宁夏石嘴山市光明中学2012届高三第三次模拟数学(文)试题[1]

银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}*5A x x x =∈≤N 且，()(){}130B x x x =+->，则U A C B = （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32．在复平面内，已知复数11z i =-对应的向量为1OZ ，现将向量1OZ绕点O 逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量2OZ ，设2OZ 对应的复数为2z ，则21zz =（）A ．2iB．C ．2D．3．a b >的一个充要条件是（）A ．11a b<B ．22ac bc>C ．22log log a b >D ．1.7 1.7a b>4．已知函数2()121xf x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点，O 是AC 与BD 的交点，以下命题中正确的是（）A ．1//BC 平面AECB ．1B O ⊥平面AECC ．1DB ⊥平面AECD ．直线1A B 与直线AE 所成的角是60°6．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA = ，则CE 与BD的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，现将角α的终边绕原点O逆时针方向旋转6π与单位圆交点的纵坐标为35，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．725-B ．725C ．1825-D ．18258．已知圆锥SO ，其侧面展开图是半圆，过SO 上一点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积的比为34，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比为（）A ．38B ．12C ．58D ．349．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为()(),2,!0,1k P K e k k x λλ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中np λ=．一般地，当20n ≥而0.05p ≤时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量()~1000,0.001X B ，()2P X ≥的近似值为（）A ．11e-B ．21e-C ．14e -D ．211e -10．已知函数()2sin()(0,2f x x πωϕωϕ=+<>的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为4πB ．()g x 的图象关于直线23x π=对称C ．()g x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过原点O 作斜率为()0k k >的直线交C 于点A ，取OA 的中点B ，过点B 作斜率为k -的直线l 交x 轴于点D ，则AF OD -=（）A ．1B ．2C ．4D ．与k 值有关12．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)2f x f x ++-=，(2)(2)f x f x +=-，()f x 在[]0,1单调递减，则不等式1(1)12f x -<在区间[]8,8-所有整数解的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．点(),0F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与双曲线C 的一条渐近线交于A 、B ，若△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．14．在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，BC =D 为BC 边上一点，且AB AD ⊥，则△ABD 的面积等于________．15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．16．关于x 的不等式log (01)x a a x a a ≥>≠且恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨．2018年至2021年全国水产品年产量y （单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x 1234年产量y6.466.486.556.69（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数:渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ˆniii nii x ynxy xnx β==-=-∑∑，ˆˆy x αβ=-，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828参考数据 6.545y =4165.83i ii x y==∑18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a n -++++=⋅ ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在①2n a n n S b n =+，②1n nb S =，③1(1)2n n n b a -=-⋅这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且22AB CD ==，90ABC ∠=︒，二面角P BC D --大小为45°，点E 是线段AP 上的动点，求直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E 的位置．20．（本小题满分12分）21()ln (1)2f x ax x a x =+-+．