学必求其心得，业必贵于专精
第3课时 导数与函数的综合问题
题型一 导数与不等式有关的问题
命题点1 解不等式
例1 设f(x)是定义在R上的奇函数,f（2）＝0，当x>0时，有错误!<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是（ )
A．(－2，0)∪(2，＋∞) B．（－2,0)∪（0，2）
C．(－∞，－2)∪（2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2)
答案 D
解析 ∵当x>0时，错误!′<0，
∴φ（x）＝错误!为减函数,
又φ(2）＝0，∴当且仅当0
此时x2f（x)〉0。
又f(x）为奇函数,∴h(x）＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f（x）>0的解集为（－∞，－2）∪(0,2）．
命题点2 证明不等式
例2 (2016·全国丙卷)设函数f（x）＝ln x－x＋1.
(1）讨论f（x)的单调性；
(2)证明:当x∈(1,＋∞)时，1
(3)设c〉1，证明：当x∈（0,1）时，1＋（c－1）x>cx。
（1）解 由题设,f（x)的定义域为（0,＋∞），f′(x）＝错误!－1，令f′(x）＝0，解得x＝1.
当0〈x〈1时，f′（x）〉0，f(x）单调递增；当x〉1时，f′（x）〈0，f(x)单调递减．
（2)证明 由（1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0。
所以当x≠1时,ln x
故当x∈（1，＋∞）时，ln x
即1〈错误!〈x.
（3)证明 由题设c>1,设g（x）＝1＋(c－1)x－cx,
则g′（x)＝c－1－cxln c,令g′（x）＝0，解得x0＝错误!。
当x0，g（x）单调递增；
当x>x0时，g′(x）<0,g（x）单调递减．
由（2)知1〈错误!〈c，故0
又g（0)＝g（1）＝0，故当0〈x<1时，g(x）>0。
所以当x∈(0，1)时,1＋（c－1)x〉cx。
命题点3 不等式恒成立或有解问题
例3 已知函数f(x)＝错误!.
（1）若函数f（x）在区间（a，a＋错误!）上存在极值，求正实数a学必求其心得，业必贵于专精
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(时间:40分钟）
1．函数f（x）＝错误!的定义域是( ）
A．(0，e) B．（0，e］
C．,故选B。
2．已知函数f（x）＝错误!则函数f（log23)的值为( ）
A．3 B。13
C．6 D。错误!
答案 D
解析 f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log26）＝错误! log26＝2－log26＝2错误!＝错误!.故选D。
3．已知loga错误!<1，那么a的取值范围是( ）
A.错误!∪（1，＋∞) B。错误!
C.错误! D．(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵loga错误!<1＝logaa，故当01时,y＝logax为增函数,a>错误!，∴a>1，综上知A正确．
4．函数f（x)＝ln （4＋3x－x2)的单调递减区间是（ )
A.错误! B.错误!
C。错误! D.错误!
答案 D
解析 y＝ln t是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t＞0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为错误!，当x≥4时，t≤0，所以区间错误!符合题意．
5．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（ ）
A．c>b〉a B．b>c>a
C．a>c>b D．a〉b>c
答案 D
解析 由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32>log52〉log72，所以a〉b>c，故选D。
6．函数f(x）＝loga(x＋2）＋3(a〉0,且a≠1)的图象恒过定点________．
答案 (－1,3）
解析 当x＋2＝1时，x＝－1,f(－1)＝loga（－1＋2）＋3＝3，所以函数f（x)＝loga（x＋2）＋3的图象恒过定点(－1，3）．
7．若a＝log43,则2a＋2－a＝________.
答案 错误! 学必求其心得，业必贵于专精
专题3.1 导数概念及其运算
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cosyxx在点,22处的切线的斜率为___________．
【答案】2
【解析】'1sinyx，2x时，'1sin22y，即切线斜率为2．
2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线xey在0x处的切线方程是
▲ ．
【答案】1xy
【解析】因为xye，所以在0x处的切线斜率为01ke，因此切线方程是11(0)1yxyx
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数2logfxx在点1,2A处切线的斜率为 ▲ ．
【答案】1ln2
【解析】111ln2ln2fxkfxQ
4. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若直线yxb是曲线lnyxx的一条切线，则实数b ．
【答案】1
【解析】设切点11(,)xy，则111ln1ln111011.yxxxybb
5. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知直线01yx与曲线lnyxa相切，则a的值为 ▲ ．
【答案】2
【解析】设切点为111111111(,),,1,112ln2xyyxyxxaaaxxQ
6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若幂函数fx的图像经过点4,2A，则它在A点处的切线方程为____________．
第二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
【考点点知】知己知彼，百战不殆
导数实现了函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇．导数涉及多种数学方法，如：数形结合、分类讨论、等价转化等的运用等. 导数的应用是高考的一个侧重点,对单调性和极值、最值的考查，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何的综合等及在生活中的优化问题．
考点一: 函数的单调性
1.在某个区间（a，b）内，如果f´(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f´(x) <0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.利用导数判断函数单调性的基本步骤.
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；
（4）确定f（x）的单调区间.
考点二: 函数的极值
1.函数的极值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f ´(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f ´(x)<0，右侧f ´(x)>0，类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)，比它在点附近其他点x=b的函数值都大，f ´(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f ´(x)>0，右侧f ´(x)<0.
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点. f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.
2.可导函数的极值:
设函数f(x)在x=x0处连续且f ´(x0)=0.若在点x0附近左侧f ´(x)>0,右侧f ´(x)<0,则f(x0)为函数的极大值;若在点x0附近左侧f ´(x)<0,右侧f ´(x)>0,则f(x0)为函数的极小值.
3.求可导函数f（x）极值的步骤：
①求导数f′（x）.
