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函数恒成立问题——参变分离法

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1

学 科数学课题名称函数恒成立问题——参变分离法周次

教学目标

教学重难点

函数恒成立问题——参变分离法

一、基础知识：

1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），

可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字

母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的

函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：

（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，

则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，

此时要考虑其他方法。例如：，等2

1log

axx1

1

1axx

e

x

（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于

复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题

——最值分析法“中的相关题目）

4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；xD

fx

为参数，为其表达式）a

ga

（1）若的值域为 

fx

,mM

①，则只需要

,xDgafx

mingafxm

，则只需要

,xDgxfx

mingafxm

②，则只需要

,xDgafx

max=gafxM

，则只需要

,xDgafx

max=gafxM

2

③，则只需要

,xDgafx

maxgafxM

，则只需要

,xDgafx

maxgafxM

④，则只需要

,xDgafx

mingafxm

，则只需要

,xDgafx

mingafxm

（2）若的值域为 

fx

,mM

① ，则只需要

,xDgafx

gam

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

,xDgafx

gam

② ，则只需要

,xDgafx

gaM

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

,xDgafx

gaM

③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

,xDgafx

gaM

，则只需要

,xDgafx

gaM

④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

,xDgafx

gam

，则只需要

,xDgafx

gam

5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字

母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理

（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解

出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所

需求得双变量表达式的最值即可。

二、典型例题：

例1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______xxfxeae'()23fxa

思路：首先转化不等式，，即恒成立，观察不等式与便于'()xxfxeae23x

xa

e

eaxe

3

分离，考虑利用参变分离法，使分居不等式两侧，，若不等式恒成立，,ax2

23xxaee

只需，令（解析式可看做

2

max23xxaee22

2333xxxgxeee

关于的二次函数，故配方求最值），所以xe

max3gx3a

答案：3a

例2：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是

lna

fxx

x2fxx

1,a

_________

思路：恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法2lna

xx

x

解：，其中233lnlnlna

xxxxaxaxxx

x

1,x

只需要，令

3

maxlnaxxx3lngxxxx

（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函'2()1ln3gxxxlnx1

x

数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）'gx

，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化'12g2

''116

60x

gxx

xx



判断的过程）

在单调递减，在单调递减'gx

1,''10()gxggx

1,



11gxg1a

答案：1a

注意：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，

可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，

零点）等确定符号。

4

例3：若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．xR23

32

4xaxxa

思路：在本题中关于的项仅有一项，便于进行参变分离，但由于,则分离参数时,ax2axxR

要对的符号进行讨论，并且利用的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到的范围，xxa

，当时，，而2233

3223

44xaxxaxxx0x

min3

231

4ax

x







；当时，不等式恒成立；333

31312312

444xxx

xxx221aa0x

当时，，而0x

max3

231

4ax

x





33

31132

44xx

xx







综上所述：221aa11a

答案：11a

注意：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在

本题中对进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变x

号。

（2）在求解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最x

值的方法，简化了运算。

（3）注意最后确定的范围时是三部分取交集，因为是对的取值范围进行的讨论，而无论axx

取何值，的值都要保证不等式恒成立，即要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。aa

例4：设函数，对任意的恒2()1fxx23

,,4()(1)4()

