【数学】2015-2016年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

高二上学期阶段性考试（三）数 学 试 题（理） 2016.01本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题(本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知实数a ，b ，且b a <<0，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22b a < B ．b a 1>1 C ．b a ab 2211<D ．a b a 11<-2 .在ABC ∆中，060=A ，34=a ，24=b ，则B 等于 ( ) A ．045或0135 B ．045 C ．0135D ．以上答案都不对3. 平面内，到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆 B.线段 C.双曲线 D .两条射线4. 命题“任意的1>x ，都有1>x e ”的否定是 （ ）A ．存在10≤x ，使10≤x e 成立B ．存在10>x ，使10≤xe 成立C ．任意的1≤x ，都有1≤x e 成立D ．任意的1>x ，都有1≤x e 成立5. 已知点P 在曲线2224:x y C-=上，点()20-，A ，则PA 的最小值为 （）A ．2-B ．2+C ．D 1+6．若0>a ，0>b ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是 （ ） A ．211>ab B ．111≤+b a C ．2≥abD ．822≥+b a 7.如图，M 、N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，PN MP 3=，若OC z OB y OA x OP ++=，则x 、y 、z 的值分别为（ ）A .61，31，31B . 31，61，61C. 81，83，83D. 83，81，818. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9．等比数列}{n a 的首项为21，公比为21，其前n 项和n T 满足10001|1|<-n T ，则n 的最小值为 （ ）A.9B.10C.11D.1210．已知点1F 、2F 分别是椭圆2222=1(0)x y a b a b+>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是 （ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215,0 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,215 C ．()1,12- D．()01-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.) 11． 抛物线22x y =的焦点坐标为_________.12．在ABC ∆中，若a ＝33，c ＝5，030=B ，则=b _________．13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为_________．14．数列}{n a 的通项公式n n n a 2⋅=，则其前9项和为_______________．15．的右焦点F ，点P 是渐近线上的点，三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，m )2sin ,2(cos C C =,n=)2sin ,2(cos C C -,且m 与n 的夹角为3π． （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）已知27=c ，ABC ∆的面积233=S ，求b a +．17．（本小题满分12分）已知p ：函数12++=mx x y 在)1(--∞上单调递减，q ：函数1)2(442+-+=x m x y 图象与x 轴有公共点．若p 若q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱ABCD SA 底面⊥，且1===BC AB SA ，5.0=AD ． （Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y ，直线l 与抛物线交于两点A 、B ，若OB OA ⊥． （Ⅰ）求证：直线l 过定点；（Ⅱ）若2=p 时，求弦AB 的最小值． 20．（本小题满分13分）设等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知52=a ，12010=S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证61<n T ．SDCBA21．（本小题满分14分）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为F ()0,1，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛26,23M 在椭圆上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点F 且不与坐标轴垂直，直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．高二上学期阶段性考试（三）数学试题（理）答案 2016.011．C解析：A ．2-=a ，1=b 时，显然不成立； B ．01<a ，01>b，不等式不成立；C ．112222<-=-b a ba b a ab ，正确；D ．)()()(11b a a b b a a b a a a b a -=---=--，因为0,0,0><-<b b a a ，故011>--ab a ，D 错． 2．B解析：b a >，所以060<B ，所以22342324sin sin =⨯==aAb B ，所以045=B ． 3．D解析：||6||||||2121F F MF MF ==-，所以点M 的轨迹为两条射线． 4．B解析：全称命题的否定是特称量词，改变量词，否定结论，即“存在10>x ，使10≤xe 成立”． 5．A解析：12422=+x y ，显然)2,0(-A 为焦点，则22||min -=-=c a PA6．D解析：ab b a 2≥+，故2≤ab ，4≤ab ，411≥ab ，故A 、C 错误； 1)22(41)2(41))(11(4111=+≥++=++=+b a a b b a b a b a ，错误；82162)(222≥-=-+=+ab ab b a b a ，故D 正确．7．C解析：由PN MP 3=得OP ++=+=． 8．A解析：若直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行，则(1)201,2a a a +-=⇒=-，1=a 时，012:1=-+y x l ，042:2=++y x l ，两直线平行；2-=a 时，0122:1=-+-y x l ，04:2=+-y x l ，两直线平行．所以“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的充分不必要条件． 9．B解析：+++=32212121n T ．．．．．．n n n 21121121212121-=-⨯-=+，所以1000121|1|<=-n n T ，即10002>n ，10≥n ，所以10min =n ． 10．C解析：2ABF ∆为等腰三角形，只需要402π<∠<x AF ，所以只需要满足c a b 22<，即ac b 22<，0222>-+a ac c ，即0122>-+e e ，12->e ，又1<e ，故选C ．