充分条件与必要条件 (1)

要使结论xy=0成立，只要有条件x =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称x =0是 xy=0的充分条件。另一方面如果xy≠0，也不可 能有x =0，也就是要使x =0，必须具备xy=0的条 件，因此我们称xy =0是x =0的必要条件。
用
＞ • 2、x y=0 • 3、两个角相等 • 4、两个角是对顶角
所以：p是q的真子集， q是 即：P q 且q
故：p是q的充分不必要条件， p是 q的必要不充分条件。
三、小结
1、定义1： 2、定义2： p 3、判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p 4、判别技巧： q和 q p的真假。 如果已知p q，则说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
如果既有p
一、复习引入
四和命题之间的相互关系
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
2 命题：若x＞0，则x ＞0。
若p 则q
若为假命 题则记为 p ＞ q
＞
•
＞ 或 ＞ 填空： 1 、x = 0 ＞ x y=0。
q是p的既不充分也不必要的条件
判别充分必要 条件问题的
3、判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p 4、判别技巧： q和 q p的真假。
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
练习二：填空 充分非必要 1.“x2 +(y-2)2 =0 ”是“x(y-2)=0”的＿＿＿＿＿＿＿条 件。 2.已知下列四个个命题 （1）.p:a ∈ Q ,q: a ∈ R. q: x2 -1>0. q: a2 = 4.

命题(1)(2)(4)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)(4)中的q是p的必要条件.
p
q
说p是q的充分条件,q是p的必要条件
p
q
说p是q的充分条件 也可以说q的充分条件是p 说q是p的必要条件
也可以说p的必要条件是q
从集合角度理解：
பைடு நூலகம்
p q相当于 pq
p q
p( q )
并且说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
从集合角度理解：
p q相当于 pq
p q
p( q )
例1、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪 些命题中的p是q的充分条件?
(1) 若 x=1,则x2-4x+3=0; (2) 若f(x)=x,则f(x)在R上为增函数;
(3) 若x为无理数,则x2为无理数
例、判断下列命题是真命题还是假命题?
（1）若x>2,则x>1。
（2）若ab=0，则a=0。
（3）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （4）若a2>b2，则a>b。
(1)、（3）为真命题。 （2）、（4）为假命题。
如果命题“若p则q”为真，
则记作p q（或q p）。
并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件 如果命题“若p则q”为假， 则记作p q（或q p）。
p
q
说p是q的充分不必要条件 也可以说q的充分不必要条件是p 说q是p的必要不充分条件
也可以说p的必要不充分条件是q
从集合角度理解：
p q 相当于 pq


p q
p
q
说p是q的充分必要条件（充要条件） 说q是p的充分必要条件（充要条件）

1.4.1充分条件与必要条件1.4.2充要条件1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p ，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列语句是命题的是()A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今天会下雪吗A[D不是陈述句，B、C不能判断真假．]2．“同位角相等”是“两直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C3．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2A[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]充分条件、必要条件的判断【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.[解](1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．定义法判断充分条件、必要条件 (1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 (3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形． (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)因为(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)(y －2)＝0，而(x －1)(y －2)＝0(x －1)2＋(y －2)2＝0，所以p 是q 的充分不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A ，B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？提示：若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，若p 是q 的必要不充分条件，则B A .2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝N 呢？ 提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．【例2】 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路点拨] p 是q 的充分不必要条件→p 代表的集合是q 代表的集合的真子集→ 列不等式组求解{m |m ≥9} [因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}，所以⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P . 所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5，即a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p ，q 两命题；(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系； (3)利用集合间的关系建立不等式； (4)求解参数范围. 充要条件的探求与证明【例3】 试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0. [思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．[证明] ①必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac ＞0，x 1x 2＝ca ＜0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac ＜0.②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充分必要条件．1．思考辨析(1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( ) (2)q 不是p 的必要条件时，“p q ”成立．( ) (3)若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件．] 3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．m ＝－2 [函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则－m2＝1，即m ＝－2；反之，若m ＝－2，则f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．]4．已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．[解] 由p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎨⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，即－23≤a <0，所以a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－23≤a <0.分层作业充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是()A．－2≤x≤2B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A.]4．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，故选B.]5．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C. ab >1 D. ab <－1A [a ＋b <0a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0.故选A.] 二、填空题6．已知△ABC ，△A 1B 1C 1，两三角形对应角相等是△ABC ≌△A 1B 1C 1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分 [由两三角形对应角相等△ABC ≌△A 1B 1C 1；反之由△ABC ≌△A 1B 1C 1⇒∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1.]7．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的______条件． 充要 [因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．]8．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． {a |a ≤1} [p ：x >1，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集，故a ≤1.] 三、解答题9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab <1.[解] 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 是q 的充要条件； 在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，若a <b <0，则推不出a b <1，反之若ab <1，当b <0时，也推不出a <b ，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件？ [解] (1)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－m2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件． (2)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件．[等级过关练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D ．无法判断A [因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]2．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( ) A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件B [由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．] 3．若p ：x －3<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． {m |m ＞3} [由x －3<0得x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)， 由p 是q 的充分不必要条件知{x |x <3}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12(m ＋3)， 所以12(m ＋3)＞3，解得m ＞3.]4．设p ：12≤x ≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 [因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.]5．求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a ＜0； 若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞0，－1a ＜0，Δ＝1－4a ≥0，即0＜a ≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14. 反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.。

