【T】含参不等式恒成立问题

专题课含参不等式恒成立问题
－－参数取值范围求解策略
知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

(一)、判别式法：
●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
(1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨
⎧<∆>⇔00a ; (2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 【类型2】：设)0()(2≠++=a c bx ax x f
（1）当0a >时，
()0[,]f x x αβ>∈在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩
⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0
)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0
)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或
例1．已知函数2lg[(1)(1)1]y a x a x =-+-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2．一元二次不等式2
20x bx ++<在[]1,2上恒成立，求实数b 的取值范围。

[答案3b <-]
(二)、最值法：
●将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
(1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔
( 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔
例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)
()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

答案),45[+∞
例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

答案:3->a
(三)、分离变量法：(参变分离法)
●若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：
(1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔
(2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔
实际上，上题就可利用此法解决。

略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22
-->在),1[+∞∈x 时恒
成立。

而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。

例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

[答案:)0,(-∞]
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

●处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：
0)12()1(2<---x x m ，
； 令)12()1()(2---=x x m m f ，
则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，
所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0
)12()1(20)12()1(222x x x x ， 所以x 的范围是)2
31,271(
++-∈x 。

练习：对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2
>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。

当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0
)1(0)1(f f 解之得31><x x 或。

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

反思：对于一次函数(),[,],(0)f x kx b x m n k =+∈≠有：
()0()0,()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩
恒成立 ()0()0()0
f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立
●数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。

我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；
2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例7．设x x x f 4)(2--=
, a x x g -+=13
4)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.
巩固练习
1、求使不等式)2,0(4,cos sin π
π∈-
->x x x a 恒成立的实数a 的范围。

（2≥a ）
2、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

（1a <）
3、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围。

（1<a ≤2）。