（1）当4a =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0a >时，设()()f x g x x=，若()g x 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+>>=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过(2,1)T ，直线:l y x m =+与椭园E 交于A 、B ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线TA 、TB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：120k k +=；（3）直线l '是过点T 的椭圆E 的切线，且与直线l 交于点P ，定义PTB ∠为椭圆E 的弦切角，PAB ∠为弦TB 对应的椭圆周角，探究椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠的关系，并证明你的论．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 是以(2,)2π为圆心，且过点23M π的圆．（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，求22PA PB +的值．23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()221f x x x =+--．（1）求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若(],,1a b ∈-∞且满足()()f a f b >，记c 是()f x 的最大值，证明：2122()a cb a b +≥+-．银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学参考答案选择题答案123456789101112C ADCBCAABCAB填空题答案13．621415．4516．1,e e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．（1）解：由题意知：1(1234) 2.54x =+++=， 6.545y =4165.83iii x y==∑4222221123430ii x==+++=∑所以414221465.834 2.5 6.5450.076304 2.54iii ii x yxyxx β==--⨯⨯===-⨯-∑∑，6.5450.076 2.5 6.35ˆ5ˆay x β-⨯==-=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.076 6.355yx =+．当8x =时，ˆ0.0768 6.355 6.963 6.9y=⨯+=>6分所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标．（2）列联表渔业年产量超过90万吨的地区渔业年产量不超过90万吨的地区合计有渔业科技推广人员高配比的地区41216没有渔业科技推广人员高配比的地区10616合计141832222()32(461012) 4.571 3.841()()()()16161418n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯>⨯⨯故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．12分18．解：因为211233333n n n a a a a n -++++=⋅ 当2n ≥时2211231333(1)3n n n a a a a n ---++++=-⋅ 相减得11133(1)33(21)n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+得21n a n =+3分当1n =时，13a =满足上式4分综上：21n a n =+22n S n n=+6分（2）选①2n a nn S b n=+解：由（1）可知：21n a n =+22n S n n=+∴2212122222na n n n n S n nb n n n+++=+=+=++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ ∴3(32)2(14)(5)8(41)21423n n n n n n n T ++-+-=+=+-12分选②1n nb S =解：由（1）可知：22n S n n=+∴11111((2)22n n b S n n n n ===-++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 111111111111111111()()()(((21322423524621122n T n n n n =-+-+-+-+++-++ 111113111(()212124212n n n n =+--=-+++++12分选③1(1)2n n n b a -=-⋅解：由（1）可知：21n a n =+∴1(1)22n n n n b a n -=-⋅=⋅∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 则1231122232(1)22n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 于是得23122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得231112(12)222222(1)2112n nn n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以1(1)21n n T n +=-⋅+．12分19．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OP AC ⊥①同理可得，OB AC ⊥②∵平面OP OB O = ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ∴PB AC⊥5分（2）以C 为原点，以CD 为x 轴，以CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC ∠=︒，//AB CD ，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥面PCD ，所以BC PC⊥PCD ∠二面角P BC D --的平面角，45PCD ∠=︒，22AB CD ==，所以P （2，0，2），A （2，2，0），B （0，2，0），D （1，0，0）设(),,E x y z ，()0,2,2PA =- ，()2,,2PE x y z =--，设PE PAλ= 解得()2,2,22P λλ-，所以()2,22,22PB λλ=--设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =()0,2,2PA =- ，()1,2,0PD =22020y z x y -=⎧⎨-=⎩令1y =，∴2x =，1z =()2,1,1n =直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值sin cos ,3<>PB n θ===≥，min 2sin 3θ=，此时0λ=，E 与P 重合．