八年级二次根式 教师讲义带答案

二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．1、二次根式的概念（1）代数式a（0a ）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）1.2；2xy ；22m n +；x；21030x x -+；6x ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★ 【答案】B ．【解析】 1.2、22m n +、21030x x -+是二次根式，2xy 、x、6x 不一定是二次 根式，当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？（1）4x -；（2）11||x -； （3）23x y ； （4）1||4x -． 【难度】★【答案】（1）4x ≥；（2）11x -<<；（3）0y ≥；（4）14x ≥或14x ≤-．【解析】（1）由40x -≥，得4x ≥； （2）由10x ->，得11x -<<； （3）由230x y ≥，得0y ≥；（4）由104x -≥，得14x ≥或14x ≤-． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【例3】对于a 下列说法中正确的是（）A ． 对于任意实数a ，它表示的是a 的算术平方根B ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的算术平方根C ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的平方根D ． 对于任意的非负实数a ，它表示的是a 的算术平方根 【难度】★ 【答案】D ．【解析】(0)a a ≥表示a 的算术平方根． 【总结】本题考查算术平方根的概念．例题解析【例4成立的条件是（）A ．02xx ≥- B ．0x ≥ C ．2x ≠ D ．2x > 【难度】★ 【答案】D ．【解析】由0x ≥，20x ->，得0x ≥，2x >，∴2x >．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例5】求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1（2 【难度】★★【答案】（1）1x ≥或0x <；（2）12x ≥-且1x ≠． 【解析】（1）由110x -+≥，得1x ≥或0x <； （2）由21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，得12x ≥-且1x ≠． 【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例6】实数x 、y满足，xy y=，求的值．【难度】★★ 【答案】3．【解析】由0x ≥0x≥，得x =y =；∴3x y =．【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．【例72|313|0x y --=，求2016()x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意得：2203130x x y -=⎧⎨--=⎩，解得：23x y =⎧⎨=-⎩，∴20162016()(1)1x y +=-=．【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．【例8】如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中()P m n ，的位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【难度】★★ 【答案】C ．【解析】Q 0mn ≠，∴0m ≠且0n ≠，0m ∴->，0m ∴<． 0mn >Q 又， 0n ∴<．故点P 在第三象限． 【总结】二次根式的被开方数为非负数．【例9】如果2y =xy 的值． 【难度】★★ 【答案】6．【解析】33x x ≥≤∵，， 3x ∴=，2y ∴=， 6xy ∴=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例10】 已1()2x y z x y z ++，求、、的值．【难度】★★★【答案】1x =， 2y =，3z =．【解析】由题意得：x y z =++，∴0x y z ---， 即)))2221110++=，∴1x =， 2y =，3z =．【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式．【例11】 若22223232()a b b c a b c ab bc ac -=+-=-++---，，求的值． 【难度】★★★ 【答案】30．【解析】Q 23a b -=+，23b c -=-，∴4a c -=． ∴ =原式222222222a b c ab bc ac ++--- =()()()222a b b c a c -+-+- =()()22223234++-+=74374316++-+ =30．【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．【例12】 若z 适合352325320162016x y z x y z x y x y +--++-=-++--，求z 的值． 【难度】★★★【答案】3358．【解析】 Q 20160x y -+≥， ∴2016x y +≥．又 Q 20160x y --≥， ∴2016x y +≤， ∴2016x y +=． ∴35232530x y z x y z +--++-=．即35230125302x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩L L （）（）， 解得：220143358x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出2016x y +=，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．1、 二次根式有意义的条件是什么？师生总结1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：aa bb=（0a ≥，0b >）．（2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例13】 计算下列各式的值：（1）23； （2）2(3)-；（3）2(3)--； （4）2(3)-；（5）21()5-； （6）221(0)x x x -+<．【难度】★【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）15-；（6）1x -+．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果． 