣（﹣+5t）﹣＝3t解得：t1＝0（舍去），t2＝∴xM＝﹣+＝，yM＝∴点M坐标为（，）（2）EF所在直线的纵坐标是定值，理由如下：过点P作PQ⊥EF于点Q，如图2∵P（m，﹣2）在抛物线上∴m2+bm+c＝﹣2，即c+2＝﹣m2﹣bm∵EF∥x轴且在点P上方∴xQ＝xP＝m，设yE＝yF＝yQ＝n，n＞﹣2∴PQ＝n﹣（﹣2）＝n+2∵x2+bx+c＝n，整理得x2+bx+c﹣n＝0∴xE+xF＝﹣b，xE•xF＝c﹣n∴∠PQE＝∠PQF＝90°∵∠EPF＝90°∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPQ+∠PFQ＝90°∴∠EPQ＝∠PFQ∴△EPQ∽△PFQ∴∴PQ2＝EQ•FQ∴（n+2）2＝（m﹣xE）（xF﹣m）∴n2+4n+4＝m•xF﹣m2﹣xE•xF+m•xEn2+4n+4＝m（xE+xF）﹣m2﹣xE•xFn2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）n2+4n+4＝c+2﹣c+n解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．。
