第9章同步

【学霸笔记】三年级上册数学同步重难点讲练第9章数学广角-集合第1课时集合用直观图解决重叠问题：解决重叠问题，可以从已知条件入手进行分析，画出集合图；借助集合图进行思考，为了不重复计算，应从它们的和中减去重叠部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。

例如：下面是希望小学三年级参加跳远、跑步的学生的名单。

参加跳远的有：李冬王艳刘君陈明刘静参加跑步的有：宋文王艳刘君王晓陈晓明张奇(1)请按名单把参加跳远、跑步的学生填在相应的圈里。

(2)参加跑步的有( 6 )人，参加跳远的有( 5 )人。

(3)参加跳远和跑步的一共有( 9 )人。

例1.把同样长的纸条平均分成3份或4份（如图所示），那么所求长度为（）厘米．A．5.5B．6C．6.75D．7【分析】第一个图可知：每根6厘米平均分成3份或者平均分成4份；观察第二个图发现：多出的部分是整根直条平均分成4份后，其中的1份又平均分成了2份，先用6厘米除以4，再除以2，就是多出的部分，再加上6厘米即可．【解答】解：6÷4÷2+6＝0.75+6＝6.75（厘米）答：所求长度为6.75厘米．故选：C．【点评】解决本题注意观察图，找出图中平均分的份数，再根据除法的意义求解．例2.现有若干个圆环，它们的外直径是6厘米，环宽1厘米，将它们（如图）紧扣在一起，拉紧测量其长度，则2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米．【分析】根据题干可知：1个圆环的长度是6厘米，2个环扣在一起时，总长度是两个环的长度和减去中间重叠部分的2个环宽，即2×1＝2厘米；8个环扣在一起时，总长度是8个环的长度和减去7个中间重叠部分，由此求解．【解答】解：1×2＝2（厘米）6+6﹣2＝10（厘米）6×8﹣2×7＝48﹣14＝34（厘米）答：2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米．故答案为：10，34．【点评】解决本题关键是明确重叠部分的数量＝环的个数﹣1．例3.等底等高的两个三角形一定能重合起来．×．（判断对错）【分析】根据三角形的面积S＝ah可知：只要是三角形的底和高相等，则它们的面积相等，据此即可得解．【解答】解：等底等高的两个三角形不一定形状完全相同；三角形的面积等于底×高÷2，所以等底等高的两个三角形面积一定相等；所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查等底等高的两个三角形的面积相等．例4.有两张完全相同的长方形纸板，纸板长12厘米，宽5厘米，小红将这两张纸板重叠放在桌子上（如图）．你能求出拼成的这个图形的周长吗？【分析】周长比原来减少了4条宽的长度，即比原来减少了重叠部分的边长为5厘米的正方形的周长，然后根据正方形和长方形的周长公式解答即可．【解答】解：（5+12）×2×2﹣5×4＝68﹣20＝48（厘米）答：这个图形的周长是48厘米．【点评】本题关键是理解重叠部分的正方形的周长减少了的周长，本题也可以利用“割补法”通过变形求出图形的周长．一．选择题（共10小题）1．下面图形的面积是（）cm2A．12B．11C．102．如图，一个长方形和一个正方形重叠在一起，则∠1（）∠2．A．大于B．小于C．等于3．两个长5厘米、宽2厘米的长方形重叠成下方的图形．它的周长是（）A．49厘米B．20厘米C．24厘米D．18厘米4．如图，已知正方形和三角形有一部分重叠，三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米，则x＝（）厘米．A．7B．8C．9D．105．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．7B．6C．5D．46．如图所示，这条细线拉直后长约（）厘米．A．4B．5C．6D．87．每两段绳子打1个结（如图），像这样用10段绳子连起来围成一个圈，一共要打（）结．A．9个B．10个C．11个8．如图，正方形花池中玫瑰花占地，三角形花池中菊花占地，玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是（）A．4：3B．3：2C．2：3D．3：49．把5张同样长的纸连接成一张长纸条，接头处都重叠1厘米时，全长正好是40厘米，每张纸条的长是（）厘米．A．8B．8.8C．9D．9.610．两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上（如图）．绕中心点旋转其中一个正方形，两个正方形重叠部分的面积是（）平方厘米A．2B．3C．4D．无法计算二．填空题（共8小题）11．已知A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，那么A+B+C＝12．如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的铁环依次连在一起长厘米，n个铁环连在一起长厘米．