【总结】考查二次根式性质2的运用．知识精讲模块二：二次根式的性质例题解析（10)a >； （2（30)a <；（400a b ><，）．【难度】★【答案】（1）22）23）2ab c -4）a ． 【解析】（1）原式2=；（2）原式2=；（3）原式2ab c =-（4）Q 00a b >>，，∴0a b ->，∴原式=()a bb a ---=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例15】 化简：（1；（2（3）20a a <()；（45)x <<．【难度】★★【答案】（1）21a +；（2）()()00(0)0a b a b a b a b ab ++>⎧⎪+=⎨⎪--+<⎩；（3）3a -；（4）3．【解析】（121a =+； （2()()00(0)0a b a b a b a b a ba b ++>⎧⎪+=+=⎨⎪--+<⎩；（3）()223a a a a =--=-； （4253x x -=+-=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．（10)x >；（22+．． 【难度】★★【答案】（1）()()10111x x x x -<<⎧⎪⎨-≥⎪⎩； （2）1x -．【解析】（1()()101111x x x x x -<<⎧⎪-=⎨-≥⎪⎩； （2）Q 20x -≥，∴2x ≥．∴原式=122x x x ---+-=1221x x x x --++-=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．（1（2）（3）2-（4）(1)x - 【难度】★★【答案】（1 （23）4）【解析】（1（2）=（3）2-（4）(1)x -== 【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．（100)ab bc ><，；（20)a b << 【难度】★★【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1）原式=a c ac ⋅==- （2）原式=2222a b a b -=-．【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．【例19】 已0，求()x x y +的值． 【难度】★★ 【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=⎧⎨+-=⎩， ∴21x y =⎧⎨=⎩．∴()()2219x x y +=+=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．【例20】 已知x y 、是实数，且1|1|21y y y -<-，求的值． 【难度】★★ 【答案】1-．【解析】由题意得：1x =，12y <；∴|1|1111y y y y --==---．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例21】 已知125x x -=-，求x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】14x ≤≤．【解析】由题意得：1425x x x ---=-；零点分段法分类讨论即可．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例22】 如7x y --成立，求xy 的值． 【难度】★★ 【答案】30．【解析】由题意得：3x =，10y =，∴30xy =．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．【例23】 已知2x =+的值．【难度】★★．【解析】=又∵2x =，∴42420x -=+=<．∴原式=()()41411x x x x -=-==---【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．【例24】 已知2441310x x x x --+=+，求的个位数字． 【难度】★★ 【答案】7． 【解析】∵1130x x-+=， ∴113x x+=． ∴2222112132167x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，∴()2422421121672x x x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，∴个位数字为7．【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．【例25】 （1）在△ABC 中，a b c 、、0，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根． 【难度】★★【答案】（1）814c ≤<；（2）±【解析】（1）根据题意，即为60a -，由此60a -=，80b -=，解得：6a =， 8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b ≤<+，即814c ≤<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩，∴=±【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．【例26】 已知：1141r a b c r r ≥=-==+，，，试比较a 、b 、c 的大小． 【难度】★★★ 【答案】a b c <<． 【解析】由题意得：22a =-=，∵4r ≥， 1≤<，∴a b <；又∵11b r c ===， ∴b c <，∴a b c <<．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例27】 已b 的式子表示）． 【难度】★★★ 【答案】21b b -．21-=∴()211b y b-+=，∴原式=21bb-． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例28】 化简：2222222222(20)a b a a b a b a b a b -+---->>． 【难度】★★★ 【答案】a b +． 【解析】原式=()()222222222ab a a b a a b b-+-+---=()()222222a b aa b b-+---=2222a b a a b b -+---，又∵20a b >>，∴原式=2222a b a a b b -+--+=a b +．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【例29】 已知：m =1465-，求43224882467m m m m m m --++-+的值．【难度】★★★ 【答案】8．【解析】由题意得：35m =-；∴35m -=，∴2(3)5m -=，∴264m m =-， 把264m m =-代入原式，合并同类项得：原式=8．