【全国百强校】北京市第八中学2016-2017高一上期中数学试题(解析版)

2016-2017学年度第一学期期中练习题年级：初一 科目：数学 班级：_______ 姓名：_______学号: ______1.零上3℃记作 +3℃，那么零下5℃记作 （ ）A ．−5B ．−10C ．−5℃D ．−10℃2. 2016年春节假期期间，我市接待旅游总人数达到9 186 000人次，比去年同期增长1.9%．将9 186 000用科学计数法表示应为（ ） A ．9186×103 B ．9.186×105 C ．9.186×106 D ．9.186×1073. 方程123-=-x 的解为（ ） A ．1=x B .2=x C . 3=x D . 4=x4.下列各组式子中的两个单项式是同类项的是（ ） A ．32x 与23x B ．12ax 与8bx C ．4x 与4a D ．32与−35.下列说法正确．．的是（ ） ①任何一个有理数的平方都是正数 ②任何一个有理数的绝对值都是非负数 ③0既不是正数也不是负数 ④符号不同的两个数是互为相反数的 A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ． ②④ 6．在数轴上，与表示数−1的点的距离是3的点表示的数是（ ） A ．2 B ．−4 C ．±3 D ．2或−4 7. 下列计算正确的是 （ ）A ．ab b a 33=+B ．33=-a aC ．523532a a a =+D ． b a b a b a 2222=+-8.有理数−32，(−3)2，|−33|，31-按从小到大的顺序排列是（ ）A ．−32＜31-＜(−3)2＜|−33|B ．|−33|＜−32＜31-＜(−3)2C ． 31-＜−32＜(−3)2＜|−33|D ．31-＜−32＜|−33|＜(−3)29．数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如下图，化简b c b a --+的结果（ ） A ． c a + B ．a c - C ．a c -- D ．c b a -+2ab c10.若规定“ ! ”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则！！98100的值为（ ）A ．4950B ．99!C ．9900D ．2!二、填空题（每小题2分，共20分）11. 232x -的系数是 ，次数是 ．12.用四舍五入法取近似数，1.895精确到百分位后是 ．13.多项式7324223173+--xy y x y x 是 次 项式， 按y 的升幂排列为 .14．若x = −3是方程3(x − a ) = 7的解,则a = ．15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则2-（a +b ）+（-3cd ）= ．16. 已知()0322=++-b a ，则=-b a ．17． 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 、b ，都有a ☆b =ab + a 2, 则（−3）☆2 = . 18．某地对居民用电的收费标准为：每月如果不超过100度，那么每度电价按a 元收费，如果超过100度，超出部分电价按b 元收费，某户居民一个月用电160度，该户居民这个月应交纳电费是 元（用含a 、b 的代数式表示）．19．若代数式32++x x 的值为5，则代数式723232+--x x 的值是 ．20. 如图，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数753=a . 则（1）()()=-+-53522223a a a a ．（2）此数表中的四个数mk mp nk np a a a a ,,,满足()()=-+-mp mk nk np a a a a ．三、计算题（21题每题3分， 22题每题5分，23题4分，24题每题4分，共40分）. 21．计算：(1) 23−17−(−7)+(−16) (2) ()5.1415125-⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-(3) ()36613291-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+ (4) ()5671311354321--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+(5) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷528375856 (6) ()()[]2432315.011--⨯⨯---22．计算：(1) a a a a 742322-+- (2) ()()223152213x x x x -+--+1 2 3 4 3 2 12 3 4 5 4 3 23 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 67 8 9 10 9 8 723．先化简再求值:()()222222335ab b a ab ab b a ++--，其中21=a ，3-=b 值24．解方程：(1) ()x x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--13214； (2) 21131+-=-y y四、探究题（25题5分，26题5分，共10分） 25．阅读下列材料, 并解决后面的问题．材料: 一般地, n 个相同的因数a 相乘: nn a a a a 记为个⋅．如23＝8, 此时, 3叫做以2为底8的对数, 记为()38log 8log 22=即. 一般地,若()0,10>≠>=b a a b a n且, 则n 叫做以a 为底b 的对数, 记为()813.log log 4==如即n b b a a ,则4叫做以3为底81的对数,记为)4813log (813log =即．问题: （1）计算以下各对数的值: ===64log 16log 4log 222；； ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式, 然后利用4、16、64之间的数量关系猜想64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？ 答：64log 16log 4log 222、、关系式为 . （3）由（2）的结果, 请你能归纳出： ()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N aM a 且26. 认真完成下列题：（1）当3121==b a ，时，分别求代数式①222b ab a +-，②2)(b a -的值.MKHG FEDCBA（2）当a = 5，b = 3时，分别求代数式①222b ab a +-，②2)(b a -的值. （3）观察（1）（2）中代数式的值，222b ab a +-与2)(b a -有何关系？ （4）利用你发现的规律，求227.357.357.13527.135+⨯⨯-的值.五、附加题（共10分.计入总分，但总分不超过100分.）27．如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的长方形拼成长方形ABCD ，其中，GH =2cm, GK =2cm, 设BF =x cm,（1）用含x 的代数式表示CM =_____________cm ，DM =_____________cm ．（2）若DC =10cm ， x 的值为_____________ cm ．28. 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．（1）阅读下列材料：问题：利用一元一次方程将0.7化成分数． 解：设 0.7=x ． 方程两边都乘以10，可得 100.7=10x ⨯ ． 由0.7=0.777，可知 100.7=7.777=70.7⨯+ ， 即 710x x +=．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） 可解得 79x =，即 70.7=9 ． 填空：将0.4写成分数形式为 ． （2）请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程．．．．．．．．进行解答的过程：①0.73；②0.432 ．29.有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是 ，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．。