12分20．解析：21()ln (1)2f x ax x a x =+-+当4a =-时，2()2ln 3f x x x x=-++所以21431(41)(1)()430x x x x f x x x x x-++---'-++==>=解得1x >所以()f x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减所以()f x 在1x =处取得极大值(1)1f =，无极小值．5分()1ln ()(1)2f x xg x ax a x x==+-+有两个极值点，所以22211ln 11ln 2()02ax xx g x a x x +--'=+==有两个不等正根所以21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．211()0ax h x ax x x-'-=>=解得x >所以()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增当0h <，即11102a a +-<，解得3a e -<10分当x ∈时，令0min x ⎧⎪=⎨⎪⎩，易知，当0x x <，()0h x >当)x ∈+∞又因为ln 1x x <-，ln 1x x ->-+所以2211()1ln 222h x ax x ax x =>+-+-令2122y ax x =+-，当140a ∆=-≤，21202y ax x =+-≥恒成立所以存在0)x ∈+∞，当0x x >，()0h x >当140a ∆=->，21202y ax x =+-=有根1114a x a =，2114a x a +=所以存在02x x >时，当0x x >，()0h x y >>由零点存在定理，21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．综上30a e -<<12分21．解析：（1）由题意知2b c a ==所以222a b=又椭圆经过T （2，1），所以22411a b+=解得26a =，23b =，所以椭圆方程为22163x y +=2分（2）联立直线与椭圆方程得2226y x mx y =+⎧⎨+=⎩∴222()6x x m ++=，∴2234260x mx m ++-=又因为有两个交点，所以221612(26)0m m ∆=->-，解得33m -<<又1243mx x +=-，212263m x x -=121212121211112222y y x m x m k k x x x x --+-+-+=+=+----1212122121112(1)(2222x m x m m x x x x -++-++=+=+++----1212121212442(1)2(1)(2)(2)2()4x x x x m m x x x x x x +-+-=++=++---++2442(3)32(1)2(1)0264(1)(3)2()433mm m m m m m m --+=++=-+-++--+得证8分（3）椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠相等设切线方程为()12y k x -=-221226y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩∴222(12)6x kx k ++-=∴222(12)4(12)2(12)60k x k k x k ++-+--=0∆=∴1k =-设切线与x 轴交点为Q ，TA 、TB 分别与x 交于C ，D12 0k k +=，所以TCD TDC ∠=∠，又TQD AMC ∠=∠，TCD TAB AMC ∠=∠+∠，TDC PTB POD ∠=∠+∠所以PTB BAT ∠=∠证毕．12分22．（1）解：∵直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）∴直线l的普通方程为10x --=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，C （0，2），(M ，半径2CM =∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=5分（2）由（1）可知：曲线C 的普通方程为2240x y y +-=，将直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的的普通方程为2240x y y +-=整理得21)20t t +--=设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则有121212t t t t +=-=-⎧⎪⎨⎪⎩由参数t的几何意义可得：222222121212()2(12(2)8PA PB t t t t t t +=+=+-=-⨯-=-10分23．（1）解：由题意知：4,2,3,21,4, 1.x x y x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩作出函数()221f x x x =+--的图象，它与直线3y =-的交点为()1,3--和()7,3-．由图象可知：不等式()3f x ≥-的解集[]1,7-．5分（2）由（1）可知：当1x =时，()y f x =取得最大值3，即3c =∵()y f x =在(],1-∞上单调递增，且()()f a f b >∴a b >，即0a b ->∵2221112(2)2()3()()3()()()a cb a b a b a b a b a b a b +-+=-+=-+-+----30≥-=（当且仅当21()a b a b -=-时取等号）∴2122()a cb a b +≥+-即证之10分银川市2023年普通高中学科教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

