二次含参问题---经典

工程、经济、物理等领域。
学生在学习过程中，对于含参二 次函数的最值问题往往存在困惑，
需要有针对性的教学课件进行讲 解和指导。
课程目标
掌握含参二次函数的最值问题的基本概念和求解方法。
理解参数对二次函数最值的影响，以及如何根据实际问题的需求进行参数的取值。
通过案例分析和实践练习，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和 数学应用能力。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时， 开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
二次函数的最值点在顶点处取得，当 开口向上时，最小值为顶点的纵坐标； 当开口向下时，最大值为顶点的纵坐 标。
二次函数的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。
得到最值。
配方法
对于二次函数，可以通 过配方将其转化为顶点 式，从而容易找到最值。
判别式法
对于二次方程，可以通 过判别式判断其根的情
况，从而得到最值。
换元法
通过引入新的变量进行 换元，将原函数转化为 更简单的形式，便于寻
找最值。
04
含参二次函数的最值问 题解析
CHAPTER
参数对最值的影响
参数对开口方向的影响 参数对对称轴的影响 参数对最值点的影响
最值求解方法
01
02
配方法
判别式法
03 导数法
参数取值范围的确定
根据题目条件确定
根据图像特征确定
根据实际意义确定
05
实例解析
CHAPTER
简单实例解析

九年级·十一短期课·特色课程数学第1讲二次方程含参问题知识导读带有参数的二次方程，要确定参数的值或取值范围，使它的根满足某些条件，此类题型主要利用一元二次方程的定义、根的判别式和韦达定理求解，选择题、填空题和解答题中均有涉及，属于中档题．多结论判断题是近年来中考数学中出现的新题型，含有多个或真或假的命题，让考生判断正确或错误命题的序号或个数，主要考查同学们对二次函数相关概念的准确理解和分析、推理、计算的能力，一般位于选择题第10题，综合性很强，且考查频率较高，属于拔高题．【例1】若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一根为0，则m =（ ）．A ．2-或2B ．2-CD ．2答案：B 提示：240m -=且20m -≠．【巩固】若一元二次方程220170ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=__________． 答案：2017 提示：直接代入．【例2】如果关于x 的方程2(2)210m x x -++=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）．A ．3m ≤B ．3m ≥C ．3m ≤且2m ≠D ．3m <答案：A 提示：只需考虑0∆≥．【巩固】若关于x 的一元二次方程22(1)(21)10m x m x --++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是__________．答案：54m >-且1m ≠± 提示：0∆>且210m -≠．【变式1】已知a 、b 、c 分别是直角三角形的三边长，则方程2()20a b x cx a b +++-=的根的情况是（ ）．A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根答案：B 提示：2224()c a b ∆=-+．【变式2】若2b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）．A ．两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．两个相等的实数根D ．不能确定答案：A 提示：2240a c ∆=+>．【变式3】实数a 、b 、c 满足20a ab ac ++<，则一元二次方程20ax bx c ++=（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定根的情况答案：A 提示：2444ac a ab ->+，222444b ac a ab b ∆=->++．根与判别式典型例题【例3】已知关于x 的方程220x x m +-=． （1）若2x =是方程的根，求m 的值．（2）若方程总有两个实数根，求m 的取值范围． 提示：直接代入解得8m =；440m ∆=+≥，解得1m -≥．【巩固】已知关于x 的一元二次方程2(23)20mx m x m -+++=没有实数根，求证：关于x 的一元二次方程2210x x m ---=没有实数根．提示：方程①中0∆<，解得94m <-，则方程②中840m ∆=+<．【变式】已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根． 提示：140m ∆=+>；直接代入解得2m =±，原方程为2540x x -+=，11x =、24x =．【例4】若函数221y mx x =++的图像与x 轴只有1个交点，则常数m 的值是__________． 答案：0或1 提示：0m =时21y x =+成立；0m ≠时440m ∆=-=，解得1m =．【巩固】二次函数263y kx k =-+图象与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠答案：B 提示：0∆>且0k ≠．