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．师生总结1、 二次根式具有哪些性质？【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．A ．2(2)2=B ．22(2)2=C ．22(2)2-=-D ．211()42-=-【难度】★ 【答案】A ．【解析】根据二次根式性质1即可得出结果． 【总结】考查二次根式的性质1．【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？ （1）4； （2）1a +；（3）2a ；（4）211a +；（5）223x x -+；（6）22(0)x x x -<．【难度】★【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是． 【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？（1）43x -； （2）121a --；（3）2a ；（4）143x--；（5）22x x -+-；（6）x． 【难度】★ 【答案】（1）43x ≤；（2）12a <； （3）a 为任意实数；（4）43x >；（5）2x =； （6）0x ≥．【解析】（1）由430x -≥得：43x ≤； （2）由1021a -≥-得：12a <；（3）a 为任意实数； （4）由1043x -≥-得：43x >； （5）2x =； （6）0x ≥．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．随堂检测【习题4】 化简：（1）24()9-；（2）22((2))a -；（32441x x -+12x ≥（；（42(3)a -【难度】★★【答案】（1）49； （2）24a ； （3）21x -； （4）()()()3330333a a a a a a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩．【解析】（12444()=999--=； （2）222((2))4a a -=；（324412121x x x x -+-=-； （4()()()233(3)30333a a a a a a a ->⎧⎪-=-==⎨⎪-<⎩．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题5】 化简下列二次根式：（13275(00)x y x y ≥≥，；（22(3.14)-π（32(0)a a a <．【难度】★★【答案】（1）53x （2） 3.14π-； （3）2a -． 【解析】（132227525353x y x y x xy x == （22(3.14) 3.14 3.14π-=-=-ππ； （322a a a a a =--=-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【习题6】 已知2+的整数部分是a ，小数部分是b ，那么(2b a ++的值是多少? 【难度】★★ 【答案】5．23<，∴425<<，∴4a =，242b ==，∴()224(52b a =++=．【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【习题7】 已知3x = 【难度】★★ 【答案】1．代入3x =， 原式．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题8】 222(2)023y x xy y +=-+，求的值． 【难度】★★ 【答案】40．【解析】∵3020x y -=⎧⎨+=⎩， ∴32x y =⎧⎨=-⎩．∴代入得：2223x xy y -+=()()2223332240⨯-⨯⨯-+-=．【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．【习题9】 已知非零实数x 、y 满足条件24224x y x -++=-，求x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】∵()230x y -≥，∴30x -≥，即3x ≥，∴240x ->， ∴24224x y x -++-，即20y +=，∴2030y x +=⎧⎨-=⎩， 解得：32x y =⎧⎨=-⎩．∴3(2)1xy +=+-=．【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．【习题10】 =a x y 、、是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+值等于 __________．【难度】★★★【答案】13．【解析】由题意知： ()()()()()()01020304a x a a y a x a a y -≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩L L L L L L L L ， 解得：0a x y =⎧⎨=-⎩．∴22222222223313x xy y y y y x xy y y y y +---==-+++． 【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【习题11】 求满足26a x y -=-的自然数a x y 、、的值． 【难度】★★★【答案】617x y a ===，，或325x y a ===，，． 【解析】由题意得：262(1)a x y xy -=+-L∵26a -是无理数，假设xy 是有理数，则2x y xy +-是有理数，这与（1）式矛盾， ∴xy 为无理数，∴6x y a xy +=⎧⎨=⎩，又∵26a x y -=-，∴x y >．∴617x y a ===，，或325x y a ===，，．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？（1）x； （2）2； （3）1(1)x x -<； （4）244b b -+； （5）321a +； （6）222a +．【难度】★【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是． 【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．课后作业【作业2】 将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（11)x >；（2）(2)x x ->． 【难度】★【答案】（12）1．【解析】（1==（2）(1x -==．【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．【作业3】 若11)-有意义，则x 的取值范围是______． 【难度】★【答案】10x x ≥≠且．