宁夏回族石嘴山市平罗县2023届数学三下期末学业质量监测试题一、快乐填一填。

1．350里面有_____个7；420是6的_____倍．2．一张方桌的桌面面积是64________，一张名片的面积约为45________。

3．用分数表示下面各图中的阴影部分。

（______）（______）（______）4．546 □，要使商是两位数，里最大填（______），要使商是三位数，里最小填（______）。

5．一头牛每天需要饲料12千克，这头牛5月份共需要饲料（______）千克。

6．照样子填一填：14∶15——5∶30————23∶08下午2时15分——（ ）——晚上9∶40——（ ）7．一列火车晚上8：15出发，第二天6：50到达，途中用了______小时______分．8．有一种电脑病毒，每到一个月的31日就发作一次，请你想一想，这种病毒每年一共要发作（______）次。

9．在括号里填上合适的单位名称。

明明的身高约1.4（________），体重是32（________），他使用的数学书封面的大小约2（________），他所在的教室面积约为50（________）。

10．642÷3的商是___位数，商的最高位在____位上，商是___． 11．把一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸片剪下一个最大的正方形，剩下部分的面积是________平方厘米。

二、公正小法官。

12．12×58的积的末尾没有0。

（____） 13．两个整十数相乘，积的末尾只有2个0. （_______）14．正方形的边长扩大为原来的3倍，周长和面积都扩大为原来的3倍。

（______）15．所有的小数都比1小，比0大。

（________）16．图中涂色部分可以用0.4表示。

（______）17．1 kg 铁皮比 1000 g 棉花重． （_____）18．两位数乘两位数，积不一定是三位数。

（________）三、精挑细选。

宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷命题教师：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}{}1,0,1,2,032|2--=<--∈=B x x Z x A ,则A B = （）A ．{}1,2--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}0,1,2--D ．{}1,02．若()()2i 1i z =+-，则z z +等于（）A ．2B ．6C ．2-D ．6-3．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．44．在ABC ∆中，AB c = ，AC b = ，若点M 满足2MC BM =uuu r uuu r ，则AM =（）A ．2133b c- B ．1233b c+C ．5233c b-D ．2133b c+5．已知命题p ：1x ∀<，3log 0x>；命题q ：0x ∃∈R ，0202x x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∨B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．p q∧6．已知25sin 2cos24θθ+=，则sin 2θ=（）A ．1516-B ．1516C ．34-D ．347．已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到y 轴的距离为3，O 为坐标原点，则OA =（）A ．B ．6C ．D ．98．已知l 是曲线2ln =+y x k x 在1x =处的切线，若点()0,1-到l 的距离为1，则实数k =（）A ．54-B ．45-C ．1D ．1-9．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为a ，则表高为（）（注：sin15︒=A．(2aB．34a C．14a D．34a 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AA ，11C D 的中点，过,,D M N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，则线段1PB 的长为（）A ．14B ．34C ．12D ．不确定11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线C 的右焦点且斜率为a b -，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N 两点（N 点在x 轴下方），且2ON OM =，则C 的离心率为（）A ．2B．C．D．312．已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（）A ．21x x >B ．21x x ≥C ．12x x >D ．12x x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为__________．14．2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．15．圆心在直线0=+y x 上，且过点()()0,4,2,0-的圆的标准方程为__________．16．如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置．若M 为线段1AC 的中点，在ADE V 翻折过程中（1A ∉平面ABCD ），给出以下结论：①存在1A DE △，使1DE A C ⊥；②三棱锥1B A CE -；③直线//MB 平面1A DE ．则其中正确结论的序号为_________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP 买菜等进入了我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．于是公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作．经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数y （件）与推广时间有关，并记录了经推广x 个月后举报件数的数据：推广月数（个）1234567y （件）891888351220200138112（1）现用by a x=+作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程．（2）分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据（其中i i1=t x ）：7i ii=1∑t yt7i22i=17tt -⨯∑15860.370.55参考公式：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆy bxa =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：iii=11i2i=ˆ-=-∑∑nnx ynx y bxnx ，ˆˆay bx =-．19.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，12AA AB =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点.（1）求证：平面1B MC ⊥平面1B MN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离.20.（12分）已知函数()ln 2,f x x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,cos x y α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB-的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案B B C B A A C A D B D C二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.．133．14231522++-=16②③．(3)(3)10x y19【详解】（1）证明：CM AB ⊥，1CM AA ⊥1AB AA A= 所以CM ⊥平面1B MN ，因为CM ⊂平面1B MC ，所以平面1B MC ⊥平面1B MN ........6分（2）由()0f x =，可得ln 2xa x =，则直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，函数()ln 2x g x x=的定义域为()0,∞+，()21ln 2xg x x -'=，由()0g x '=，可得e x =，列表如下：所以，函数()g x 的极大值为()1e 2eg =，且当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，和函数ln y x =相比，一次函数呈爆炸性增长，所以()0f x →，且()0f x '<，()0f x '→，又()10f =，根据以上信息，作出其图象如下：当102e a <<时，直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，。

