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一、交错级数及其审敛法第三节第三节 任意项级数的绝对与条件收敛任意项级数的绝对与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛第十章一、交错级数及其审敛法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.. n n n n n n u u ∑∑∞=∞=−−−111)1()1(或定理1 1 莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:: (ⅰ),3,2,1(1⋯=≥+n u u n n ;(;(ⅱⅱ)lim =∞→n n u , 则级数收敛则级数收敛,,且其和u s ≤,其余项其余项 r的绝对值的绝对值 1+≤n n u r . )0(>n u 其中证明nn n n u u u u u u s 212223212)()(−−−−−−=−−⋯又)()()(21243212n n n u u u u u u s −++−+−=−⋯∵1u ≤,01≥−−n n u u ∵.lim 12u s s n n ≤=∴∞→,0lim 12=+∞→n n u ∵,2是单调增加的数列n s ,2是有界的数列n s)(lim lim 12212+∞→+∞→+=∴n n n n n u s s ,s =.,1u s s ≤∴且级数收敛于和),(21⋯+−±=++n n n u u r 余项,21⋯+−=++n n n u u r 满足收敛的两个条件,.1+≤∴n n u r 定理证毕.解），，⋯∵21(1111==+>=+n u n n u n n 0lim =∞→n n u 又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例⋯+−+−例2 判别级数∑∞=−2(n 的收敛性.解2)1(2)1()1(−+−=′−x x x x x ∵)2(0≥<x ,1单调递减故函数−x x ,1+>∴n n u u 1lim lim −=∞→∞→n n u n n n 又.0=原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定 的方法n n u u <+1；0)11<−+n n u u ；）121<+n n u u .3）相应函数的单调性二、绝对收敛与条件收敛任意项级数正项级数任意项级数的各项取绝对值定义定义: : : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数..问题问题: : : 如何研究任意项级数的敛散性问题？如何研究任意项级数的敛散性问题？绝对收敛：∑∞=1.1n n u 收敛；∑∞=1n n u 条件收敛：∑∞=1.2n n u 收敛；发散，∑∑∞=∞=11n n n n u u ..31发散∑∞=n n u 任意项级数的敛散性定理2 若∑∞=1n nu 收敛收敛,,则∞=1n n u 收敛收敛.. 证明),,2,1()(21⋯=+=n u u v n n n 令,0≥n v 显然,n n u v ≤且,1收敛∑∞=∴n n v ),2(11∑∑∞=∞=−=n n n n n u v u ∵又∑∞=∴1n n u 收敛.例3 判别级数的收敛性.解,1sin 22n nn ≤∵,112收敛而∑∞=n n ,sin 12∑∞=∴n n n收敛故由定理知原级数收敛.定理3 如果任意项级数如果任意项级数⋯⋯∑∞=++++=121n n n u u u u 满足条件 ρ=+∞→nn n u u 1lim （其中ρ可以为∞+）则当<ρ时，级数∑∞=1n n u 收敛，且绝对收敛； 当>ρ时，级数∑∞=1n n u 发散例4 判别下列级数的收敛性:(1)∑∞=0n n x; (2)(2);(3)(3)解01||lim ||!)!1(||lim lim )1(11=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n x x n n x u u n n n n n n n 则此级数对一切(−x 绝对收敛212(2)!lim (2)lim ||(22)!1lim ||0(22)(21)n n n nn u n x u n x n n +→∞→∞→∞=+==++||1lim lim )3(1x x n n u u n n n n =+−=∞→+∞→α则此级数对一切(−∞x 绝对收敛则当||x时，级数收敛；当时，级数发散，而时，级数是否收敛取决于 为何值.。