11．)81,0( 解析：y x 212=，故焦点坐标为)81,0(． 12．7解析：由余弦定理可得74525276cos 53325)33(cos 222222=-+=⨯⨯⨯-+=-+=πB ac c a b所以7=b ．13．8解析：作可行域如图，目标函数整理为z x y -=2，则直线z x y -=2过点B 时，z 最大，此时8252=-⨯=z ．14．8194 解析：+⋅+⋅+⋅=32232221n S ……..929⋅+ (1) +⋅+⋅=3222212n S ……..1092928⋅+⋅+ (2))2()1(-得8194292122229222210910932-=⨯--⨯-=⋅-+++=-n S ，所以8194=n S ．15．2或解析：当P 在一、四象限是时， 60POF ∠=，则OFP ∆是等边三角形，所当P 在二、三象限是时，120POF ∠=，则OFP ∆是等腰三角形， 16．解析：（Ⅰ） m ．n=|m ||n |3cos π21=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 m ．n C CC cos 2sin 2cos 22=-= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 所以21cos =C ，3π=C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6（Ⅱ）23343sin 21===ab C ab S ，所以6=ab ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 又ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10所以18)(4492-+=b a ，412118449)(2=+=+b a ， 所以211=+b a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1217．解析：p ：函数12++=mx x y 在)1(--∞上单调递减， 则12-≥-m，2≤m ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 q ：函数1)2(442+-+=x m x y 图象与x 轴有公共点，则016)2(162≥--=∆m ，1)2(2≥-m ，解得1≤m 或3≥m ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 真q 假，或p 假q 真．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6p 真q 假时，⎩⎨⎧<<≤312m m ，解得21≤<m ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 p 假q 真时，⎩⎨⎧≥≤>312m m m 或，解得3≥m ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10综上知p 若q 为真，p 且q 为假，21≤<m 或3≥m ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1218．解析：（Ⅰ）四棱锥ABCD S -底面为梯形， 所以431)15.0(21)(21=⨯+=⋅+=AB BC AD S 底 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 因为ABCD SA 底面⊥所以411433131=⨯⨯=⨯⨯=-SA S V ABCD S 底 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 （Ⅱ）因为ABCD SA 底面⊥， 所以AB AS ⊥，AD AS ⊥，又AD AB ⊥，所以以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 则)0,0,0(A ，)0,0,21(D ，)0,1,0(B ，)0,1,1(C ，)1,0,0(S ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6)1,0,21(-=DS ，)0,1,21(=DC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 设平面SCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥DC n DS n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅0)0,1,21(),,(0)1,0,21(),,(z y x z y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-021021y x z x ，令2-=x ，则1=y ，1-=z ，于是得)1,1,2(--=n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 平面SAB 的法向量为BC ，则)0,0,1(=BC 过且过 所以36162||||,cos -=⨯-=⋅>=<BC n AD n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 所以平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为36．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1219．解析：（Ⅰ）设直线l ：n my x += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 代入px y 22=可得0222=--pn pmy y ★ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2z S08422>+=∆pn m p则pn y y 221-=，22221214)(n py y x x == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 又),(11y x OA =，),(22y x OB =因为OB OA ⊥，所以0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 所以022=-pn n ，又因为0≠n ，所以p n 2=，所以p my x 2+=，直线l 过定点)0,2(p ，满足0>∆ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 （Ⅱ）2=p 时，x y 42= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 则★式为01642=--my y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8m y y 421=+，1621-=y y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9则454)4)(1(4641614)(1||1||242222212212212++=++=+⋅+=-++=-+=m m m m m m y y y y m y y m AB ．．．．．．．．．．．．11因为04≥m ，02≥m ，所以0=m 时，8||min =AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1220．