13．如图（图中单位；厘米），大长方形中的阴影部分是一个正方形，大长方形的周长是厘米．14．两个三角形重叠在一起，重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，则三角形A与三角形B的面积比为．如果三角形B的面积是24平方厘米，那么三角形A的面积是平方厘米．15．把两根长都是25厘米的铁条焊接为一根，焊接头（如图）长是5厘米，焊接后的铁条长厘米．16．右面方格图中，图1是边长2厘米的正方形，用两个这样的正方形叠放成图2，用三个这样的正方形叠放成图3，用四个这样的正方形叠放成图4．像这样，用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是平方厘米．17．如图，将一个直角三角形沿着一条直角边水平移动后，AB＝8，BC＝5，ED＝3，那么阴影部分（即四边形DEGF）的面积．18．两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的．已知A的面积比B的面积少12平方厘米，那么A的面积是平方厘米，B的面积是平方厘米．三．判断题（共3小题）19．有两根长都是100厘米的木条，钉成一根长180厘米的木条，中间钉在一起的重叠部分长是20厘米．（判断对错）20．用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条（每个接头处都重叠1厘米），那么每张纸条长7厘米．（判断对错）21．用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米．．（判断对错）四．应用题（共7小题）22．思思用一根3米长的竹竿测量一个水池中水的深度，没有触到底．他把两根3米长的竹竿连接起来再测量，已知重叠部分是1米，竹竿触底后顶端刚好和水面持平．池中水深多少米？23．将3根长短相同的木棒粘在一起，粘好后如图．这3根木棒粘在一起有多长呢？（可以分段求出粘好后木棒的长度哟!）24．一个长方形与一个正方形部分重合（如图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）25．有两块各长100厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起的重叠部分是20厘米，钉成的木板长多少厘米？26．两块50厘米长的木板拼在一起，重叠部分长4厘米，现在两块木板的总长度是多少？它们的总长比1米长还是比1米短？27．把3根长16分米的绳子连接成一根长绳．（1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？（2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？28．长方形和正方形有一部分重合（如图），两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由图意可知，先求出3个正方形的面积，再去掉重叠部分2个1×1的面积，就是图形的面积．据此解答．【解答】解：2×2×3﹣1×1×2＝12﹣2＝10（平方厘米）答：图形的面积是10平方厘米．故选：C．【点评】解决此题的关键在于看懂图意：去掉重叠部分2个1×1的面积．2．【分析】根据长方形和正方形的特点可知：∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2，解答即可．【解答】解：如图：因为∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2故选：C．【点评】此题考查了简单图形的重叠问题，解决本题的关键在于明白∠1、∠2和∠3分别组成一个直角．3．【分析】根据图得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长，由此利用正方形的周长公式C＝4a进行解答．【解答】解：5×4＝20（厘米）答：这个图形的周长是20厘米．故选：B．【点评】关键是利用平移的方法得出：此图的周长就是边长为5厘米的正方形的周长．4．【分析】由“三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米”，可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，由此可得三角形ABE的面积等于正方形的面积加上7平方厘米，求得三角形ABE 的面积后，再利用三角形的面积公式求出BE的长后即可求得CE，即X的长．【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米，根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，所以三角形ABE的面积为：7×7+7＝49+7＝56（平方厘米），又因为AB＝7厘米，所以BE的长度是：56×2÷7＝16（厘米），所以CE的长度为：16﹣7＝9（厘米），即X＝9厘米．