人教版高中数学必修五探究式导学案3：1.2 应用举例(二)

正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。

难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。

2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。

1.2应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性.情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学.教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。

他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。

新课导入回顾旧知正弦定理： .a b c ==sinA sinB sinCa b c ===2R sinA sinB sinCR 是圆的半径余弦定理：=222c a +b -2abcosC =222a b +c -2bccosA=222b a +c -2accosB222a +b =c C 则为若，直角；222a +b >c C 则为锐若，角；222a +b <c C 则为钝若，角；ΔABC 在中，在生活中测量距离、高度、角度等问题上，方法很多，初中时学过应用全等三角形，相似三角形与解直角三角形等，但是有些问题不能使用这些方法了，那么使用正、余弦定理怎么样解决这些问题呢？教学目标知识与能力能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.过程与方法采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题.情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.教学重难点由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决.根据题意建立数学模型，画出示意图.实际问题 抽象概括示意图 数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解 还原说明 解应用题的基本思路测量距离的问题例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形。

解：根据正弦定理，得∠∠AB AC =sin ACB sin ABC∠∠∠∠≈o o o o o o ACsin ACB 55sin ACB AB ==sin ABC sin ABC55sin7555sin75==65.7(m)sin(180-51-75)sin54答：A,B 两点间的距离为65.7米。

附件：教学设计方案模板
课题名称
解三角形
年级学科
高三数学
教材版本
人教版
一、教学内容分析
高三体育班一轮复习基础内容，也是重点内容之一，在复习了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式之后，通过历年高考题的训练，让学生熟悉这一部分知识高考考点
二、教学目标
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题。
例二是高考题再现，直击高考.训练3也是高考选择题，让学生更清晰的明白三角考的知识体育生也可以拿分。
六、教学评价设计
通过分组使体育生中成绩稍好的同学看到自己的优势，更加自信主动的投入到学习，小组长通过给组员讲解题目把自己的知识运用的更加熟练，成绩差一点的学生通过小组讨论，别人的讲解能学到部分知识，增强了自信心，这样的小组学习会节省时间，提高整体的学习效率
七、教学板书
解三角形
复习目标：1 2
训练1、2
知识梳理1、2、3例2
训练3
例1课堂小结
作业布置
八、教学反思
1.通过课件展示给学生以候，平时很不爱学习的一位同学表现的非常积极
3.讨论的时间稍长，导致部分补充练习没完成，但是大部分学生感觉学到了东西，这是令我感到欣慰的，毕竟是体育学生，贪多是不行的。
5.作业布置
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
1.课件展示课题，
给出本节课教学目标
直观得知学习目标
使学生从宏观上感受所学目标
2.提问公式
找三个小组的学生分回答正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
检查学生记忆效果
3.课件展示出相关知识点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
学生对照学案