反比例函数性质讲义

中国中小学个性化辅导专家

1 讲义编号：

学员编号： 年级： 初二 课时数：3

学员姓名： 辅导科目： 学科教师：

学科组长签名及日期：

课题 反比例函数的表达式、图像、性质

授课时间：2013-3-23 备课时间：2013-3-22

教学目标 1、会用描点法画函数图象，理解反比例函数的性质，掌握反比例函数的变化规律，并能灵活运用解决问题。让学生经历动手操作—猜想—验证这一数学活动过程，发展推理和归纳能力。

2、在探索反比例函数性质的过程中，经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，寻找规律，自我归纳得到结论

重点

难点 理解反比例函数的定义，熟悉其图像和性质

考点及考试要求

教学内容

知识梳理

函数定义

函数：在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数

1、反比例函数的定义

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xkyk(为常数，)0k的形式，那么称y是x的反比例函数。其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

注：

（1）xky也可以写成1kxy或kxy的形式；

（2）xky若是反比例函数，则x、y、k均不为零；

（3）kxy)0(k通常表示以原点及点yx,为对角线顶点的矩形的面积；

（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数。

■例1：下列函数中是反比例关系的有 （填序号）。

①3xy ②131xy ③xy2 ④2211xy ⑤xy23

⑥21xy ⑦28xy ⑧1xy ⑨2xy ⑩xkyk(为常数，)0k

■例2：当m取什么值时，函数错误！未找到引用源。是反比例函数？

1、 反比例函数定义的应用（重点）

中国中小学个性化辅导专家

2 确定解析式的方法仍是 待定系数法 ，由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k的值，从而确定其解析式。

■例3由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

（1） 求I与R的函数关系式；

（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

例4：已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5

（3） 求y与x的函数关系式

（4） 当x＝－2时，求函数y的值

反比例函数的图象及其画法

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

1．反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的 中国中小学个性化辅导专家

3 另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

反比例函数xky的图象是由两支曲线组成的。当0k时，x、y同号，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k时，x、y异号，两支曲线分别位于第二、四象限内。

注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。

（2）这两支曲线关于原点对称。

（3）反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。

■例1：画出反比例函数xy6与xy6的图象。

解：（1）列表：

（2）描点： （3）连线。

2、 反比例函数的图像与性质

反比例函数 xky)0(k

k的符号 k >0 k<0

图象

（双曲线）

x、y

取值范围 x的取值范围x≠0

y的取值范围y≠0 x的取值范围x ≠0

y的取值范围y ≠0

位置 第一,三象限内 第二,四象限内

增减性 每一象限内，y随x的增大而减小 每一象限内，y随x的增大而增大

渐近性 反比例函数的图象无限接近于x、y轴，但永远达不到x、y轴，画图象时,，要体现出这个特点.

中国中小学个性化辅导专家

4 对称性 若点(m,n)在反比例函数xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形；

反比例函数的图象也是轴对称图形.

■例2 ：已知 2(1)mymx是反比例函数，则函数的图象在 （ ）

A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D、三、四象限

■例3 ：函数2ykx与kyx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

■例4 已知反比例函数xky的图象经过点P(-l，2)，则这个函数的图象位于

A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限

3、反比例函数xky)0(k中的比例系数k的几何意义（难点）

k的几何含义：反比例函数y＝kx (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，

A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .

A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .

■例5：A、B是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）

A． 2S B． 4S C．24S D．4S

■例6如图A在反比例函数(0)kykx的图象上，AMx轴于点M，AMO△的面积为3，则k

4反比例函数与正比例函数图象的交点——凡是交点问题就联立方程

■例7：如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象交于(21)(1)ABn，，，两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求AOB△的面积．

课后巩固练习

1． 下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ）

O

B x y

C A

图1

O y

x

B A 中国中小学个性化辅导专家

5

2． 已知反比例函数kyx的图象如图所示，则k 0，在图象的每一支上， y值随x的增大而 ．

3． 若函数252mymx是反比例函数，那么m ，图象位于 象限．

4． 函数xky的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xky图象上的是 （ ）

A．（3，8） B．（3，－8） C．（－8，－3） D．（－4，－6）

5． 如果反比例函数kyx的图象经过点（－2，－3），那么函数的图象应该位于 （ ）

A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

6． 已知反比例函数xky3，分别根据下列条件求出字母k的取值范围．

（1）函数图象位于第一、三象限；

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大．

教师评语：

家长建议：

第2题 中国中小学个性化辅导专家

6

家长签名：

教学总监签名： 教学副校长签名：