任意角和弧度制
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角
正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0
Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：
象限角 象限角的集合表示
第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合
o o o o {|360180<
<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合
o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }
②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断
2α所在的象限，来判断3
α
所在的象限 (二)弧度制
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
如图：∠AOB=1rad
∠AOC=2rad 周角=2πrad 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。
（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 r
l
=
α（l 为弧长，r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
o r
C 2rad
1rad r l=2r
o A
A B
角度制=弧度制*180o /π
2π=360o
弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：221R S α=
弧长公式：180r
n l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）
2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有
rad
rad rad
rad 01745.0180
11802360≈=
==πππ
把上面的关系反过来写
1803602==rad rad ππ
815730.57)180(1'=≈=
rad rad π
360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度 0° 30°
45°
60°
90°
120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度
6π
4π 3π 2π π32 π43 π6
5 π
π2
3 2π
类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第______象限. 答案：二.
解析：因为α是第三象限的角，故o o
o o 360270<
<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则
o 360k ⋅o o
o 270
<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.
练习：与o
610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：o
o
360250(k k ⋅+∈Z ）】
2. 象限角的表示
例2 已知角α是第二象限角，问（1）角
2
α
是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.
解析：（1）因为α是第二象限的角，故o o
o o
36090<
<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故
︒︒︒︒+⋅<<
-⋅451802
45180k k α
o 180k ⋅o o
o
45<
<18090(2
k k α
+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，
2
α
在
第一象限；当k 为奇数时，2
α在第三象限，故2α
为第一或第三象限角.
（2）由o
o
o
o
36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得
o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.
点评：已知α所在象限，求
(n n
α
∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.
结论：
类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化
例3 把下列各角的度数化为弧度数： 解 因为180
1π
=
rad ，所以
练习：把下列各角的弧度数化为度数： 解 因为 π rad ＝
180，所以
例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；
（2）设35
βπ=，用角度制表示β，并在o 720-～o
0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？
解析：（1）2575022180
66
π
π
αππ=
⨯=
=⨯+，故α在第一象限. （2）o o 31803
()10855
πππ=⨯=，与它终边相同的角可表示为o o 360180(k k ⋅+∈Z ）
，由o 720-≤o o o 360180<0k ⋅+，得33
2<1010
k --≤，故2k =-或1k =-，即在o 720-～o 0范围
内与β有相同终边的所有角是o
612-和o
252-.
点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2]π内找到与该角终边相同的角.
练习：（1）设o
570α=-，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；
（2）设7
3βπ=
，用角度制表示β，并在o 720-～o 0内找出与它有相同终边的所有角. 解析：（1）195(570)2218066ππ
αππ=⨯-=-=-⨯+
，故α在第二象限. （2）o o 71807
()()42033
πππ-=⨯-=-，故在o 720-～o 0范围内与β有相同终边的角是
o 60-.
α
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2
α 第一、三象限
第一、三象限
第二、四象限
第二、四象限