光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模）一．选择题（每题3分，共30分）1．实数3-的相反数是()A ．13-B ．13C ．3D ．3-2．下列计算正确的是()A ．246()a a =B ．336()ab a b =C ．235a a a ⋅=D ．224325a a a +=3．2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为()A ．834.4510⨯B ．93.44510⨯C ．103.44510⨯D ．100.344510⨯4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A ．B ．C ．D ．5．如图，ABC ∆与DEF ∆是位似图形，点O 为位似中心，且:1:2OA OD =，若ABC ∆的周长为8，则DEF ∆的周长为()A ．4B ．22C ．16D ．326．一元一次不等式组71143x x +>⎧⎪-⎨⎪⎩解集为()A ．B ．C ．D ．7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为12cm ，双翼的边缘64AC BD cm ==，且与闸机侧立面夹角30PCA BDQ ∠=∠=︒．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A ．76cmB ．(64212)cm +C ．(64312)cm +D ．64cm8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程为()A ．1040(6)x x =+B ．10(6)40x x -=C ．10406x x =+D ．10406x x=-9．如图，在菱形ABCD 中，过顶点D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，连结EF ．若2cos 3A =，BEF ∆的面积为2，则菱形ABCD 的面积为()A ．18B ．24C ．30D ．3610．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，8BC =，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A C B →→方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设DMN ∆的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为()A ．B ．C ．D ．二．填空题（每题3分，共15分）11．因式分解：2328x y y -=．12．若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是．13．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是2m ．14．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，交OB 于点D ，若2BD DO =，AOD ∆的面积为1，则k 的值为．15．如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕CP 交AD 于点P ．若30ABC ∠=︒，2AP =，则PE 的长等于．三．解答题（共55分）16．（5分）计算：011|2|(2)()4tan 453π----+-︒．17．（7分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x 表示）::7075A x <，:7580B x <，:8085C x <，:8590D x <，:9095E x <，:95100F x <随机抽取n 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D 组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E 组”所对应的扇形的圆心角是︒；（2）n =，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n 名学生成绩的中位数是分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2:3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙909518．（7分）如图，已知APB ∠，点M 是PB 上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作O ，使得O 与射线PB 相切于点M ，同时与PA 相切，切点记为N ；（2）在（1）的条件下，若60APB ∠=︒，3PM =，则所作的O 的劣弧 MN与PM 、PN 所围成图形的面积是．19．（8分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点D ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，延长EA 交O 于点F ，连接BF ．（1）求证：AC 平分BAE ∠；（2）若12DE BF =，求tan ADE ∠的值．20．（8分）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量y （件)与销售单价x （元)满足一次函数关系10410y x =-+，设每分钟的销售利润为w 元，求w 与x 之间的函数关系式，并求w 最大值．21．（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为28m 的矩形地块ABCD 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m ．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若10a =，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB 为x m ，BC 为y m ．由矩形地块面积为28m ，得到8xy =，满足条件的(,)x y 可看成是反比例函数8y x=的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m ，得到210x y +=，满足条件的(,)x y 可看成一次函数210y x =-+的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(,)x y 就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数8(0)y x x=>的图象与直线1:210l y x =-+的交点坐标为(1,8)和，因此，木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：1AB m =，8BC m =；或AB =m ，BC =m ．