高中数学 第一章 三角函数 1_3 弧度制课堂导学案 北师大版必修41

1.1 周期现象与周期函数课堂导学三点剖析【例1】 走路时，我们手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂周期摆动满足什么规律呢？解:如右图，以ON 代表手臂垂直位置，当手臂摆动到OP 位置，设θ=∠PON 为摆动幅角，而y 为P 点离开直线ON 水平距离，r 为手臂长度，根据初中平面几何知识可知：y=rsinθ. 友情提示实际生活中有许多呈周期性变化规律,比方:月亮圆缺;年,月,日,星期记时;海水涨落,这些都是呈周期性变化.各个击破类题演练 1时钟钟摆摆动呈什么规律，根据你平时观察用文字表达一下.答案:钟表钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点.完成一个周期.变式提升 1举出你生活中常见具有周期性实例.答案：转动车轮、月亮圆缺、星期记时、红绿灯变换.【例2】 函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)周期为4.证明：令x-2=t ，那么x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2),得f(t)=f ［(t+2)+2］=f(t+4). 由周期函数定义知：函数y=f(x)周期为4.友情提示证明周期函数最常用是定义，此类问题中常用换元法，把括号内代数式看作整体，用新自变量代替，再按定义求解.类题演练 2判断函数y=lgx 是否是周期函数？如果是，求出它一个周期.解：取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T＞0常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.变式提升 2定义在实数集上函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.假设是周期函数，求出它一个周期.解：∵f(x+4)=f［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x),∴f(x)是周期函数，且周期是4.【例3】 求以下函数周期：〔1〕y=sin2x;(2)y=2sin(2x-3). 思路分析：此题主要考察y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)周期求法，利用周期函数定义及诱导公式求函数周期.解：〔1〕由于f(x+π)=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数定义知，原函数周期为π.〔2〕由于f(x+π)=2sin［2(x+π)-3π］=2sin ［2x+2π-3π］=2sin(2x-3π)=f(x),由周期函数定义知，原函数周期为π.类题演练 3证明y=x 3不是周期函数.证明：因为y=x 3在x∈R 上单调，设y 取值a,方程x 3=a 不可能有两个不同根，即不存在这样常数T ，使得f(x 0+T)=f(x 0).因此，y=x 3不是周期函数.变式提升 3证明f(x)=1(x∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：f(x)=1对任意T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1,所以此函数为周期函数，其周期为任意非零实数，但所有正实数中没有最小值存在,故无最小正周期.。

《弧度制》教学设计一：教材分析：本节课的教学内容是北师大版数学必修四第一章：三角函数§1.3弧度制，本节课是新概念引入课，也是学习三角函数的基础，因此本节课在三角函数的学习中起到至关重要的作用，本节课主要借助生活情境体会学习弧度制的必要性，借助问题串及小组探究形式，让学生体会类比，以旧知为基础学习新知的迁移转化等重要数学思想的应用。

二：学情分析：从学生知识水平看（1）在学习本节前，学生已经学习了角的概念的推广，认识角分为正角，负角，零角，因此在本节课的教学中在引进弧度数之后，明确了角可以用一个实数来表示，从而顺利得到任何一个角都可以和一个实数一一对应。

（2）初中学生已经学习了用角度制表示一个角，角度制下扇形的弧长与面积公式，因此在本节课教学可以借助这些已有的知识，通过观察，分析，类比，归纳，帮助学生理解弧度制的概念，角度制与弧度制的转化，弧度制下扇形的弧长公式与面积公式；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力，思考的能力，探究的能力，计算的能力，数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供问题串及合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组探讨，合作交流，部分投影展示等活动培养学生的自主学习，合作学习及数学表达能力。

三：设计思想：《弧度制》是角的的一种新的表示，是角问题的延续与拓展。

本节课我的设计理念是：从生活实际出发，以问题串为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放，民主，和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与及积极性，让学生经历“自主，探究，合作”的过程中，体验从生活中感受数学，并通过分析，类比，归纳，探究，展示，交流等一系列思维活动，在教师的适当引导，组织下主动的建构数学知识的过程。

同时渗透“类比”“转化与化归”等重要数学思想方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”四：教学目标：（1）知识与能力：a:理解1弧度的角、弧度制的定义，体会弧度是一种度量角的单位b:掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，c：体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示弧长公式，解决相关问题。