【解析】∵11)-=∴101010x x x +≥⎧≥⎧⎪⎨≠≠⎩，解得：． 【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【作业4】 计算：201520162)2)． 【难度】★★2．【解析】))2015201520162)2)222⎡⎤=⎣⎦2．【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．【作业5】 化简：（10)y <；（2）【难度】★★【答案】（1）（2【解析】（1）原式=(136y ⨯-=（2）原式()()00xx =>⎪<⎪⎩L L ，∴=． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【作业6】 已知x 为非零实数，且112221x x x a x-++=，则=________．【难度】★★ 【答案】22a -． 【解析】∵1122x xa -+=， a =， ∴212x a x++=， ∴212x a x +=-，∴22112x x a x x+=+=-．【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合．【作业7】 若代数式3|2|0a ab --，求的立方根． 【难度】★★【解析】由题意得：2,4a b ==，∴3a b -=【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．【作业8】 m 2 【难度】★★【答案】2．【解析】由题意得：1m =12m m-=． 【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．【作业9】 已知a b c 、、为有理数，且等式a +29991001a b c ++求的值．【难度】★★★【答案】2000．a +∴011a b c ===，，， ∴2999100199910012000a b c ++=+=．【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．【作业10】 已知14(01)a aa +=<<的值． 【难度】★★★【答案】【解析】212422aa=+-=-=，∵01a <<0<= 【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．【作业11】 已知2|8|(41)0x y y -+-【难度】★★★【答案】1．【解析】由题意得：80410830x y y z x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：21434x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩132122+-=． 【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．【作业12】 化简：（1（2．【难度】★★★【答案】（12；（2． 【解析】（12；（2． 【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即=，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．。

八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。

(A)x≥1
(B)x≥-1
(C)-1≤x≤1 (D)x≥1 或 x≤-1
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
4.计算 12 × 3 的值是 6 . 5.计算:
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
知识点 二次根式的乘法运算
例 1 计算:
(1) 5 × 7 ;(2) 1 × 9 ;(3) 9 × 27 ;(4) 1 × 6 .
3
2
【思路点拨】运用法则 a · b = ab (a≥0,b≥0). 解:(1) 5 × 7 = 57 = 35 .
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
16.2 二次根式的乘· b = a b (a≥0,b≥0), 反之 ab = a · b (a≥0,b≥0).
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
(2) 1 × 9 = 1 9 = 3 .
3
3
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
人 教 版 八 年 级数学 下册第 十六章 二次根 式课件 +测试题 含答案 ppt3（ PPT优 秀课件 ）
(3) 9 × 27 = 9 27 = 92 3 =9 3 .

第1课时二次根式课时目标1. 了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件；2. 掌握二次根式的四个基本性质；3. 会根据二次根式的性质化简二次根式；4. 了解什么是同类二次根式，并会合并同类二次根式；5. 掌握二次根式的加法和减法运算法则；6. 掌握二次根式的乘法和除法法则.知识精要1. 定义)0a≥叫做二次根式，其中aa≥.2. 二次根式的性质性质1 ()0a a=≥（双重非负性）性质2 ()20a a=≥()()()00a aa aa a≥⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质3 =()0,0a b≥≥性质4 =)0,0(>≥ba3. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为化简二次根式.化简关键：将被开方数因式分解或因数分解，使出现完全平方数或偶次方因式，最后结果的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即化成最简二次根式. 化简二次根式同时满足两个条件：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母. 4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以进行合并. 5. 二次根式的加法和减法一般过程：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.（化简，合并）)0()(≥+=+c c b a c b c a6. 二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；)0,0(≥≥=⋅b a ab b a（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.)0,0(>≥=b a baba 7. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.