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为a m 时，小颖建立了一次函数2y x a =-+．发现直线2y x a =-+可以看成是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线2y x a =-+与反比例函数8(0)y x x=>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点(2,4)时的图象，并求出a 的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“2y x a =-+与8y x=图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 和BC 的长均不小于1m ，请直接写出a 的取值范围．22．（10分）（1）观察猜想：如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，将ADE ∆绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点C ，连接CE 交BD 于点F ，则BDCE的值为，BFC∠的度数为．（2）类比探究：如图3，当90ACB AED ∠=∠=︒，30BAC DAE ∠=∠=︒时，请求出BDCE的值及BFC ∠的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45BDC ∠=︒．若8CD =，6BD =，请直接写出A ，D 两点之间的距离．光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．实数3-的相反数是()A ．13-B ．13C ．3D ．3-【解答】解：3-的相反数是3，故选：C ．2．下列计算正确的是()A ．246()a a =B ．336()ab a b =C ．235a a a ⋅=D ．224325a a a +=【解答】解：248()a a = ，∴选项A 不符合题意；333()ab a b = ，∴选项B 不符合题意；235a a a ⋅= ，∴选项C 符合题意；222325a a a += ，∴选项D 不符合题意，故选：C ．3．2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为()A ．834.4510⨯B ．93.44510⨯C ．103.44510⨯D ．100.344510⨯【解答】解：34.45亿93445000000 3.44510==⨯，故选：B ．4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是()A ．B ．C．D．【解答】解：由三视图可知这个几何体是：故选：A ．5．如图，ABC ∆与DEF ∆是位似图形，点O 为位似中心，且:1:2OA OD =，若ABC ∆的周长为8，则DEF ∆的周长为()A ．4B ．22C ．16D ．32【解答】解：ABC ∆ 与DEF ∆是位似图形，ABC DEF ∴∆∆∽，//AB DE ，AOB DOE ∴∆∆∽，∴12AB OA DE OD ==，ABC ∴∆的周长：DEF ∆的周长1:2=，ABC ∆ 的周长为8，DEF ∴∆的周长为16，故选：C ．6．一元一次不等式组71143x x +>⎧⎪-⎨⎪⎩解集为()A ．B．C ．D ．【解答】解：解不等式71x +>得：6x >-，解不等式143x -得：13x ，∴不等式组的解集为613x -<，在数轴上表示为：，故选：B ．7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为12cm ，双翼的边缘64AC BD cm ==，且与闸机侧立面夹角30PCA BDQ ∠=∠=︒．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A ．76cmB ．(64212)cm +C ．312)cmD ．64cm【解答】解：如图所示，过A 作AE CP ⊥于E ，过B 作BF DQ ⊥于F ，则Rt ACE ∆中，116432()22AE AC cm ==⨯=，同理可得，32BF cm =，又 点A 与B 之间的距离为12cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32123276()cm ++=，故选：A ．8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程为()A ．1040(6)x x =+B ．10(6)40x x -=C ．10406x x =+D ．10406x x=-【解答】解：设第二次分钱的人数为x 人，则第一次分钱的人数为(6)x -人．依题意得：10406x x=-．故选：D ．9．如图，在菱形ABCD 中，过顶点D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，连结EF ．若2cos 3A =，BEF ∆的面积为2，则菱形ABCD 的面积为()A ．18B ．24C ．30D ．36【解答】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G ，DE AB ⊥ ，DF BC ⊥，90DEA DFG ∴∠=∠=︒， 四边形ABCD 是菱形，AB BC AD CD ∴===，A C ∠=∠，//AD BC ，在ADE ∆和CDF ∆中，DEA DFC A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=，AB AE BC CF ∴-=-，即BE BF =，设3BE BF a ==，//AD BC ，FBG A ∴∠=∠，2cos cos 3BG FBG A BF ∴∠===，223BG BF a ∴==，2222(3)(2)5FG BF BG a a a ∴=-=-=，1135222BEF S BE FG a a ∆=⋅=⋅⋅= ，2354a ∴=，2cos 3AE AEA AD AB===，13BE AB ∴=，39AB BE a ∴==，263AE AB a ∴==，2222(9)(6)35DE AD AE a a a ∴=-=-=，29359359436ABCD S AB DE a a a ∴=⋅=⋅=⨯=⨯=菱形，故选：D ．10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，8BC =，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A C B →→方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设DMN ∆的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接DE ，作DF BC ⊥，//DF AC ∴， 点D 、E 是中点，162DF AC ∴==，142DE BC ==，当06t <时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，6MN AE ==，11641222S MN DE ∴=⋅=⨯⨯=；如图，当612t <时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，AM EC CN t =+= ，12MC t ∴=-，6CN t =-，14BN t =-，ABC ADM BDN CMN S S S S S ∆∆∆∆∴=---111181246(14)(12)(6)2222t t t t =⨯⨯-⨯-⨯----218422t t =-+；如图，当1214t <时，点M 、N 都在BC 上，11661822S MN DF ∴=⋅=⨯⨯=，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．