解析（Ⅰ）：由⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+==+=1202)110(1010511012d a S d a a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 解得⎩⎨⎧==231d a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4所以122)1(3+=⨯-+=n n a n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 （Ⅱ）)321121(21)32)(12(111+-+=++==+n n n n a a b n n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 +++=321b b b T n ．．．．．．．．n b ++-+-+-=917171515131(21．．．．．．)321121+-++n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 )32(2161)32131(21+-=+-=n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 61<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 21．解析：法一：（Ⅰ）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ．．．．．．．．．．．．．1则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-)2(12343)1(12222b ab a由（2）得2=+b a b a 222436 （3） 由（1）得122-=a b 代入（3）得)1(4)1(362222-=-+a a a a ，即0313424=+-a a ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 即0)3)(14(22=--a a32=a ，或412=a 因为12>a ，所以32=a ，得3=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 所以22=b ，2=b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 所以椭圆方程为12322=+y x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 法二：椭圆一个焦点为)0,1(F ，则另一个焦点)0,1('-F ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1由椭圆定义可知32)112112(21)1221312213(21)34133413(21)26()123()26()123(||||22222=++-=++-=++-=+-++-=+=MB MA a ．．．．．．．．．．．．．．．．4 所以3=a ，所以2122=-=ab ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5所以椭圆方程为12322=+y x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6（Ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y AB 中点),(00y x N ，直线AB 的方程为)1(-=x k y （0≠k ） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 代入12322=+y x ，整理得0)2(36)23(2222=-+-+k x k x k ．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 则2362221+=+k k x x ，234)2(22121+-=-+=+k k x x k y y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 所以233220+=k k x ，23220+-=k k y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 所以AB 的垂直平分线NG 的方程为)233(1232222+--=++k k x k k k y ．．．．．．．．．．．．．12 0=y 时，)23(323123222+-=+=k k k x G ．．．．．．．．．．．．．13 因为0≠k ，所以6)23(32>+k ，31)23(3202<+<k ， 31)23(323102<+-<k ，所以310<<G x ．．．．．．．．．．．．．14 （Ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y AB 中点),(00y x N ．．．．．．．．．．．．．7 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(123)1(12322222121y x y x )2()1(-得02))((3))((21212121=+-++-y y y y x x x x 斜率0021********)(3)(2y x y y x x x x y y k -=++-=--= ．．．．．．．．．．．．．9又100-=x y k ，所以1320000-=-x y y x ， 所以03)1(22000<-=-y x x ，得100<<x ．．．．．．．．．．．．．11因为),(00y x 在椭圆内，即123220<+y x ， 将3)1(20020--=xx y 代入得1332020<-+x x x ，解得30<x 所以100<<x ．．．．．．．．．．．．．13 则AB 的垂直平分线为)(23000x x x y y y -=-，0=y 时，)31,0(310∈=x x．．．．．．．．．．．．．14。

A．c 至少与 a、b 中的一条相交 C．c 与 a、b 都相交

9． （5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2cosx，对于 下 条 件 ： ① x1 ＞ x2 ； ② ；
③ |x1| ＞ x2 ； ④ x1 ＞ |x2| ， 其 中 能 使 ） D．4 个
恒成立的条件个数共有（ A．1 个 B．2 个
2015-2016 学年山东省莱芜市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题；本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是正确的． 1． （5 分）函数 f（x）= A．{x|x＜0} +ln（﹣x）的定义域为（ ） C．{x|x≤﹣1}
B．{x|x≤﹣1}∪{0} D．{x|x≥﹣1}
A．
B．
C．
D． ）
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7． （5 分）直线 ax+by﹣a﹣b=0（a≠）与圆 x2+y2﹣2=0 的位置关系为（
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相交
8． （5 分）直线 a、b 是异面直线，α、β 是平面，若 a⊂ α，b⊂ β，α∩β=c，则下 列说法正确的是（ ） B．c 至多与 a、b 中的一条相交 D．c 与 a、b 都不相交 上的任意 x1，x2，有如