一般方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 8. 有理化因式两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的非零代数式叫做互为有理化因式. 注:有理化因式不唯一(1)如单独一项 ；(2)；；热身练习1. 当x 取何值时，下列各式有意义.（确定字母的取值范围）（1 32x ⎛⎫⇒≥⎪⎝⎭（2()0x ⇒≤（3( x 是任意实数) （4）()2x ⇒>（5）3x - ()43x x ⇒≥-≠且 （6()3x ⇒=2. 二次根式的运算（1）（48－814）－（313－5.02） （2）（548＋12－76）÷3； 解：原式 ＝33 解：原式＝（203＋23－76）×31＝20＋2－76×33＝22－221．（3）50＋122+－421＋2(2－1)0；解：原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2 ＝52．精讲名题例1：)0(323543<a c b a解：易知0c ≤，则原式=()2234a b c =⨯⨯-⨯⨯212ab c =-练习：化简二次根式（1 （20)m ≤ 解：0a <易知， 解：原式=m 7-则原式=3=3=-；（3）已知，02x <<解：原式 =22x x =++-2222x x x x +-==例2：解不等式)1x x ≥+解：3x ≤--练习：解方程和不等式（1）=- （2）54215323->+y yx =61211<y（3）-+5x >例3分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷． 解：设422-++=n n a ，422--+=n n b ，那么 )2(2+=+n b a ，)2(4)4()2(22+=--+=n n n ab ，n abb a ab ab b a ab b a a b b a =-+=-+=+=+=∴2)(2)(2222原式练习： 有这样一道题，计算：x x x x x x x x x x +---+--+-->2222244442()的值，其中x =1005，某同学把“x =1005”错抄成“x =1050”，但他的计算结果是正确的.请回答这是怎么回事？试说明理由.解析：这是一道说理型试题，既然x 的值取错，计算结果仍是正确.那么可以猜测此二次根式化简后与x 的值无关.这时应化简二次根式，揭开它神秘的面纱. 解：设42-+=x x a ，42--=x x b ，那么 x b a 2=+，4)4(22=--=x x ab ，22)(2)(22222-=-+=-+=+=+∴x abb a ab ab b a ab b a a b b a 22-=-+=∴x abb a 原式 计算结果不含x ∴即使抄错x 的值，计算结果依然是正确的.备选例题例1. 已知：x +y =－5，xy =4，求xyy x +的值. 分析：因为xy =4，所以x 、y 同号，又因为x +y =－5，所以x 、y 同为负数. 解法一：经分析知，x <0，y <0 原式=xyxy y x x xy y xy x xy y xy xxy yxy )(22+-=-+-=+=+ 当x +y =－5，xy =4时，原式=25解法二：设xy yx +=m 两边平方得：22)(222222+-+=++=++=xyxyy x xy y x x y y x m 当x +y =－5，xy =4时，4252=m ，即原式=25例2. 一类特殊的二次根式求和问题+⋅⋅⋅+解：原式=9900100999910063223222-++-+-=10010099993322221-++-+-=1001001- =910巩固练习1．如图所示，数轴上点A 与点B 分别对应实数a 、b ，下列四个等式中正确的个数有（ B ）（1）a a -=2 （2）a a =2)(（3）b a b a +=+2)(（4）a b a b -=-2)( A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、42. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、3．设24-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为（ A ） A 、221-B 、2 C、12+ D 、2- 4．把（a －1中根号外的（a －1）移入根号内得（ D ） A、 BCD5．设a =，则 ( A ) A 、01a << B 、1a = C 、12a << D 、2a >6. 当m为何值时，二次根式. 解：由已知得：m m 61232624-=-，32234326-=-m m · 0· 1· A· B32612-=-∴m m815=∴m7. 看下列解题过程是否正确，如果错误请说明理由并改正.（1)1解：原式1=同一级运算中，要按从左到又的顺序进行，正确答案是423-.（2解：原式= 乘法对加法的分配律在除法中不能随便套用，正确答案是3223+.8.已知a =和代数式（1）上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？解：2222)1(214)1(a a a a a a +=++=+-，2222)1(214)1(aa a a a a -=-+=-+.（2）如何确定1a a -和1a a+的值是正值还是负值？解：23231-=+=a ，231+=a∴0321>=+aa ，0221<-=-a a（3解：原式=2232211|1||1|-==-++=--+a aa a a a a a a自我测试1. 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ D ） A 、31-=x y B 、31-=x yC 、3-=x yD 、3-=x y2. 下列变形中，正确的是………（ D ）A 、(23)2＝2×3＝6B 、2)52(-＝－52C 、169+＝169+D 、)4()9(-⨯-＝49⨯ 3. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ D ） A 、45与20 B 、3x 与2xy C 、x5与2345y x D 、xy 与y x 11+4. 下列根式中，不属于最简二次根式的是（ D ）A 、a 3B 、22y x +C 、x 331D 、9 5. 若0,0x y >>，则化简 C ） A、BCD、6. 如果最简二次根式83-a 和a 217-是同类二次根式，那么求使a x 42-有意义的x 的取值范围.解：由已知得：a a 21783-=- 解得 5=a0202≥-∴a 即 10x ≥7. 分母有理化：10321032-+解：原式(2221122+===+8. 解方程：)35(3)51(5+=+x x解：x =x =25)35(54⨯+=x515210+=x9. 解不等式：x x 181)83(21+<-解： 12>16x >10. 02)+02)+(11|1=++．111=．1=。