八年级二次根式教师讲
义带答案
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第五章二次根式【知识网络】
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二
次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意
义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即
0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0
的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答
题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的
公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等
于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即
；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的
平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因
而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意
义，而.
知识点七：二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2)注意知道每一步运算的算理；
(3)乘法公式的推广：
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
例如+⨯
法分配律进行乘法运算，4
3
+⨯=+=+化简目的；
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.
如：
22
1=
-=，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化
把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式
相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
常用的二次根式的有理化因式：
（1
（2）a a +互为有理化因式；一般地a a +-
（3-互为有理化因式；一般地互为有理化因式.
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 二次根式的最值问题
【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.
例1 当x 3的值最小最小值是多少
分析 00，因为3是常
3的最小值为3.
0，
33≥，
∴当9x +1=0，即1
9
x =-3有最小值，最小值为3.
【解题策略】0（a ≥0）. 专题2 二次根式的化简及混合运算
【专题解读】||a =这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.
例2 下列计算正确的是 （ ） 分析 根据具体选项，应先进行化简，再计算. A 选项中，
==
B 33233
--=，C 选项逆用平方差公式可求得255（）（2-）=4-5=-1，而D 2622
32-=.故选A.
例3 计算2006200721)21)的结果是 （ ） 分析 本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为
2006[(221)]21)2 1.=故选D.
例4 书知22
2
8
442142x x y x x x y y x x
++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值，但要注意所得x 的值应使分式有意义.
解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪
-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠
【解题策略】 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义.
例5 2235
41294-202522
a a a a a -++-（≤≤）.
【解题策略】 2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，
＜
例6 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，
化简222||()().a a c c a b -+-
解：由a ，b ，c 在数轴上的位置可知：
【解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.
图21-8