第1章　§1.1　命题及其关系1.1.2　充分条件和必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.思考1　你能判断这两个命题的真假吗？答案　(1)真命题，(2)假命题.思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？答案　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.命题真假“若p则q”为真命题“若p则q”为假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件，q是p的_____条件p不是q的条件，q不是p的条件梳理⇒⇏充分必要充分必要知识点二　充要条件的概念思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答案　因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.梳理　一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，就记作.此时，我们说，p 是q 的，简称充要条件.p ⇔q 充分必要条件知识点三　常见的四种条件1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p 则q ”，逆命题为“若q 则p”原命题逆命题条件p 与结论q 的关系结论真假______________p 是q 成立的充分不必要条件假真______________p 是q 成立的必要不充分条件真真__________________p 是q 成立的充要条件假假___________p 是q 成立的既不充分又不必要条件p ⇒q ，但q ⇏p q ⇒p ，但p ⇏q p ⇒q ，q ⇒p ，即p ⇔q p ⇏q ，q ⇏p2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A*B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B*A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件1.若q 是p 的必要条件，则p 是q 的充分条件.( )2.若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题.( )3.若q 不是p 的必要条件，则“p ⇏q ”成立.( )[思考辨析 判断正误]√√√题型探究例1　判断下列各题中，p 是q 的什么条件？类型一　充要条件的判断∴p 是q 的充分不必要条件.(1)p ：±＝À3，q ：cos ±＝12；解 ∵±＝À3，∴cos ±＝12，但cos ±＝12推不出±＝À3，(2)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；解　由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以推出(a －2)(a －3)＝0，因此p 是q 的必要不充分条件.知a >b 可以推出sin A >sin B ，sin A >sin B 可以推出a >b ，∴p 是q 的充要条件.(3)在△ABC 中，p ：a >b ，q ：sin A >sin B ；解 在△ABC 中，∵由正弦定理a sin A ＝bsin B ，(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形.∴p 是q 的既不充分又不必要条件.解 ∵ 四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形推不出四边形的对角线相等，反思与感悟　充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论.②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不必要不充分跟踪训练1　设x∈R，则“3－x≥0”是“|x－1|≤2”的___________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析　∵3－x≥0⇔x≤3，|x－1|≤2⇔－1≤x≤3，故“3－x≥0”是“|x－1|≤2”的必要不充分条件.类型二　充分条件、必要条件的应用例2　已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解　p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }*{x |－2≤x ≤10}，故有 1－m ≥－2，1＋m ＜10或 1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}.引申探究1.若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围.解　p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A *B .所以 1－m ≤－2，1＋m ＞10或 1－m ＜－2，1＋m ≥10.解不等式组得m ＞9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞).2.本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件.解　因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).若p 是q 的充要条件，则 m 不存在.故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件.－2＝1－m ，10＝1＋m ，反思与感悟　(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A ⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则A*B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.跟踪训练2　已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围.解　由(x －a )2<1，得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0，得－3<x <8.∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴ 解得－2≤a ≤7.即a 的取值范围是[－2,7].a －1≥－3，a ＋1≤8，类型三　充要条件的证明例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明　充分性：∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式”＝b 2－4ac >0，∴方程一定有两个不等实根.设两实根为x 1，x 2，则x 1x 2＝ <0，∴方程的两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设两实根为x 1，x 2，则由根与系数的关系，得x 1x 2＝ <0，且”＝b 2－4ac >0，即ac <0.综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.c ac a引申探究求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明　必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴充分性成立.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.反思与感悟　(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么.(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件⇒结论是证充分性，由结论⇒条件是证必要性.跟踪训练3　已知数列{a n}的前n项和为S n＝p n＋q(p≠0且p≠1).求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明　充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，当n＝1时也成立.所以a n＝p n－1(p－1)，n∈N*.又p≠0，且p≠1，∴a n＋1a n＝p n p－1p n－1 p－1 ＝p，∴数列{a n}为等比数列.必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1).∵p≠0且p≠1，{a n}为等比数列，∴a2a1＝a n＋1a n＝p，∴p p－1p＋q＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{a n}为等比数列的充要条件.达标检测1.设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的____________条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析　当a ＝1时，N ＝{1}，此时N ⊆M ；当N ⊆M 时，a 2＝1或a 2＝2，解得a ＝1或－1或 或－ .故“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件.充分不必要22a<－12.“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.解析　函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有”＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则”<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.3.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不必要还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的_____条件.解析　“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.－14.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为______.　解析　由x2>1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则由“x<a”可以推出“x2>1”，但由“x2>1”推不出“x<a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.5.是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由.解　由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1.令A ＝{x |x >2或x <－1}.由4x ＋p <0，得B ＝x x <－p 4.由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4， 此时由x <－p4≤－1可以推出x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件.规律与方法1.充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；同理要证p⇐q，只需证非q⇐非p即可.所以p⇔q，只需非q⇔非p.(3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.。