【变式】当直线23y x t =+-与函数2221(1)23(1)x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥的图象有且只有两个公共点时，t的取值范围是__________．答案：1t >或0t =提示：直线过点(1,0)时有3个交点，代入解得1t =，观察图像可知1t >时有两个交点； 直线与函数图象相切时有2个交点，联立解得0t =．【例1】若方程2(1)30x k x+--=的一个根是1，则另一个根是__________．答案：3-提示：123cx xa==-．【巩固】若方程210x px++=的一个根为1-则它的另一个根等于__________，p的值为__________．答案：1--提示：2111xx===-12()p x x=-+．【变式】王刚解关于x的方程230x x c-+=时，误将3x-看作3x+，解得11x=、24x=-，则原方程的解为（）．A．11x=-、24x=-B．11x=、24x=C．11x=-、24x=D．12x=、23x=答案：C 提示：124c x x==-．【例2】若1x、2x是方程214x x m m⎛⎫-+=<⎪⎝⎭的两根，则221122x x x--=__________．答案：1-提示：22112112122()2()()x x x x m x x m x x--=----=-+．【巩固】已知1x、2x是一元二次方程222130x x m-+-=的两个实数根，且1x、2x满足不等式12122()0x x x x++>，则实数m的取值范围是__________．答案：1563m<≤提示：0∆≥且13202m-+>．【变式1】抛物线2(21)6y x m x m=---交x轴于1(,0)x、2(,0)x，已知121249x x x x=++，要使此抛物线经过原点，应将它向右平移__________个单位．答案：4或9提示：62149m m-=-+，解得6m=-，则(4)(9)y x x=++．根与系数的关系典型例题【变式2】已知抛物线22y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点与原点的距离之和不超过4，则a 的取值范围是__________．答案：31a -<≤ 提示：0∆>且124x x +≤．【例3】关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=有实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k 的值． 提示：0∆≥，解得54k ≤；21211x x k =-=，解得1k =（舍）、2k =【巩固】已知关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（2）设方程的两根分别为1x 、2x 且121223x x x x +-=-，求k 的值． 提示：0∆>且20k ≠，解得14k <且0k ≠； 12122221223k x x x x k k -+-=-=-，23210k k --=，解得113k =-、11k =（舍）．【变式】已知关于x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-=有两个不相等的实数根．（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且1221x x m +=+，求m 的值．提示：2(3)10m ∆=-+>；121212213221x x m x x m x x m +=-⎧⎪⎪=-⎨⎪+=+⎪⎩，解得1712m =．【例4】菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于点O ，且AO 、BO 的长度分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 的值为（ ）．A ．3-B ．5C ．5或3-D ．5-或3答案：A 提示：0∆>且221225x x +=．【巩固】已知ABC △的一条边BC 的长为5，另外两条边AB 、AC 的长恰好是关于x 的方程22(23)320x k x k k +++++=的两个实数根． （1）求证：AB AC ≠．（2）如果ABC △是以BC 为斜边的直角三角形，求k 的值．（3）填空：当k =__________时，ABC △是等腰三角形，其周长为__________． 提示：10∆=>；222212(23)2(32)25x x k k k +=---++=，解得15k =-、22k =（舍）；AB AC ≠，则BC 为腰，将5x =代入解得16k =-、27k =-，周长为14或16．【变式】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤ D ．314m ≤≤答案：C 提示：对于方程220x x m -+=，0∆≥且121x x -<．【例5】已知实数a 、b 分别满足2640a a -+=、2640b b -+=，且a b ≠，则b aa b+的值为（ ）．A ．7B ．7-C ．11D ．11-答案：A 提示：a 、b 可看作方程2640x x -+=的两根．【巩固1】已知方程20x bx c ++=有两相等实数根，x 取m 和2m +时，代数式2x bx c ++的值都等于n ，则n =__________．答案：1 提示：24022(2)b c m b m m c n ⎧-=⎪+=-⎨⎪+=-⎩．【巩固2】已知方程20x bx c ++=有两相等实数根，x a =、x a n =+满足2x bx c m ++=，则m 、n 的关系为（ ）．A ．12m n =B ．14m n =C ．212m n =D ．