矩阵求逆中的上三角阵求逆
1．背景
• 常见方法：
– 伴随矩阵法 – 初等行变换法
– Gauss-Jordan 消元法 – 矩阵分解法
• L-U 分解法 • QR 分解法 • SVD 分解 • 满秩分解 • Jordan 分解
• 矩阵分解后再求逆矩阵的优点：
– 三角阵大量元素为0，
– 正交阵的逆是其转置矩阵， – 酉矩阵的逆是其共轭转置矩阵， 这些特性利于求得逆矩阵。
2．L-U 矩阵分解法
• 分三个步骤：
– L-U 分解
– 上三角阵求逆
– 矩阵乘法
3．上三角阵求逆
我们采用初等行变换先得到三角矩阵逆矩阵的一般公式。对于n 阶上三角矩阵U ，得到增广矩阵如下：
1112121
22212
11.1n n n n nn u u u l u u A l l u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
1112131411
12131422232422
2324133
3433
3444441111u u u u v v v v u u u v v v U U u u v v u v -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣
⎦111.
A U L ---=
1112122
21
01(|)001n n nn
U U U U U U I U ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
L L M M O M O L
在求逆过程中，先计算逆矩阵主对角线上得元素值，即取原矩阵主对角元素的倒数。然
后再求与矩阵主对角线平行且最接近的那一个斜列上元素值，接着依次求所有主对角线平行斜列的元素值。
由以上步骤可以给出U 逆矩阵V 的计算公式：
1
1(1,2,...,)
(1,2,...,1;1,...,)
ii ii
j kj ik k i ij ii v i n u v u v i n n j i n u =+⎧==⎪⎪⎪⎨
⎪
⎪=-=--=+⎪⎩
∑ 由上式及步骤分析可以得到逆矩阵求解流程如下：
1112
122200
0n n V V V V V V ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
L L M M O M L
在流程图帮助下我们可以做出脉动阵列，方便于硬件处理。 对于下三角矩阵，我们可以做如下处理： ()()()()1
11
T
T
T T
L L L ---=
=
先计算下三角矩阵L 的转置，再求上三角矩阵T L 的逆，最后得到1L -。
4．上三角阵求逆的脉动结构
• 除法运算 乘加运算