答：X的长度是9厘米．故选：C．【点评】此题考查了三角形和正方形面积公式的灵活应用，这里根据题干得出三角形ABE与正方形的面积之差是7平方厘米是解决问题的关键．5．【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．【解答】解：设重叠部分面积为c，a﹣b＝（a+c）﹣（b+c）＝16﹣9＝7，故选：A．【点评】本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．6．【分析】因为如果拉直后，应该比现在的长多出2个（5﹣4）厘米，原来重叠后的长是（6﹣2）厘米，进而求出拉直后的长度．【解答】解：6﹣2+（5﹣4）×2＝4+2＝6（厘米）；答：这条细线拉直后长约6厘米；故选：C．【点评】明确重叠的线的长度是2个（5﹣4）厘米，是解答此题的关键．7．【分析】用8段绳子连起来围成一个圈，有8个间隔，由于是环形排列，每两段绳子打1个结，根据在封闭图形上植树问题的知识可得：间隔数就等于打结的个数，据此解答．【解答】解：因为圆圈是封闭图形有10段就有10个结，因此一共要打10结．故选：B．【点评】本题要考虑实际情况，属于在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．8．【分析】把正方形的面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积的：＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；由此即可求出玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比．【解答】解：把正方形面积看作单位“1”，正方形花池中玫瑰花占地，即假山占正方形面积的，玫瑰花种植面积是假山面积：＝3倍；三角形花池中菊花占地，即假山占三角形花池面积的，菊花种植面积是假山面积的2倍；所以玫瑰花种植面积与菊花种植面积的比是3：2；故选：B．【点评】此题较难，应注意转化，求出玫瑰花种植面积是假山面积：＝3倍，菊花种植面积是假山面积的2倍，是解答此题的关键；用到的知识点：比的意义．9．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，5个纸条有4个接头，也就是重叠了4厘米，然后加上重叠后的长度40厘米，就可得到5个纸条的长度和，再除以张数5，得到每张纸条的长度．【解答】解：[40+1×（5﹣1）]÷5，＝[40+4]÷5，＝44÷5，＝8.8（厘米）；答：每张纸条8.8厘米．故选：B．【点评】题解答的关键是弄清5张纸条有4个接头，不要误算成5个接头．10．【分析】正方形关于中心对称，所以首先通过旋转，可得阴影部分面积等于一个正方形面积的，然后根据正方形的面积公式，求出正方形的面积，进而求出阴影部分的面积即可．【解答】解：阴影部分面积等于一个正方形面积的，所以阴影部分的面积＝4×4×＝4（平方厘米）答：两个正方形重叠部分的面积是4平方厘米．故选：C．【点评】考查重叠问题，正方形的性质；把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点．二．填空题（共8小题）11．【分析】A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29，把这三个算式加起来就是A+B+C的2倍，即用27、32、29的和再除以2即可求出A+B+C的和．【解答】解：A+B＝27，B+C＝32，A+C＝29把这三个算式相加可得：A+B+B+C+A+C＝27+32+29（A+B+C）×2＝88那么A+B+C＝88÷2＝44．故答案为：44．【点评】解决本题注意观察算式的特点，找出A+B+C和的2倍，从而解决问题．12．【分析】根据题意，先求出两个铁环连在一起，重叠的部分的长度，再求出8个铁环连在一起，重叠的部分的长度，最后求出8个这样的铁环依此连在一起的长度．【解答】解：两个铁环连在一起重叠的部分的长度是：16×2﹣28＝32﹣28＝4（厘米），8个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4×（8﹣1）＝4×7＝28（厘米），8个这样的铁环依此连在一起的长度：16×8﹣28＝128﹣28＝100（厘米）；n个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4×（n﹣1）＝4n﹣4（厘米），n个铁环连在一起长：16n﹣（4n﹣4）＝16n﹣4n+4＝12n+4（厘米），答：8个这样的铁环依此连在一起长100厘米，n个铁环连在一起长（12n+4）厘米．故答案为：100，（12n+4）．【点评】解答此题的关键是，如何求出重叠部分的长度，再用总长度减去重叠部分的长度就是要求的答案．