二．填空题（共5小题）11．因式分解：2328x y y -=2(2)(2)y x y x y +-．【解答】解：2322282(4)2(2)(2)x y y y x y y x y x y -=-=+-，故答案为：2(2)(2)y x y x y +-12．若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是1x ≠-．【解答】解： 分式21x x +有意义，10x ∴+≠，1x ∴≠-．故答案为：1x ≠-．13．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是942m ．【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是29330.25()4m ⨯⨯=，故答案为：94．14．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，交OB 于点D ，若2BD DO =，AOD ∆的面积为1，则k 的值为94．【解答】解：过点B 作BE x ⊥轴于点E ，如图所示：设OC a =，点A 在反比例函数ky x=的图象上，且AC x ⊥轴于点C ，∴点A 的坐标为(,)ka a ，k AC a∴=，2BD DO = ，3OB DO BD DO ∴=+=，AC x ⊥ 轴，BE x ⊥轴，//AC BE ∴，ODC OBE ∴∆∆∽，∴13OC CD DO OE BE OB ===，33OE OC a ∴==，13CD BE =，点B 在反比例函数ky x=的图象上，且BE x ⊥轴于点E ，∴点B 的坐标为(3,)3k a a，3k BE a∴=，139kCD BE a ∴==，899k k kAD AC CD a a a∴=-=-=，AOD ∆ 的面积为1，∴112AD OC ⋅=，即18129ka a⋅⋅=，解得：94k =．故答案为：94．15．如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕CP 交AD 于点P ．若30ABC ∠=︒，2AP =，则PE的长等于+【解答】解：过点A 作AF PE ⊥于点F ， 四边形ABCD 是菱形，30D ABC ∴∠=∠=︒，AD CD =，180752DDAC ︒-∠∴∠==︒，由折叠可知：30E D ∠=∠=︒，45APE DAC AEP ∴∠=∠-∠=︒，在Rt APF ∆中，cos PF AP APE =⋅∠，2cos 45PF AF ∴==⨯︒=，在Rt AEF ∆中，tan AFAEP EF∠=，tan 3033AFEF ∴===︒，PE PF EF ∴=+=+，+．三．解答题（共7小题）16．计算：011|2|(2)()4tan 453π----+-︒．【解答】解：原式21341=-+-⨯2134=-+-0=．17．为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x 表示）::7075A x <，:7580B x <，:8085C x <，:8590D x <，:9095E x <，:95100F x <随机抽取n 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D 组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E 组”所对应的扇形的圆心角是54︒；（2）n =，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n 名学生成绩的中位数是分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2:3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E 组”所对应的扇形的圆心角是360(15%5%20%45%10%)54︒⨯-----=︒，故答案为：54；（2）945%20n =÷=，展演成绩中:7580B x <的人数为20264314-----=，补全图2中的频数分布直方图：故答案为：20；（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为858685.5 2+=，故答案为：85.5；（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：甲同学的总成绩为92289390.223⨯+⨯=+（分)，乙同学的总成绩为9029539323⨯+⨯=+（分)，9390.2>，∴乙同学能获得“环保之星”称号．18．如图，已知APB∠，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作O，使得O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若60APB∠=︒，3PM=，则所作的O的劣弧MN与PM、PN所围成图形的面积是33π．【解答】解：（1）如图，O为所作；（2）PM 和PN 为O 的切线，OM PB ∴⊥，ON PN ⊥，1302MPO NPO APB ∠=∠=∠=︒，90OMP ONP ∴∠=∠=︒，180120MON APB ∴∠=︒-∠=︒，在Rt POM ∆中，30MPO ∠=︒ ，333333OM ∴===O ∴ 的劣弧 MN与PM 、PN 所围成图形的面积PMON MONS S =-四边形扇形21120(3)2332π⨯⨯=⨯⨯⨯33π=．故答案为：33π-．19．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点D ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，延长EA 交O 于点F ，连接BF ．（1）求证：AC 平分BAE ∠；（2）若12DE BF =，求tan ADE ∠的值．【解答】（1）证明：连接OC ，如图，CD 为O 的切线，OC CD ∴⊥，AE CD ⊥ ，//OC AE ∴，CAE OCA ∴∠=∠，AC AO = ，OAC OCA ∴∠=∠，OAC CAE ∴∠=∠，AC ∴平分BAE ∠；（2）解：AB 是O 的直径，90AFB ∴∠=︒，DAE BAF ∠=∠ ，AED F ∠=∠，ADE ABF ∴∆∆∽，∴12AD DE AB BF ==，AD AO ∴=，在Rt OCD ∆中，1sin 2OC D OD == ，30D ∴∠=︒，tan tan 303ADE ∴∠=︒=．20．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．