中考一题多解之函数
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２０１ １年的中考试题中 对于求二次函数的解析式和二次函数的图象与坐标轴围 成的三角形面积等问题 我们可以从不同的角度去思考．另外，解决这部分问题时，往 往涉及一元二次方程根与系数关系的相关计算，或与其他知识的综合．为了达到快速 解题之目的，在平常的学习中，同学们应试着从不同的角度去思考 选择合理形式．寻 找最佳的方法 灵活地解决问题．
中考一题多解之函数
。甘肃会宁枝阳中学禄文夫
潮 （２ｏ１ｌ广东肇庆）已知抛 物线ｙ ２＋聊 一；ｍ２（ｍ＞０）与 轴交于 ４ Ａ， 两点． （１）求证：抛物线的对称轴在ｙ 轴左侧． （２）若去一 ＝ ３（Ｄ是坐标 原点），求抛物线的解析式． （３）设抛物线与Ｙ轴交于点Ｃ，若 ＡＡＢＣ是直角三角形。求ＡＡＢＣ的面 积．
熬黪瘿 。 … — 一 Ｊ ｉ目 Ｅ 因为当二次函数 的解析式？￣ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ时，该二次函 数的对称轴为 一 ，所以。在解题 Ｚ 时可直接代入相关数值进行计算． 盔圃由对称轴￣ｓｘ＝－ ｂ可得
：一 ：一～ｍ，又ｍ＞０，所以一 ＜Ｑ所 ２ａ ２ ２ 以抛物线的对称轴在＿ｙ轴左侧． 若二次函数ｙ＝似ｚ＋６斛ｃ 与 轴的交点坐标为（ 。，０），（ ２，０）， ４４ ２０１１门１ 则该函数与 轴交点的横坐标实际 上是一元二次方程０２ｇ２＋ｂｘ＋ｃ：０的两 根 ， 可根据两根关系判断交点 与原点的相对位置．进而得出抛物 线对称轴的大致位置． 圈设抛物线 ＋ｍｖＴ，一｛ｍ （ｍ＞０）与 轴的交点坐标为Ａ（ ｌ，０）， Ｂ（ ２，０），贝４ １・Ｘ２＝一＿二 ，ｎ ＜０，所以 １ ４ 与Ｘ２异号．Ｙ，－ｘｌ帆２＝一ｍ＜Ｏ，所以 ｌ与 ，中绝对值大的一个为负数．所以 抛物线的对称轴在ｙ轴左侧． ２ 设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂ ＋ｃ与 轴的交点坐标为Ａ（ １，０），Ｂ（Ｘ２，０） （ｘ２ ，由于 一击＝ 晰以 ＯＡ＞ＯＢ．由（１）知 ｌ＜０，Ｘ２＞０，所以 ：Ｉ ＝ ０曰 由 一 ＝ 得 一＿１＿： ＋ｌｌ：２．即—ＸＩ＋—Ｘ２： ——仟——一——＝——＋——＝ ． ｒ—— ３ ２— ｌ Ｘ２ ｌ ３ ＸＩ。戈２ ，从而—－ ｍ ＝了２３ ．解得ｍ＝２，所 ３ ３ 一 Ｈ 以抛物线的解析式是），＝ 一３． ３ 露盏 因为直角三角形 斜边上的高将直角三角形分成两个 相似的直角三角形．且它们均与原直 ０
角三角形相似，所以由对应关系可 得。斜边上的高是高分斜边的两条线 段的比例中项．依此代入相关信息便 可求解．
＼Ａ Ｂ ．
．ｊＣ ：
圈如图１，当 ＝０时，ｙ： 一一３ ｍ２，所以抛物线与’，轴的交点坐 ４ 标为ｃ（０，一 ３ ｍ。）．因为△４ ｃ是直 角三角形，且只能有ＡＣＬＢＣ，又０Ｃ上 ＡＢ．所以有ＲｔＡＡＯＣ￣ＲｔＡＣＯＢ．所 以 ： ，即ｏｃ２：ＯＡ．ＯＢ．所以 ｏＢ ｏＣ ｌ一丢ｍ ｌ ＝ｏＡ－ ＝ ，即 ＝ ＿兰＿ｍ 解得玑： 、／了，所以一３ ｍ ４ ３ ４ 一三４（ ） ：一１．所以点ｃ的坐标 为（０，一１）．所以ＯＣ＝Ｉ．又（Ｘ２ １） （Ｘｌ帆：） 一 １￣Ｘ２￣－＂（一ｍ） 一４（一丢ｍ ）＝