214m n =答案：D 提示：2402()b c a n b a a n c m ⎧-=⎪+=-⎨⎪+=-⎩．【变式1】已知2720m m +-=，2270n n --=，其中m 、n 为实数，求1mn n+的值． 答案：17- 提示：m 、1n可看作方程2720x x +-=的两根．【变式2】已知1x 、2x 是关于x 的方程220x m x n ++=的两个实数根，1y 、2y 是关于y 的方程2570y my ++=的两个实数根，且满足112x y -=、222x y -=，则m =__________，n =__________．答案：4、29- 提示：2121254x x y y m m +--=-+=．【例6】已知1x 、2x 是关于x 的方程20x x t -+=的两个非负实数根，设4412y x x =+的最大值为M 、最小值为m ，则M m -=__________． 答案：78提示：222(12)22(1)1y t t t =--=--，0∆≥且120x x ≥，解得104t ≤≤，故1M =、18m =．【巩固】已知t 是实数，若a 、b 是关于x 的一元二次方程240x x t -+-=的两个非负实根，则22(4)(4)a b --最大值与最小值的差为__________． 答案：3316提示：222(4)(4)4a b t --=-，0∆≥且120x x ≥，解得1744t ≤≤，2217334416⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【变式】关于x 的方程2680x x t -+-=有两个实数根，且12(2)(2)y x x =--，则y 与t 的函数关系式为__________．答案：(1)y t t =--≥ 提示：0∆≥，解得1y -≥，8264y t t =--⨯+=-．【例1】抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)D --，与x 轴的一个交点A 在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则以下结论：①0abc >；②0a b c ++<；③3a c -=；④方程230ax bx c +++=有两个相等的实根，其中正确的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A提示：①错0a ≠（0a >、0b >、0c <）；②错误（另一个交点在(1,0)左侧，故1x =时0y >）；③正确（3a b c -+=-、12ba-=-）； ④错误（30-<）．【巩固】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③当1m ≠时，2a b am bm +>+；④0a b c -+>；⑤如果221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则122x x +=．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤答案：D提示：①错误（0a <、0b >、0c >）；②正确（12ba-=-）； ③正确（1x =时函数有最大值，故2a b c am bm c ++>++）； ④错误（另一个交点在(1,0)-右侧，故1x =-时0y <）； ⑤正确（1x 、2x 关于1x =对称）．多结论判断典型例题x【例2】二次函数2y ax bx c =++图象如下，对称轴为1x =，且经过点(3.5,0)，则下列结论：①24b ac >；②420a b c -+<；③不等式20ax bx c ++>解集为 3.5x >；④若1(2,)y -、2(5,)y 是抛物线上两点，则12y y <．其中正确的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C提示：①正确（抛物线与x 轴有两个交点）；②错误（另一交点为(1.5,0)-，故2x =-时0y >）；③错误（解集为 3.5x >或 1.5x <-）；④正确（点1(2,)y -距对称轴较近，故12y y <）．【巩固】二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如下，其顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，直线2(0)y mx n m =+≠与抛物线交于A 、B 两点，则下列结论：①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(1,0)-；⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确的是（ ）． A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤答案：C提示：①正确（12ba-=）； ②错误（0a <、0b >、0c >）；③正确（3y =与抛物线交于顶点A ）； ④错误（122x x +=）；⑤正确（14x <<时抛物线在直线上方）．【例1】已知抛物线2248y x mx m =-+-的顶点为A ．（1）求证：该抛物线与x 轴总有两个交点．（2）当1m =时，直线:2BC y kx =-与该抛物线交于B 、C 两点，若线段BC 被x 轴平分，求k 的值．