（1）当 的半径为2时，
①在点 ， ， 中， 的关联点是；
②点P在直线 上，若P为 的关联点，求点P的横坐标的取值范围;
（2) 的圆心在x轴上,半径为2，直线 与x轴、y轴分别交与点A,B.若线段AB上的所有点都是 的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.
13。如图，在△ABC中，M，N分别是AC,BC的中点，若 ，则 。
14。如图，AB为 的直径,C，D为 上的点, 。若∠CAB=40°，则∠CAD=°.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看成是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：.
（以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程.
证明: （+）.
易知， =，=.
可得： 。
21.关于x的一元二次方程 。
(1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
22。如图在四边形ABCD中,BD为一条射线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，
D。2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9。小苏和小林在右图的跑道上进行4×50米折返跑。在整个过程中，
跑步者距起跑线的距离y(单位：m）与跑步时间t（单位：s）的
对应关系如下图所示。下列叙述正确的是
A。两个人起跑线同时出发，同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
2017年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校：姓名：准考证号：
考
生
须
知

2016—2017学年第一学期期中练习高二年级文科学科试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 点到直线的距离是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】略2. 已知过点和的直线与直线垂直，则的值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：两直线平行斜率相等，的斜率为-2，直线的斜率为，解方程得．考点：直线平行．3. 、、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，则下面命题中正确的是（）.A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】中与还可能相交或异面．中可能为与的交线．中与可能相交．本题选择B选项.4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）.B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合考点：简单空间图形的三视图5. 下列四个命题中正确的是（）.①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④若两个平面垂直，那么，一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.A. ②和④B. ②和③C. ③和④D. ①和②【答案】A【解析】对于命题①：根据面面平行的判定定理，需要求这两条直线是相交直线，所以命题①是假命题．对于命题②：假设直线与平面、分别相交于、，过点、分别在两个平面内做直线、与、，使得，，∵且、，∴，，又∵，，∴，，又∵、且，∴．所以命题②正确．对于命题③：这条直线还有可能在另外那个平面内，所以命题③是假命题．对于命题④：由面面垂直的性质定理知，命题④正确．本题选择A选项.6. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）.A. 最长棱的棱长为B. 最长棱的棱长为C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形【答案】C【解析】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图（如图所示）：由图可知，，，面，面，，所以，，中，，，，，所以，所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．本题选择C选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（）.A. B. C. D.【答案】C∴，∵，，∴，∵平面，∴，∴．本题选择C选项.8. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：观察三视图可知，底面正三角形的高为，所以，正三角形边长为，由体积为=，得，正三棱柱高为，所以，左视图的面积为3×=，选A。

一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ð为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{0,4}U A =ð，所以{}()0,2,4U A B =ð，故选C ．考点：集合的运算．2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．||y x =【答案】B考点：函数的单调性．3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射f ：A B →使集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是（ ） A ．()3,1 B ．31(,)22C ．31(,)22-D ．(1,3)【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，令21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22x y ==，即在映射f 下，象(2,1)的原象是31(,)22，故选B ．考点：映射的概念及其应用．4.设集合{}|02M x x =≤≤，{}|02N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】试题分析：根据映射的概念，可知能表示为M 到N 的函数关系的只有②③，故选B ． 考点：映射的概念．5.下列各对函数中，是同一函数的是（ ）A ．()f x =，()g x =B ．||()x f x x =，1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x =，212()(n g x -=（n 为正整数）D ．()f x =，()g x =【答案】C考点：同一函数的概念． 6.