４ｍ２，￣ｍ＞Ｏ，所以｝ ２ １ １＝２ｍ，即Ａ曰＝ ２ｍ．所以ＡＡＢＣ￣面积：ｌＡＢ．ＯＣ： ２ ．２ｍ．１： ． ２ ３ 直角三角形的三边关 系为ａ２＋ｂ ＝ｃ ，在解题过程中，我们找 直角三角形三边的相关信息。应用 勾股定理．代入已知信息便可转化 成代数关系。从而达到求解的目的． 蕊如图１，当 时，ｙ＝－３ｍ ， 所以点Ｇ（０，一 ｍ。）．因为ＡＡＢＣ， ＡＡＯＣ，ＡＢＯＣ￣是直角三角形，所 ｒＸＡＢ。＝Ａ Ｃ２＋ＢＣ２，Ａ Ｃ２＝ＯＡ ＋Ｄｃ２，ＢＣ２＝ ＯＢｚ＋ＯＣ２．所以（ ：） ＋（一寻ｍ ） 咖（÷ 所以 ＝詈 所
以一２（一号ｍ。）＝詈ｍ 解得ｍ＝号・
．所以．ｓ ∞＝｛邶・ＯＣ：吉。 Ｉｘ，－ｘ２１・ ３ ｍ２Ｉ＝丢 ・丢
． ３ 根据直角坐标系中两 点之间的距离公式及勾股定理即可 求解． 匮圜当 ＝０时，ｙ 一丢ｍ ，所 以点ｃ（０，一 ３，ｍ ）．所以Ａ曰２：（ 。 ） ， ＡＣＺ＝ｘ￣＋（一 ３ ｍ ＋ｆ．－寻 因为ＡＡＢＣ是直角三角形．所以 ＡＢ ＝ＡＣａ＋ＢＣ￣．所以（ １－－Ｘ２） ＋ 船（÷ 以 詈ｍ 所以一２（一 ３ ｍ ）＝一９８ ｍ４．解得
ｍ＝ ．所以ｓ△Ａ ，１・ＡＢ・ＯＣ＝ ３ ２ ２・Ｉ 一 ・Ｉ一号ｍ Ｉ＝÷・２ｍ・÷ｍ
． ３ Ｉ２ （２０ｌｌ贵州安顺）如图２， 抛物线），＝ ２＋ 一２与 轴交于Ａ，曰 两点，与ｖ轴交于点Ｃ，且Ａ（一１．０）．
ｆ
， ｃ Ｄ 图２ （１）求抛物线的解析式及顶点Ｄ 的坐标． （２）点Ｍ（ｍ，０）是 轴上的一个 动点，当ＣＭ＋ＤＭ的值最小时，求ｍ的 值．
粤 ， 牲 强 湃 １ 因为点』４（－１，０）在抛物 线），：吉 ２＋ 一２上，所以 ２×（一１） ＋ ２ ６×（一１）～２＝０．解得６一寻，所以抛物 线的解析式为ｙ＝吉 ２一寻 一２．又ｙ＝ Ｘ２￣２－Ｌ２ 一２＝÷（ ３ ．４）＝ １。 ２ ２ ２ ２
，所以舭。的坐标为 ／３ ２５＼ ＼２’８ Ｊ。
在几何图形上，一般是两点之间线 段最短的问题，对于最短，与对称知 识相关，所以，我们要把所求的结论 转化在同一条直线上．综合相似知 识求解． 暖圃如图３，作点ｃ关ｆｆ－ｘ－￣的 对称点Ｃ ，则ｃ，（０，２），０ ｃ，＿２．连结Ｃ Ｄ 交 轴于点 ．根据轴对称性及两点 之间线段最短可知此时 Ｇ＋ Ｄ的 值最小．设抛物线的对称轴屯轴于点 Ｅ。因为ＥＤ／／ｙ轴．所以／ＯＣ Ｍ＝ ＥＤＭ． Ｃｌ ０Ｍ＝ ＤＥＭ．甄以 ＡＣ，ＯＭ △ＤＥ 所以—ＯＭ—：—ＯＣ＇． ＥＭ ＥＤ 所以 ： ．所以ｍ： ． ３ ２５ ４１ ——一ｍ—— ２ ８ ） Ｃ ｆ ，曰 １． ●
Ｄ． Ｉ１ ｌ＇ － ● ， ｃ 图３ 熙利用解析１的关系，从 函数角度看．找出符合条件的解析 式进行求解．但首先要找出对称点 的坐标． 疆蕊如图３，作出点ｃ关ｑ－ｘ＆ 的对称点Ｃ ，则Ｃ （０，２），ＯＣ ＝２．连 结Ｃ Ｄ交 轴于点 ．根据轴对称性及 两点之间线段最短可知此时ＭＣ＋ ＭＤ的值最小．设直线Ｃ Ｄ的解析式 ｝ｎ＝２， 为ｙ＝ｋｘ＋ｎ，则｛３， ２５解得ｎ＝ ｌ～ 十ｎ＝一一． 【２ ８ ２， 一４１ｌ２．所以ｙ＝一 ４１ ｘ＋２．所以当 ｙ＝０时，一４１１２ ＋２＝ｏ．解得 ＝ ，所以
ｍ：丝．囝
枷 Ｉ｜数学辅导
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