02-交错级数及其审敛法PPT

定理4 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 . 证: (1) 当ρ <1时,
un+1 知存在N ∈Z , 当n > N时 < ρ + ε <1 , un
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数+ − 1− p−1 ∑p−1 − p−1 +L+ 的部分和 (n −1) p−1 n p−1 p−1 − p−1 2 n=22 3 (n +1) n
∞
1 1 n →∞ 1 − = 1− σ n = ∑ p−1 1 p−1 p−1 (k +1) (n +1) k =1 k
∞
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 定理8. 定理 *定理 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 定理9. 定理 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S,σ , 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 Sσ . 说明: 说明 证明参考 P203～P206, 这里从略. 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.
用Leibnitz 判别法 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n−1 1 n +1 1 1) 1− + − +L+ (−1) +L n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n = 10 ⋅+1 1 1 1 un n−1 1 1 n n 收敛 2) 1− + − +L+ (−1) +L n 2! 3! 4! n!10! n 1 2 3 4 n−1 n 3) − + − +L+ (−1) +L收敛 10 102 103 104 10n

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛

例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
n2 en
绝对收敛.
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且
(n=1,2,3…)
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
也收敛 ;
(2) 若级数

进一步开拓交错级数在其他领域的应 用，如生物学、经济学、社会学等。
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。

00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.

u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
首页 ×
S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
即数列
i1
证 以 v1 1,vk k k1 (k 2, 3,L , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
首页 ×
推论 （阿贝耳引理）若
（1）1 , 2 ,L , n 是单调数组；
（2）对任一正整数k(1 k n)有 | k | A, 则记
max{| k
首页 ×
三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设i ,vi (i 1, 2,L , n)为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立 n
ivi (1 2 )1 ( 2 3 ) 2 ( n1 n ) n1 n n
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
首页 ×
因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .
首页 ×
n1
首页 ×
例
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n ห้องสมุดไป่ตู้2

判定正项级数敛散性的思路与方法：

n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un

0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)

(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1


1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1

un1,
且
lim
n
un

lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；

有 lim un 0, 所以原级数发散.
n
注: 如果采用比值法判定的级数非绝对收敛, 则原级数一定发散.
小结
一、常数项级数的审敛法
正 项 级 数
1. lims n s 级数收敛;
n
任意项级数
审
2.
当 n , un 0, 则级数发散 ;
4.绝对收敛 5.交错级数
敛
法
n 1
n 的收敛性. n 1 !
n 1
e 1,(n )
n 1 n 1
1
n 发散， 原级数非绝对收敛. n 1 !
n 1
由于 lim
n
un1 un
e 1,
un1 故当n充分大时， 1， 即 un1 un 0, un
n n
n
lim u2 n1 0,
lim sn s, 且s u1 ,即级数收敛且和为 u1 .
n
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 , 交错级数
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.


n 1
定理7的作用 任意项级数的收敛问题可借助于正项级数
sin n 例9 判别级数 的收敛性 . 2 n 1 n
sin n 1 1 解 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

sin n 2 收敛, n n1
故由定理7知原级数收敛且绝对收敛.

1 例10 判断 1 的收敛性， n n 1 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
3. 基本性质;
4. s n有界 收敛 5.比较法 6.比值法 7.根值法

rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别收敛性：
( 1) (1) p n n 1

n 1
( p 0);
显然单调趋于0，
解
1 (1) un p n
收 敛.
( 1) n n 例 2 判别级数 的收敛性. n1 n 2
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
该定理的作用：
任意项级数
例3

正项级数
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
解
sin n 2 收敛, n n1
解

x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
定理（柯西定理）：
若
un绝对收敛于A, vn绝对收敛于B,
则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对 收敛于AB. 例
rn 1 r r2 r3 rn
n 0
1 当 | r | 1, 级数绝对收敛于 , 1 r
rn rn 考察：
n 0 n 0
可得 p q n n
vn pn qn pn qn un s.