21． （14 分）已知函数 f（x）=x﹣axlnx，a∈R． （Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）设 值； （Ⅲ）在区间[e，e2]上，若存在 x0，使得 g（x0）≤g′（x）max+a 成立，求实数 a 的取值范围． ，若函数 g（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数 a 的最小
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2015-2016学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）如果三角形的两边长为3和5，那么第三边长可以是下面的（）A．1 B．9 C．3 D．102．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）在△ABC中，D是BC上的一点，且△ABD与△ADC的面积相等，则线段AD为△ABC的（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定4．（3分）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°5．（3分）如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）在△ABC中，如图所示，AD=AE，DB=EC，P为CD、BE的交点，则图中全等三角形的对数是（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°8．（3分）如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．80°9．（3分）下列图中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．（3分）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．2811．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．612．（3分）到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点13．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，若BE+CF=7．则EF=（）A．9 B．8 C．7 D．614．（3分）在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=（）A．9 B．18 C．10 D．2415．（3分）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC 有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个16．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．8，15，17 D．5，12，2317．（3分）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．6418．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形19．（3分）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米20．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分。

2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣1 2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠1）}，则（∁R A）∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P（0＜ξ＜2）=（）A．0.08B．0.42C．0.84D．0.164．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6B．7C．8D．95．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l ⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r 9．（5分）已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C 是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12B．10C．9D．810．（5分）设函数，若x=2是f（x）的极大值点，则m的取值范围为（）A．B．C．（0，+∞）D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣4|＞2的解集为．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围．13．（5分）若展开式中含x2的项的系数为，则m的值为．14．（5分）以下四个命题：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；②若x≠kπ（k∈Z），则；③∃x0∈R，使；④由曲线围成的封闭图形的面积为．其中真命题的序号是（把你认为真命题的序号都填上）．15．（5分）把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知向量，，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．17．（12分）数列{a n}各项均为正数，其中a1=2，a n+1是a n与2a n+a n+1的等比中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=．T n为{b n}的前n项和，求使成立时n的最小值．18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，一等奖500元，二等奖200元，三等奖10元．抽奖规则如下；顾客先从装有2个红球、4个白球的甲箱中随机摸出两球，再从装有1个红球、2个黑球的乙箱随机摸出一球，在摸出的3个球中，若都是红球，则获一等奖；若有2个红球，则获二等奖；若三种颜色各一个，则获三等奖，其它情况不获奖．（I）设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若某个时间段有三位顾客参加抽奖，求至多有一位获奖的概率．19．（12分）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．（I）求证：AB1⊥面PBC；（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求二面角B1﹣PQ﹣D的余弦值．20．（13分）已知函数f（x）=e x+ax．（I）若f（x）在x=0处的切线过点（2，﹣1），求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）令a=1，F（x）=xf（x）﹣x2，若F（x1）=F（x2）（x1≠x2），证明：x1+x2＜﹣2．21．（14分）已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2015-2016学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A．﹣1+i B．﹣i+1C．i+1D．﹣i﹣1【解答】解：由，得，∴z的共轭复数是i+1．故选：C．