（3）以A 为一顶点作该抛物线的内接正AMN △（点M 、N 在抛物线上），请问：AMN △的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 提示：24(2)160m ∆=-+>；联立得2(2)20x k x -+-=，12(2)40y y k k +=+-=，解得1k =-；设2(,248)M a a ma m -+-，则2248(48))ma m m m m a -+---+--，化简可得m a -=，132AMN S=⨯=△【例2】已知关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有两个不相等的实数根，k 为正整数． （1）求k 的值．（2）当此方程有一根为0时，直线2y x =+与关于x 的二次函数2122k y x x -=++的图象交于A 、B 两点，若M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴，交二次函数的图象于点N ，求线段MN 的最大值及此时点M 的坐标． （3）若直线12y x b =+与函数2122k y x x -=++的图象恰好有三个公共点，求b 的值．提示：0∆>，解得3k <，故k 的值为1或2；设(,2)M m m +，则2(,2)N m m m +， 22192(2)24MN m m m m ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭；直线过A 点时11b =， 直线与翻折部分相切时22516b =．能力提升【2016-2017东湖高新区期中】已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-图象与x 轴两交点之间的距离为2时，求抛物线的解析式．提示：0m =时方程20x -=有实数根，0m ≠时2(1)0m ∆=+≥；12123122m x x m m x x m -⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1212m x x m +-==，解得11m =、213m =-．【2016-2017C 组联盟期中】设二次函数112()()y a x x x x =--（0a ≠，12x x ≠）的图象与一次函数2y dx e =+（0d ≠）的图象交于点1(,0)x ，若函数12y y y =+的图象与x 轴仅有一个交点，则（ ）．A ．212()a x x d -=B ．212()a x x d +=C ．12()a x x d -=D ．21()a x x d -=答案：D 提示：12121()()()y y y a x x x x d x x =+=--+-与x 轴交于点1(,0)x ．真题链接【习题1】如果关于x 的方程2(5)410a x x ---=有两个实数根，则a 满足（ ）．A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠答案：C 提示：0∆≥且50a -≠．【习题2】如果3x =-是一元二次方程2ax c =的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）． A ．3B ．3-C ．0D ．1答案：A 提示：120bx x a+=-=．【习题3】若(2)350m m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为__________． 答案：2- 提示：2m =且20m -≠．【习题4】关于x 的方程2(3)(2)0x x p ---=根的情况是（ ）．A ．有两个不等实数根B ．没有实数根C ．有两个相等实数根D ．无法确定 答案：A 提示：2140p ∆=+>．【习题5】已知219M a =-、279N a a =-（a 为实数），则M 、N 大小关系为（ ）．A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定 答案：A 提示：22131024N M a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭．【习题6】若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=无实数根，则满足条件的k 的最小整数值是__________．答案：2 提示：0∆<，解得116k >．【习题7】已知关于x 的方程2210x mx m -+-=两根的平方和为7，则m =__________．答案：1- 提示：0∆≥且222121212()27x x x x x x +=+-=．【习题8】已知m n ≠，且23m m -=、23n n =+，那么代数式2222005m mn n -++的值为__________．答案：2017 提示：m 、n 是方程230x x --=的两根，2226m m =+．课后作业【习题9】设实数s 、t 满足2199910s s ++=、299190t t ++=，并且1st ≠，则41st s t++=__________．答案：5- 提示：s 、1t可看作方程2199910x x ++=的两根．【习题10】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象如图所示，下列结论：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++>；④0a b c -+>．其中错误的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A提示：①错误（12ba-=-，故20a b -=）； ②正确（0a <、0b <、0c <）；③错误（1x =时0y <）； ④正确（1x =-时0y <）．