函数||x y x x=+的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由函数||x y x x=+，可知，当0x >时，1y x =+，当0x <时，1y x =-，根据一次函数的图象可知，函数||x y x x=+的图象为选项D ，故选D ． 考点：函数的图象．7.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=（a ，b N +∈），则a b +=（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，函数值的求解，函数零点的存在性定理及函数零点的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记函数零点的存性性定理和准确求解函数值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 8.若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =0211x <-<，解得112x <<，所以函数的定义域为1(,1)2，故选A ． 考点：函数的定义域．9.若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则1()2f 的值为（ ） A ．3log 2- B ．2log 3-C ．19D【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x =是函数3xy =的反函数，所以()3log f x x =，所以3311()log log 222f ==-，故选A ．考点：指数函数与对数函数的概念及应用． 10.已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ） A ．16 B ．116 C ．2D ．12【答案】D考点：幂函数的解析式及应用．11.函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点为（ ） A ．()0,4 B ．()0,1C ．7(1,)2-D ．(1,4)-【答案】A 【解析】试题分析：由函数()2log (1)3x a f x x =+++，令0x =，解得0(0)2log (01)34a f =+++=，所以函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点()0,4，故选A ．考点：函数过定点问题．12.已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质．13.已知函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,3 B ．()1,3C ．[2,3)D ．[]1,3【答案】C 【解析】试题分析：由函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则10302a a a -<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得23a ≤<，故选C ．考点：分段函数的单调性．14.若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞-+∞ D ．[4,4)-【答案】D 【解析】试题分析：令23t x ax a =--，则由函数2()log f x t =在区间(,2]-∞-上是减函数，可得函数t 在区间(,2]-∞-上是减函数且(2)0t ->，所以有22(2)4230at a a ⎧≤-⎪⎨⎪-=-+>⎩解得44a -≤<，故选D ． 考点：复合函数的单调性及其应用．【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的单调性及其应用，二次函数的图象与性质，复合函数的单调性等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中根据复合函数单调性的判定方法——同增异减和正确理解对数函数的定义域是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 15.已知函数1()1f x x=-（0x >），若存在实数a ，b （a b <），使()y f x =的定义域为(),a b 时，值域为(,)ma mb ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14m <B ．104m <<C ．14m <且0m ≠ D ．14m > 【答案】B考点：函数性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的定义域与函数的值域，函数的单调性与函数值域之间的关系等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数学转化思想和二次函数性质的应用，本题的解答中熟练掌握一元二次函数的图象与性质及判别式与根的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，满分15分．）16.计算21log 32.51log 6.25lg ln 2100++++= ． 【答案】132【解析】试题分析：由222511log 3log 61422.5521113log 6.25lg 2log lg(10)ln 221610022e +-++=+++=-++=．考点：对数的运算．17.设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 ．【答案】[]10,2-考点：函数的奇偶性的应用．18.一次函数()f x 是减函数，且满足[]()41f f x x =-，则()f x = ． 【答案】21x -+ 【解析】试题分析：因为一次函数()f x 是减函数，设()(0)f x ax b a =+<，所以[]2()()()41f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，所以24,1a ab b =+=，解得2,1a b =-=，所以函数的解析式为()f x =21x -+． 考点：函数的解析式．19.某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）． 【答案】2020 【解析】试题分析：设第n 年开始超过200万元，则2016130(112%)200n -⨯+>，化简得(2016)lg1.12lg 2lg1.3n ->-，所以2016 3.8n ->，取2020n =，所以开始超过200万元的年份为2020年．考点：等比数列的应用问题．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的应用问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式及其应用，不等式的性质，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理能力与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题意得到关于年份的函数解析式是解答的关键．20.