13．【分析】此题可设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，由长方形周长公式可得大长方形的周长是：[（19+12﹣x）+x]×2，据此解答．【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则长方形的长为（19+12﹣x）厘米，因为正方形的边长等于长方形的宽，因此大长方形的周长是：[（19+12﹣x）+x]×2＝31×2＝62（厘米）；答：大长方形的周长是62厘米．故答案为：62．【点评】此题也可这样理解：（19+12）就是长方形的长和宽的和，由长方形周长公式即可求得大长方形的周长，列式为：（19+12）×2．14．【分析】根据“重叠部分面积占大三角形A的，占小三角形B的，”可得关系式：A的面积×＝B的面积×，依此可求三角形A与三角形B的面积比，进一步求出三角形A的面积．【解答】解：A的面积×＝B的面积×，A的面积：B的面积＝：＝3：2；24×＝36（平方厘米）；答：三角形A与三角形B的面积比为3：2；三角形A的面积是36平方厘米．故答案为：3：2；36．【点评】本题关键是以重叠部分的面积作为中间量，根据分数乘除法的意义列式解答即可．15．【分析】把两根长度都是25厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是25+25厘米，又焊接头长是5厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长25+25﹣5厘米．【解答】解：25+25﹣5＝50﹣5＝45（厘米）答：焊接后的铁条长45厘米．故答案为：45．【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的．16．【分析】图1是1个这样的正方形，其面积是4平方厘米、图2是2个这样的正方形叠放成，其面积是7平方厘米、图3是3个这样的正方形叠放成，其面积是10平方厘米、图4是4个这样的正方形叠放成，其面积是13平方厘米……4、7、10、13……是从首项为4公差为3的等差递增数列．4＝3×1+1、7＝3×2+1、10＝3×3+1、13＝3×4+1……第n 个图由n 个这样的正方形叠放成，其面积是（3n +1）平方厘米．【解答】解：由分析可知，由n 个这样的正方形叠放成的面积是（3n +1）平方厘米．3×8+1＝24+1＝25（平方厘米）答：用八个这样的正方形叠放成的图形的面积是25平方厘米．故答案为：25．【点评】解答此题的关键是根据图形的充数、用这样正方形的个数、叠放而成的面积之间找出规律，这也是难点．然后再根据规律解答．17．【分析】首先由平移的性质可得：S △ABC ＝S △ECF ，AB ＝CE ＝8，继而可得S四边形EDGF ＝S 梯形ABCD ，然后可求得四边形EDGF 的面积．【解答】解：由平移的性质可得：S △ABC ＝S △ECF ，AB ＝CE ＝8，所以：CD ＝CE ﹣DE ＝8﹣3＝5，所以：S 四边形EDGF ＝S 梯形ABCD ，即：（5+8）×5÷2＝13×5÷2＝32.5故答案为：32.5【点评】本题主要考查了平移的性质和梯形的面积公式，本题中找出S四边形EDGF ＝S梯形ABCD是解题关键．18．【分析】把重叠部分的面积看作单位“1”，根据题意，平行四边形A的面积是重叠部分的面积的1÷＝3倍，同理，平行四边形B的面积是重叠部分的面积的5倍，由于A的面积比B的面积少12平方厘米，根据除法的意义可求重叠部分的面积，进一步得到A的面积和B的面积．【解答】解：12÷（1÷﹣1÷）＝12÷（5﹣3）＝12÷2＝6（平方厘米）6÷＝18（平方厘米）6÷＝30（平方厘米）答：A的面积是18平方厘米，B的面积是30平方厘米．故答案为：18，30．【点评】解答此题的关键是把阴影部分的面积看作单位“1”，相应地表示出平行四边形A和B的面积，进而解决问题．三．判断题（共3小题）19．【分析】如果两根木条首尾相接，则一共的长度为100×2＝200厘米，因为有重叠部分，长度变成180厘米，则重叠部分为200﹣180＝20厘米，据此即可解答．【解答】解：100×2﹣180＝200﹣180＝20（厘米）答：中间钉在一起的重叠部分是20厘米．故答案为：√．【点评】此题主要考查重叠问题，关键是明白重叠部分是两块木条原长度和与现长度和的差．20．【分析】10张纸条粘接在一起共有9处重叠，所以每张纸条长（61+9）÷10＝7（厘米）；由此解答．【解答】解：（61+9）÷10＝70÷10＝7（厘米），每张纸条长7厘米，原题说法正确．故答案为：√．【点评】明确10张纸条粘接在一起共有9处重叠，是解答此题的关键．21．【分析】因为每个接头都重叠1厘米，10个纸条有9个接头，也就是重叠了9厘米，然后加上重叠后的长度31厘米，就可得到10个纸条的长度和，再除以张数10，得到每张纸条的长度．【解答】解：[31+1×（10﹣1）]÷10，＝[31+9]÷10，＝40÷10，＝4（厘米）；故答案为：×．