【习题11】已知抛物线2(0)y ax bx c b a =++>>与x 轴最多有一个交点，现有以下结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程220ax bx c +++=无实根；③0a b c -+≥；④a b cb a ++-的最小值为3．其中正确的结论个数为（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案：D 提示：①正确（02ba-<）； ②正确（240b ac -≤，则2480b ac a --<）； ③正确（1x =-时0a b c -+≥）；④正确（2x =-时420a b c -+≥，33a b c b a ++-≥，3a b cb a++-≥）．【习题12】关于x 的方程22(23)0x a x a +-+=． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． （2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求a ． 提示：0∆>，解得34a <； 122121211321x x a x x x x a +-+===，解得11a =（舍）、23a =-．【习题13】若关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不等实根1x 、2x ． （1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x 、2x 满足1212x x x x +=，求k 的值． 提示：0∆>，解得34k >； 2211k k +=+，解得10k =（舍）、22k =．。

含参数二次函数的最值问题一、 二次函数2y ax bx c =++在α≤x ≤β范围内的最值。

对称轴为2b x a=- 1. 求最大值（1）当a ＞0时：①当+22b a αβ-≤时，x β=，y 取得最大值，最大值为2y a b c ββ=++②当2b a -＞+2αβ 时，x α=，y 取得最大值，最大值为2y a b c αα=++（2）当a ＜0时：①当2b a-＜α时，x α=，y 取得最大值，最大值为2y a b c αα=++②当α≤x ≤β时，2bx a=-，y 取得最大值，最大值为244ac b y a -=.③当2b a-＞β时，x β=，y 取得最大值，最大值为2y a b c ββ=++x=-2ax=-2a2a2a2. 求最小值（1）当a ＞0时：①当2b a-＜α时，x α=，y 取得最小值，最小值为2y a b c αα=++②当α≤x ≤β时，2bx a=-，y 取得最小值，最小值为244ac b y a -=.③当2b a-＞β时，x β=，y 取得最小值，最小值为2y a b c ββ=++（2）当a ＜0时：①当+22b a αβ-≤时，x β=，y 取得最小值，最小值为2y a b c ββ=++ ②当2b a -＞+2αβ 时，x α=，y 取得最小值，最小值为2y a b c αα=++二、例题与练习例1. 已知22y x x =-+，当x 在以下取值范围时，求y 的最大值和最小值. （1）-1≤x≤0 （2）0≤x≤1 （3）1≤x≤2练习1. 已知245y x x =-+，当x 在以下取值范围时，求y 的最大值和最小值. （1）-1≤x≤1 （2）-1≤x≤3 （3）3≤x≤42. 求y =.3. 求y 的最值.4. 求函数2283y x x =--+，当-2≤x≤3时的最值.例2. 已知函数224422y x ax a a =-+-+，当0≤x≤2时有最小值3，求a 的值. 练习1. 当x ≥0时，求22y x ax =+的最小值.2. 已知243y x x a b =-+-，当0≤x≤5时有最小值-1，最大值为4a ，求a ，b 的值.3.若函数21y x ax =+-，当-1≤x≤1时有最大值14，求a 的值.三、中考模拟真题1．（2019台州）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）． （1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．2.（2017海宁模拟）二次函数2224231y x ax a a =-+-+，当0≤x≤1时，y 的最小值为1，则a 的值为 （ ）A. 0B. 0C. 32D. 32。

导数与（二次）函数的单调性 专题知识点与方法
一、导数与函数的单调性
一、导数与函数的单调性
二、经典例题ຫໍສະໝຸດ 答案解析二、经典例题
答案解析
二、经典例题
答案解析
二、经典例题
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二、经典例题
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二、经典例题
答案解析
二、经典例题
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三、课后练习
答案解析
三、课后练习
答案解析
三、课后练习
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知识总结
导数二次型常见题型以及需要注意的事项： 题型一：求参数范围方法：①分离参数 ②根据二次函数根的分布求解
注意事项：①关注参数临界值。②审题注意“恒成立”“存在”的差异 题型二：讨论参数范围求解函数性质（单调性、最值性、极值性）
注意事项：①步骤得分 ②逻辑条理
课后总结
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么