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间x (0)x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，32()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时，丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 【答案】③④⑤考点：函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中涉及到指数函数、幂函数、一次函数和对数型函数的增长速度以及各类基本初等函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据各类基本初等函数，利用取特值验证结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.设a R ∈，集合A R =，{}2|(2)2(2)30B x R a x a x =∈-+--<． （1）若3a =，求集合B （用区间表示）； （2）若A B =，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()3,1B =-；（2）(1,2]-．试题解析：（1）3a =时，2230x x +-<，解得31x -<<， ∴集合()3,1B =-． （2）当A B R ==时，（i ）当20a -=，即2a =时，30-<符合题意；（ii ）当20a -≠，则有220,4(2)12(2)0,a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩解得12a -<<． 综上，a 的取值范围为(1,2]-． 考点：集合的运算．22.已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5(2)3f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）222()3x f x x+=-；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，得对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，列出方程即可求解q 的值，再由5(2)3f =-，解得p 的值，即可得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可判定和证明函数的单调性．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，即222233px px q x q x++=-+-，整理得33q x q x +=-+，∴0q =，又∵5(2)3f =-，∴425(2)63p f +==--，解得2p =，∴所求的解析式为222()3x f x x +=-． （2）由（1）可得22221()()33x f x x x x+==-+-，设1201x x <<<，则由于122121211()()()()3f x f x x x x x ⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦2121211()()3x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦1221122()3x x x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦121221()(1)3x x x x =--12121212()3x x x x x x -=-⋅ ，因此，当1201x x <<<时，1201x x <<，从而得到12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴(0,1)是()f x 的递增区间．考点：函数的奇偶性的应用及单调性的判定． 23.已知函数()2xf x =，||1()22x g x =+． （1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值． 【答案】（1）(2,3]；（2）2log (1x =．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x-⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =+．考点：指数函数的图象与性质．24.物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则min t 后物体的温度()f t 满足：010()()kt f t e θθθ-=+-⨯（其中k 为正的常数，2.71828e =…为自然对数的底数），现有65C ︒的物体，放在15C ︒的空气中冷却，5min 以后物体的温度是45C ︒．（1）求k 的值；（2）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8C ︒？【答案】（1）15ln 53k =；（2）15min ．试题解析：（1）由题意可知，1=65θ，015θ=，当5t =时，45θ=，于是535k e -=， 化简得35ln 5k -=，即15ln 53k =． （2）由（1）可知()1550kt f t e-=+（其中15ln 53k =）， ∴由25.81550kt e -=+，得27125kt e -=， 结合15ln 53k =，得5327()5125t =，得15t =． ∴从开始冷却，经过15min 物体的温度是25.8C ︒．考点：函数的实际应用问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质的应用，函数解析式的求解，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题意建立函数关系式，利用指数函数与对数函数的性质解答是求解的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．25.已知函数()|1|2f x x x x =-+．（1）当3a =时，求方程()f x m =的解的个数；（2）若()f x 在(4,2)-上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）当6m =或254时，方程有两个解，当6m <或254m >时，方程一个解，当2564m <<时，方程有三个解；（2）6a ≤-或2a ≥-．试题解析：（1）当3a =时，22,3,()5, 3.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ 当6m =或254时，方程有两个解； 当6m <或254m >时，方程一个解； 当2564m <<时，方程有三个解． （2）22(2),,()(2),.x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ①22a a -≤且22a a +≥，即22a -≤≤，()f x 在R 单调递增，满足题意； ②22a a ->且22a a +≥，即2a <-， ()f x 在(,)a -∞和2(,)2a -+∞上单调递增， ∵()f x 在(4,2)-上单调递增，∴2a ≥或242a -≤-， ∴6a ≤-； ③22a a ->且22a a +<，即2a <-且2a >，舍去； ④22a a -≤且22a a +<，即2a >， ()f x 在2(,)2a +-∞和(,)a +∞上单调递增， 因为()f x 在(4,2)-上单调递增，所以222a +≥或4a ≤-， 所以2a >．综上，6a ≤-或2a ≥-．考点：函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的性质，一元二次函数的图象与性质的应用，方程解的个数的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分类讨论思想的应用，本题的解答中去掉绝对值号，得到分段函数的解析式，利用二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。