;
n=1 n!
n!
(2) n=1 10n ; 1
1
(3)
.
n=1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
=
(n 1)! 1
=
1
0
n1
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n=1 n!
(2)
un1 un
=
(n 1)! 10n1
10n n!
= n1 10
(n ),
故级数
n=1
n! 10n
n=1
n=1
(3) 当 l = 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
5.极限审敛法：
设 un 为正项级数,
n=1
如果lim n
nun
=l0
(或lim n
nun
= ),
则级数 un 发散;
n=1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n=1
例 3 判定下列级数的敛散性:
设
n=1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
=
(可为 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; = 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n=1 n
(
=
1)
级数
n=1
1 n2
收敛,
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
x)
=
0
(x在收敛域上)

=1
=1
因为 = ෍ ( + 1 − )= + 1 − 1 → ∞( → ∞时),
=1
∞
所以级数 ෍ | | 发散.
=1
25
02
任意项级数审敛法
∞
( + 1 − ) .
෍
(−1)
再考察交错级数
=1
由 +1− =
1
+1+
> 0可得:
数列 { + 1 − } 单调递减
2 →∞

∞
可知 lim ≠ 0,
→∞
故级数 ෍ (−1)
=1
1
1 2
(1 + ) 发散．

2

24
02
任意项级数审敛法
∞
例8 判别级数 ෍ (−1) ( + 1 − ) 的敛散性．
=1
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？
∞
∞
解 先考察正项级数෍ | | = ෍ ( + 1 − ) :


=1
∞
1
sin
1
≤ ，当 > 1时，෍ 收敛,
证 因为




=1
∞
∞
=1
=1
sin
sin
故级数 ෍
收敛, 从而级数 ෍


绝对收敛.
18
02
任意项级数审敛法
注
∞
∞
(1)对于任意项级数 ෍ , 如果级数 ෍ 收敛,
=1
∞
=1
那么级数 ෍ 一定收敛, 这样可以把一大类级数的敛散

交错级数审敛法
提及交错级数，我们可以想起微积分中积分方法之一“交错级数定理”，它是“浓厚”理论，从证明角度来看，既复杂又有趣，例如，将求和类型积分表示中的常数变量和一个
无穷级数统一求出所求。

交错级数审档法是一种求解无穷级数的方法。

该方法的工作原理是：
首先，将化简的级数化为符号形式，使级数可以分解成不同的项；
其次，将每一项与相应的系数相乘；
然后，将所有的结果相加；
最后，用完整的数学证明来证明已结果是正确的。

也就是说，交错级数审档法是一种整理无穷级数并计算其值的方法，该方法用于将一
个无穷级数拆分为若干项进行处理，让计算更加容易和准确。

举例来说，假设我们想求解（1+1/2+1/4+1/8+...）的值。

首先，我们可以将级数表
达式拆分为（1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...），并将每一项乘以其系数，即（1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1/2 + 1 * 1/4 + 1 * 1/8 + ...），最后将所有项相加即可得到最后的结
果为2。

此外，交错级数审档法还可以用于证明数学定理等。

例如，我们想证明ϕ=(1+√5)/2为黄金比例，则可以将这个8次方程式拆分成8个项，并将每项乘以对应的系数
（1+1/2+1/4+1/8+...），然后将所有项相加即可得出1+√5=ϕ^2，从而证明ϕ就是黄金比例。

综上所述，交错级数审敛法是一种简单易用的、方便而有效的数学算法，它可以用来
计算无穷级数的值，也可以用于数学证明。

(i) an1 an (n 1,2,);
( ii
)
lim
n
an

0
.

则 (1) (1)n1 an 收敛,且其和 s满足 : 0 s a1;
n1
(2) 级数的余项 rn s sn 满足 rn an1 .
板书
证明：(1) an1 an 0,

s

a1 .
lim n
a2n1

0,
板书
lim n
Hale Waihona Puke s2n1lim (
n
s2n

a2n1 )
s,
级数收敛于和 s, 且s a1.
(2) 余项 rn (an1 an2 ), rn an1 an2 ,
满足收敛的两个条件， rn an1 .
s2n (a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2n1 a2n )
数列 s2n是单调增加的 ,
又 s2n a1 (a2 a3 ) (a2n2 a2n1 ) a2n
a1. 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
n1
n1
验证：{an } 单调递减且趋于0 , 则级数收敛.
交错级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法
定义： 正、负项相间的级数称为交错级数，即


(1)n an , 或 (1)n1an ,
n1
n1
其中对任意 n , 有an 0 .
交错级数审敛法（莱布尼茨判别法）：

若交错级数 (1)n1 an (an 0)的一般项满足:
n1
定理证毕.