2x

xfmfxfxfm

m







成立，则实数的取值范围是________________m

思路：先将不等式进行化简可得：，即

2

2

2221411141x

mxxm

m







，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以，可得：222

21

423mxxx

m





2x

，，2

2

22

min123

4xx

m

mx





2

2

22311

321xx

gx

xxx





12

0,

3x



5

最小值，即解25

33g





242

215

412530

3mmm

m

2231430mm

得：33

,,

22m







答案：33

,,

22m







注意：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等

式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系

数为关于的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注m

意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择

例5：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．2322xxxax

0,4xa

思路：，令，23

23

min22

22xxx

xxxaxa

x





2322xxx

fx

x

对绝对值内部进行符号讨论，即，而2

2

22

2,24

2

2

2

2,02xxx

x

fxxx

x

xxx

x









在单调递增，在单调递减，可求出22

2yxx

x

2,422

2yxx

x

0,2





min222fxf

22a

答案：22a

例6：设正数，对任意，不等式2221

,

xexex

fxgx

xe



12,0,xx

12

1gxfx

kk

恒成立，则正数的取值范围是（ ）k

思路：先将放置不等号一侧，可得，所以，先求出k

2

1

1kfx

gx

k



2

1

max1kfx

gx

k





gx

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恒成立与能成立的七类问题【解析版】--高中数学

恒成立与能成立的七类问题【解析版】--高中数学

1恒成立与能成立的七类问题

热点题型速览

热点一分离参数法解答恒(能)成立问题

1(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx=aex-lnx在区间1,2

上单调递增，则a的最小值为

( )．

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【分析】根据fx

=aex

-1

x≥0在1,2

上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，fx

=aex-1

x≥0在1,2

上恒成立，显然a>0，所以xex≥1

a，

设gx=xex,x∈1,2



，所以gx

=x+1

ex>0，所以gx

在1,2

上单调递增，

gx

>g1

=e，故e≥1

a，即a≥1

e=e-1，即a的最小值为e-1．

故选：C．

2(2023春·江苏无锡·高二统考期末)已知函数f(x)=alnx+x2，在区间(0,2)上任取两个不相等的实

数x

1，x

2，若不等式fx

1-fx

2

x

1-x

2>0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[-8,+∞)B.(-∞,-8]C.[0,+∞)D.(-∞,0]

【答案】C

【分析】

根据fx

1-fx

2

x

1-x

2>0可知fx

在(0,2)上单调递增，进而由导数即可求解.

【详解】由fx

1-fx

2

x

1-x

2>0可知fx

在(0,2)上单调递增，所以f(x)=a

x+2x≥0在(0,2)上恒成立，即

a≥-2x2在(0,2)上恒成立，故a≥-2x2



max，所以a≥0，

故选：C

3(2023春·河南南阳·高二统考期末)若fx=log

0.5x3-3x2+ax+6在区间1,2

上单调递增，则实

数a的取值范围为()热点一：分离参数法解答恒(能)成立问题

热点二：构造函数法解答恒(能)成立问题

热点三：最值比较法解答恒(能)成立问题

热点四：“先分离后构造”解答恒(能)成立问题

热点五：两次构造函数，解答恒(能)成立问题

热点六：先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题

热点七：构造函数法证明恒成立问题恒成立问题

【导数经典技巧与方法】第2讲--分离参数法：全分离及半分离-解析版

【导数经典技巧与方法】第2讲--分离参数法：全分离及半分离-解析版

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1 第𝟐讲 分离参数法：全分离及半分离

知识与方法

分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.

1.全分离参数法

将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.

2.半分离参数法

其一般步骤为:将不等式变形为𝑎𝑥+𝑏≥𝑓(𝑥)或𝑎𝑥+𝑏≤𝑓(𝑥)的形式(其中𝑎为参数,𝑏为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏与曲线𝑦=𝑓(𝑥),而直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏过定点(0,𝑏).

需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.

典型例题

全分离参数

【例1】已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎𝑥2−𝑥.

(1)当𝑎=1时,讨论𝑓(𝑥)的单调性;

(2)当𝑥≥0时,𝑓(𝑥)≥12𝑥3+1,求𝑎的取值范围.

【解析】(1)当𝑎=1时,𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑥2−𝑥,𝑓′(𝑥)=e𝑥+2𝑥−1. 30

2 当𝑥<0时,𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减;

当𝑥>0时,𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥)单调递增.

所以,当𝑎=1时,𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.

(2)解法1:分离参数法

当𝑥=0时,𝑎∈𝐑.

当𝑥>0时,𝑓(𝑥)≥12𝑥3+1⇔𝑎≥12𝑥3+𝑥+1−e𝑥𝑥2.

记ℎ(𝑥)=12𝑥3+𝑥+1−e𝑥𝑥2(𝑥>0),

则ℎ′(𝑥)=12𝑥3−𝑥−2+(2−𝑥)e𝑥𝑥3=(2−𝑥)(e𝑥−12𝑥2−𝑥−1)𝑥3.

恒成立问题

恒成立问题

精品文档

. 恒成立、存在性问题

对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。

方法1：分离参数法

例1.设函数f(x)=lnx-ax, g（x）=ex-ax，其中a为实数。若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。

解：因为f`(x)= -a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥ 对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。

点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。

方法2：构造函数法

例2.已知函数f(x)= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是( )。

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.［-2，1］ D.[-2，0]

解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。

记g(x)=x2－(2+a)x=（x- ）2-。

当 <0即a<－2时,g(x)的最小值为－ ，不可能满足条件。

当 ≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。

当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤ ，对x>0恒成立。

(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档

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恒成立问题中含参范围的求解策略

数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化

1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a≤转化为函数求最值.

例1 已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.

解:根据题意得,x+−2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>2

2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.

例2 已知x∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a的取值范围.

解 令 =t ,∵x∈(−∞ ,1] ∴t∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t∈(0 ,2]上的最小值即可.

∵f(t)==+=− 又t∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=

∴< , ∴−

例3 设cba且camcb1ba1恒成立，求实数m的取值范围。

解析：由于ca，所以0ca，于是cb1ba1)ca(m恒成立，因2cbbabacb11cb1ba1)]cb()ba[(cb1ba1)ca(