（1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．（2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量y （件)与销售单价x （元)满足一次函数关系10410y x =-+，设每分钟的销售利润为w 元，求w 与x 之间的函数关系式，并求w 最大值．【解答】解：（1）解：设购进第一批“”每件的进价为x 元，则购进第二批“小金龙”每件的进价为(3)x +元，由题意得：3000990033x x ⨯=+，解得：30x =，经检验，30x =是原分式方程的根，且符合题意，答：购进第一批“小金龙”每件的进价为30元．（2）由题意， 第一批每件的进价为30元，∴第二批每件的进价为33元．∴每分钟的销售利润(33)(10410)w x x =--+21074013530x x =-+-210(37)160x =--+．100-< ，∴当37x =时，w 取最大值，最大值为160．21．综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为28m 的矩形地块ABCD 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m ．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若10a =，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB 为x m ，BC 为y m ．由矩形地块面积为28m ，得到8xy =，满足条件的(,)x y 可看成是反比例函数8y x=的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m ，得到210x y +=，满足条件的(,)x y 可看成一次函数210y x =-+的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(,)x y 就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数8(0)y x x=>的图象与直线1:210l y x =-+的交点坐标为(1,8)和(4,2)，因此，木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：1AB m =，8BC m =；或AB =m ，BC =m ．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为a m 时，小颖建立了一次函数2y x a =-+．发现直线2y x a =-+可以看成是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线2y x a =-+与反比例函数8(0)y x x=>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点(2,4)时的图象，并求出a 的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“2y x a =-+与8y x=图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 和BC 的长均不小于1m ，请直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1）将反比例函数8y x=与直线1:210l y x =-+联立得8210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，∴8210x x=-+，2540x x ∴-+=，11x ∴=，24x =，∴另一个交点坐标为(4,2)，AB 为x m ，BC 为y m ，4AB ∴=，2BC =．故答案为：(4,2)；4；2；（2）不能围出；26y x =-+的图象，如答案图中2l 所示：2l 与函数8y x =图象没有交点，∴不能围出面积为28m 的矩形．（3）如答案图中直线3l 所示：将点(2,4)代入2y x a =-+，解得8a =．（4）AB 和BC 的长均不小于1m ，1x ∴，1y ，∴81y x=，8x ∴，18x ∴，如图所示，直线2y x a =-+在3l 、4l 上面或之间移动，把(8,1)代入2y x a =-+得17a =，817a ∴．22．（1）观察猜想：如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，将ADE ∆绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点C ，连接CE 交BD 于点F ，则BD CE 的值为2BFC ∠的度数为．（2）类比探究：如图3，当90ACB AED ∠=∠=︒，30BAC DAE ∠=∠=︒时，请求出BD CE的值及BFC ∠的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45BDC ∠=︒．若8CD =，6BD =，请直接写出A ，D 两点之间的距离．【解答】解：（1）90ACB ∠=︒ ，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，ABC ∴∆和ADE ∆为等腰直角三角形，∴AD AB AE AC==BAD BAC CAD ∠=∠+∠ ，CAE DAE CAD ∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∆∆∽，∴BD AD CE AE==，ABD ACE ∠=∠，又AGB FGC ∠=∠ ，45BFC BAC ∴∠=∠=︒；，45︒；（2）90ACB AED ∠=∠=︒ ，30DAE ∠=∠=︒，12DE AD ∴=，12BC AB =，AE =，AC =，∴233AD AB AE AC ==，BAD BAC CAD ∠=∠+∠ ，CAE DAE CAD ∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∆∆∽，∴233BD AD CE AE ==，ABD ACE ∠=∠，又AGB FGC ∠=∠ ，30BFC BAC ∴∠=∠=︒；（3）以AD 为斜边在AD 右侧作等腰直角三角形ADM ，连接CM ，如图4所示：AC BC = ，90ACB ∠=︒，ABC ∴∆为等腰直角三角形，45BAC DAM ∴∠=∠=︒，AB AD AC AM==，BAC DAC DAM DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAM ∠=∠，BAD CAM ∴∆∆∽，ABD ACM ∴∠=∠，BD AB CM AC==，又6BD = ，CM ∴== 四边形ABDC 的内角和为360︒，45BDC ∠=︒，45BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，180ABD BCD ∴∠+∠=︒，180ACM BCD ∴∠+∠=︒，90DCM ∴∠=︒，DM ∴=，AD ∴==即A ，D 两点之间的距离为．。