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣4）≤0}，B={y|y=a x+1（a＞0且a≠1）}，则（∁R A）∩B=（）A．（5，+∞）B．（1，4]∪（5，+∞）C．[1，4）∪[5，+∞）D．[1，4）【解答】解：由A中不等式变形得：log2（x﹣4）≤0=log21，即0＜x﹣4≤1，解得：4＜x≤5，即A=（4，5]，∴∁R A=（﹣∞，4]∪（5，+∞），由B中y=a x+1＞1，得到B=（1，+∞），则（∁R A）∩B=（1，4]∪（5，+∞），故选：B．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P（0＜ξ＜2）=（）A．0.08B．0.42C．0.84D．0.16【解答】解：∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点，∴△=4﹣4（﹣ξ+1）＜0，∴ξ＜0，∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，∴P（ξ＜0）=0.08，∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于直线x=2对称∴P（0＜ξ＜2）=0.5﹣0.08=0.42故选：B．4．（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1++++…+==．解得：p=8．故当p=8时，n=8＜p，不成立，退出循环，输出S的值为．故选：C．5．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，已知m∥α，则l⊥m是l ⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m∥α，l⊥α，则l⊥m；反之不成立，可能l与α平行或相交．因此l⊥m是l⊥α的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π），∴φ=，f（x）=Asin（ωx+）=Acosωx，把它的图象向右平移个单位得到y=A cosω（x﹣）=Acos（ωx﹣ω•）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω 可以等于2，故选：B．7．（5分）已知双曲线与抛物线有公共焦点F，F到M的一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线，即x2=8y的焦点F（0，2），即有双曲线的c=2，双曲线的渐近线方程为y=±x，可得F到渐近线的距离为d==b=，即有a===1，则双曲线的方程为y2﹣=1．故选：D．8．（5分）已知f（x）=2x，若，，，其中，a＞b＞0，则下列关系中正确的是（）A．p＜r＜q B．q＜p＜r C．r＜p＜q D．p＜q＜r【解答】解：∵f（x）=2x，a＞b＞0，∴p=，q=＞=p，r=（2a+2b）＞，∴p＜q＜r，故选：D．9．（5分）已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C 是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12B．10C．9D．8【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故选：B．10．（5分）设函数，若x=2是f（x）的极大值点，则m的取值范围为（）A．B．C．（0，+∞）D．【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣mx﹣n，由f′（2）=0，得n=1﹣2m．∴f′（x）=﹣mx+2m﹣1=﹣．当m≥0时，f′（x）=，可得x=2是f（x）的极大值点，符合题意．当m＜0时，由f′（x）=0，得x=2或x=﹣．∵x=1是f（x）的极大值点，∴﹣＞2，解得﹣＜a＜0．综上：a的取值范围是：m＞﹣，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣4|＞2的解集为{x|x＞} ．【解答】解：由于|x﹣1|﹣|x﹣4|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到4对应点的距离，而到1对应点的距离减去它到4对应点的距离正好等于2，故不等式|x﹣1|﹣|x﹣4|＞2的解集为：{x|x＞}，故答案为：{x|x＞}．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围[，] ．【解答】解：解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），令t=x﹣2y，则可得y=x﹣t，平移直线y=x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，t取最大值，当直线经过点B时，直线的截距最大，t取最小值，解方程组可得A（，），同理可得B（2，2），代入计算可得t的最大值为，最小值为﹣2，∴z=2x﹣2y的取值范围为[，]故答案为：[，]13．（5分）若展开式中含x2的项的系数为，则m的值为．==（﹣1）r．（r=0，【解答】解：设的通项公式T r+11，2，…，6）．∴展开式中含x2的项的系数为：×1+m•（﹣1）2．∴+m=，解得m=．故答案为：．14．（5分）以下四个命题：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；②若x≠kπ（k∈Z），则；③∃x0∈R，使；④由曲线围成的封闭图形的面积为．其中真命题的序号是①（把你认为真命题的序号都填上）．【解答】解：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，命题q一定是真命题，正确；②若x≠kπ（k∈Z），取x=﹣，则sinx+=﹣1，不正确；③∀x∈R，使ln （x2+1）≥0，因此不正确；④联立，解得（1，1），（﹣1，﹣1）．由曲线围成的封闭图形的面积=2=2=3﹣2ln2，不正确．故答案为：①．15．（5分）把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a ij为图乙三角形数阵中第i行第j个数，若a mn=2015，则实数对（m，n）为（45，40）．【解答】解：观察图乙可发现以下规律：（1）第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，…故可归纳得出第i行有i个数字；（2）每一行的数字从左到右都是等差为2的等差数列；（3）每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；（4）每一行的最后一个数字都是该行数的平方．∵442=1936＜2015，452=2025＞2015，∴2015是第45行的数字，设第45行第n个数字为a n，则a1=1937，d=2，∴a n=1937+2（n﹣1）=2n+1935．令a n=2n+1935=2015，解得n=40．∴2015是第45行第40个数字，故答案为（45，40）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知向量，，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为，求c边的长．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵=cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC，∴﹣cos2C=﹣cosC，整理可得：2cos2C﹣cosC﹣1=0，∴cosC=﹣或1，∵C∈（0，π），∴C=…6分（Ⅱ）S△ABC=absinC=absin=15，∴ab=60，a+b=2c，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab（1+cosC）=20，∴解得：c=2…12分17．