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[温馨提示]角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如 α＝ k·360°＋6π(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为 α＝k·360°＋30°(k∈Z)， β＝2kπ＋π3(k∈Z)．
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课前自主预习
01
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新知梳理
1．角度制、弧度位进行度量，1 度的角等于周角的 360 .这种用度作为单位来度量
角的单位制叫做角度制．
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角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80rad 和 1 rad＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 αrad＝α·18π0°；n°＝n·1π80rad. (3)注意：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，通常把 弧度数写成多少 π 的形式，如无特别要求，不必把 π 写成小数．
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2．α＝－3，它是第___三_____象限角．
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[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝1π80°，则 α＝－3＝－5π40°≈－171.9°. 分析可得，α 是第三象限角．
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1.3 弧度制典题精讲例1扇形周长为20 cm ，当扇形圆心角为多大时，它有最大面积？思路分析：设扇形半径是r ，弧长是l ，扇形面积可表示为S=21lr ，l 与r 之间还要满足周长为20，即l+2r=20，所以l=20-2r ，这样S 就能表示成关于r 二次函数，再利用二次函数性质求最值.解：设扇形半径是r ，弧长是l ，此时扇形面积为S.由条件,知l+2ｒ=20，即l=20-2ｒ.由0＜l ＜2πr，得0＜20-2r ＜2πr，∴＜r ＜10. ∴S=21lr=21〔20-2r 〕r=-r 2+10r=-〔r-5〕2+25〔＜r ＜10〕， 当r=5时，S 取最大值25，此时l=10，α=r e =2, 即当扇形圆心角为2时，扇形有最大面积25.绿色通道：当扇形周长为定值时，扇形面积有最大值.其求法是把面积S 转化为关于r 二次函数，但要注明r 取值范围.特别注意一个扇形弧长必须满足0＜l ＜2πr.变式训练扇形面积为25 cm 2，当扇形圆心角为多大时，扇形周长最小思路分析：设扇形半径是r ，弧长是l ，那么25=21lr ，扇形周长y=l+2r ，消去l 得y 关于r 二次函数，再利用函数单调性求最值.解：设扇形半径是r ，弧长是l ，此时扇形周长为y ，那么y=l+2r. 由题意，得21lr=25，那么l=r 50， ∴y=r50+2r(r ＞0). 利用函数单调性定义可以证明： 当0＜r≤5时，函数y=r 50+2r 是减函数； 当r ＞5时，函数y=r50+2r 是增函数. ∴当r=5时，y 取最小值20，此时l=10，α=r 1=2, 即当扇形圆心角为2时，扇形周长取最小值20.例2如图1-3-2所示，一绳索绕在半径为40厘米滑轮上，绳索下端B 处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W 位置向上提升100厘米？图1-3-2思路分析：轮子按逆时针方向旋转，A 点转过弧长等于B 点上升到B′时距离.这是此题中潜藏等量关系.解：当BB′=100厘米时，AA′=100厘米，AA′所对圆心角∠AOA′=.∴轮子每分钟匀速旋转6圈.∴每秒匀速转过,t 秒转过t 5π. ∴t 5π=25，解得t=π225≈4〔秒〕, 即约需4秒钟才能把物体W 位置向上提升100厘米. 绿色通道：在实际生活中，滑轮是一种重要省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上点转过弧长与跟它连接绳索上点移动距离是相等，在分析中,要注意图形作用，数形结合是解决此类问题有效方法. 变式训练如图1-3-3，圆上一点A 〔1，0〕按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ〔0＜θ≤π〕角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，那么θ角弧度数是________________.图1-3-3思路解析：因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜23π, 即2π＜θ＜43π.由14θ=2kπ〔k∈Z 〕,得θ=7πk 〔k∈Z 〕，所以2π＜7πk ＜43π，即27＜k ＜421.所以k=4或5，θ=74π或θ=75π. 答案：74π或75π 问题探究问题1集合M={x|x=2πk +4π,k∈Z }，N={x|x=4πk +2π,k∈Z }，试探索M 和N 关系. 导思：利用归纳、猜测、证明方法探索,即先用列举法表示集合M 和N ，由此归纳它们之间关系，猜测出结论后，再证明所得结论.探究：用列举法表示集合M 和N.M={±4π，±43π,±45π,±47π,…}, N={0,±4π，±2π,±43π,±π,±45π,±23π,±47π,…}, 归纳：集合M 中元素都在集合N 中，但是集合N 中±2π不在集合M 中. 猜测：M N.证法一：把集合M 和N 中元素看成“单纯〞实数来讨论.设x∈M，那么存在k∈Z，满足x=2πk +4π=+4π.∵2k∈Z ，∴x∈N.∴M ⊆N. 设2π=2πk +4π，∴k=21.那么k ∉Z ，∴2π∈N,2π∉M ，∴M N. 综上所得M N.1-3-4所示.图1-3-4集合M 中元素x=2πk +4π,k∈Z 可以看成将角4π终边旋转2πk 所得角； 集合N 中元素x=4πk +2π,k∈Z 可以看成将角2π终边旋转4πk 所得角. 由图1-3-4可见，集合M 中元素都在集合N 中，但是集合N 中元素±2π不在集合M 中，所以有M N.。