（12分）数列{a n}各项均为正数，其中a1=2，a n+1是a n与2a n+a n+1的等比中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=．T n为{b n}的前n项和，求使成立时n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，即，整理得：（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，∴a n+1=2a n或a n+1=﹣a n．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n+1=2a n，则数列{a n}为公比是2的等比数列，又∵a1=2，∴；（Ⅱ）b n==，∴=．要使，即，∴2n+1＞2017，即n+1≥11．∴n的最小值为10．18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，一等奖500元，二等奖200元，三等奖10元．抽奖规则如下；顾客先从装有2个红球、4个白球的甲箱中随机摸出两球，再从装有1个红球、2个黑球的乙箱随机摸出一球，在摸出的3个球中，若都是红球，则获一等奖；若有2个红球，则获二等奖；若三种颜色各一个，则获三等奖，其它情况不获奖．（I）设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若某个时间段有三位顾客参加抽奖，求至多有一位获奖的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为500，200，10，0，P（X=500）==，P（X=200）==，P（X=10）==，P（X=0）=1﹣=，∴随机变量X的分布列为：∴随机变量X的数学期望为：EX==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在一次摸奖中的获奖概率为：1﹣P（X=0）=1﹣=，∴三人中至多一人获奖的概率为：=．19．（12分）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．（I）求证：AB1⊥面PBC；（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求二面角B1﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，∴BC⊥面AA1BB1，∵AB1⊂面AA1BB1，∴AB1⊥BC，取AA1中点M，连结BM，PM，∵P，M分别为D1D，A1A的中点，∴PM∥AD，PM∥BC，∴PMBC四点共面，∵AB=AA1，∠BAM=∠AA1B1=90°，AM=AA1，∴△ABM≌△A1B1A，∴AB1⊥BM，∵BM∩BC=B，∴AB1⊥面PBC．解：（Ⅱ）在BC上取点Q，使BQ=PM=，则BQ PM，∴四边形BQPM是平行四边形，∴PQ∥BM，∵PQ⊄平面A1ABB1，BM⊂平面A1ABB1，∴PQ∥面A1ABB1．∴在BC边上找一点Q，BQ=3时，使PQ∥面A1ABB1．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（2，0，4），P（0，3，2），Q（4，3，0），D（0，4，0），=（4，0，﹣2），=（2，﹣3，2），=（0，1，﹣2），设平面PQB1的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，6，6），设平面PQD的法向量=（a，b，c），则，取a=3，得=（3，12，6），设二面角B1﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ===．20．（13分）已知函数f（x）=e x+ax．（I）若f（x）在x=0处的切线过点（2，﹣1），求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）令a=1，F（x）=xf（x）﹣x2，若F（x1）=F（x2）（x1≠x2），证明：x1+x2＜﹣2．【解答】（1）解：由f（x）=e x+ax，得f′（x）=e x+a，f（0）=1，f′（0）=a+1，∴f（x）在x=0处的切线为y=（a+1）x+1，∵f（x）在x=0处的切线过点（2，﹣1），∴﹣1=2（a+1）+1，解得a=﹣2；（2）解：∵f′（x）=e x+a，当a≥﹣e时，f′（x）=e x+a≥0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；当a＜﹣e时，由f′（x）=e x+a=0，得e x=﹣a，x=ln（﹣a），∴当x∈（1，ln（﹣a））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（3）证明：当a=1时，f（x）=e x+x，F（x）=xf（x）﹣x2 =xe x+x2﹣x2=xe x，F′（x）=e x+xe x=e x（x+1），由F′（x）=0，得x=﹣1，∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数；当x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．在x=﹣1时，F（x）取得极小值和最小值．又当x趋近于﹣∞时，F（x）负向趋近于0，且F（0）=0，∴如果存在x1≠x2，使得F（x1）=F（x2），不失一般性令x1＜x2，则x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0．对于任意的x∈（﹣1，0），分别取两点﹣1﹣x、﹣1+x．现在比较F（﹣1﹣x）和F（﹣1+x）的大小．F（﹣1﹣x）﹣F（1+x）=（﹣1﹣x）e﹣1﹣x﹣（﹣1+x）e﹣1+x=，令g（x）=﹣（1+x）﹣（1﹣x）e2x，x∈（﹣1，0）．有g′（x）=﹣1+（2x﹣1）e2x，x∈（0，1）．当x=0时，g′（x）=0；当x＜0时，﹣1+（2x﹣1）e2x单调递间且小于0．∴在（﹣1，0）上g（x）是单调减函数，且g（x）＜g（0）=0，有F（﹣1﹣x）﹣F（﹣1+x）＜0，即F（﹣1+x）＞F（﹣1﹣x），∵﹣1＜﹣1﹣x＜0，﹣1+x＜﹣1，F（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减且F（﹣1+x）＞F（﹣1﹣x），在﹣1+x点的左侧必能找到一点x2，使得F（﹣1﹣x）=F（x2），x2＜﹣1+x．故（﹣1+x）+x2＜（﹣1+x）+（﹣1﹣x）=﹣2令﹣1+x=x1，则为x1+x2＜﹣2．21．（14分）已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，①由，可得（x2，y2﹣1）=（﹣x1，（1﹣y1）），即有x2=﹣x1，②②代入①，可得k=±，即有直线l的方程为y=±x+1：（ii）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y 0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+==2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，∴k AQ=k QB′，即Q、A、B'三点共线，∴===．故存在与点P 不同的定点Q （0，2），使得恒成立．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。