【点评】此题解答的关键是弄清10张纸条有9个接头，不要误算成10个接头．四．应用题（共7小题）22．【分析】如图所示，两根竹竿原来的长度和是3+3＝6米，已知重叠部分是1米，即重叠后减少了1米，所以池中水深6﹣1＝5米．【解答】解：3+3﹣1＝5（米）答：池中水深5米．【点评】本题考查了重叠问题，关键是明确重叠部分的长度与总长度之间的关系．23．【分析】用5厘米乘3，求出3根木棒的总长度，再减去重叠的2个5毫米即可．【解答】解：5厘米＝50毫米50×3﹣2×5＝150﹣10＝140（毫米）答：这3根木棒粘在一起140毫米．【点评】解答本题关键是明确接在一起重叠了2个5毫米．24．【分析】因重合的部分面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．【解答】解：9×6﹣5×5＝54﹣25＝29（平方厘米）答：没有重合的阴影部分面积相差29平方厘米．【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．25．【分析】根据题意可知，用两块木板的长度相加﹣重叠部分的长度＝钉成的木板长度，据此列式解答．【解答】解：100+100﹣20＝200﹣20＝180（厘米）答：钉成的木板长180厘米．【点评】本题关键是理解重叠部分减少的是一个20厘米，而不是两个20厘米．26．【分析】因为中间重合部分是4厘米，两块50厘米长的木板拼在一起，原来的总长度是50+50＝100厘米，然后减去重叠部分的4厘米，就是现在这两块木板的总长度，然后转化单位，再比较长短即可．【解答】解：50+50﹣4＝100﹣4＝96（厘米）1米＝100厘米100＞96答：现在两块木板的总长度是96厘米，它们的总长比1米短．【点评】解答此类问题，关键是理解重叠部分的长度、总长度、现在的长度之间的关系．27．【分析】（1）先用16分米乘3求出3根绳子的全长；每两根之间接头处长2分米，那么3根绳子之间有2个接头，就是接头的总长度是2个2分米，再用乘法求出接头的总长度，然后用3根绳子的总长度减去接头的总长度，即可求出结成后的长绳长多少分米；（2）用三根绳子的总长度减去结成后的长度，得出减少的长度，也就是2个接头的总长度，再除以2，即可求出每个接头处长多少分米．【解答】解：（1）16×3＝48（分米）48﹣2×2＝48﹣4＝44（分米）答：结成后的长绳长44分米．（2）（48﹣42）÷2＝6÷2＝3（分米）答：每个接头处长3分米．【点评】解决本题关键是根据植树问题的思考方法，得出3根绳子有2个接头，再根据乘除法的意义进行求解．28．【分析】因重合的部分是公共部分，面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差．然后根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入数据解答即可．【解答】解：2×3﹣2×2＝6﹣4＝2（平方厘米）答：两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米．【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形的面积的差．。

第9章不等式与不等式组一．选择题（共9小题）1．下列为一元一次不等式的是（）A．x+y＞5 B．+3＜2 C．﹣x＝3 D．+≥12．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．3．已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+1＜b+1 B．4a＜4bC．﹣＞﹣b D．如果c＜0，那么＜4．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是2℃～6℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．2℃～3℃B．2℃～8℃C．3℃～6℃D．6℃～8℃6．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（）A．480 B．479 C．448 D．4477．一个篮球队共打12场比赛，其中赢的场数比平的场数要多，平的场数比输的场数要多，则这个篮球队赢了的场数最少为（）A．6 B．5 C．4 D．38．若关于x的不等式3x﹣2m≥0的负整数解为﹣1，﹣2，则m的取值范围是（）A．﹣6≤m＜﹣B．﹣6＜m≤﹣C．﹣≤m＜﹣3 D．﹣＜m≤﹣3 9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120二．填空题（共7小题）10．编出解集为x≥2的一元一次不等式和一元一次不等式组各一个：一元一次不等式为；一元一次不等式组为．11．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为克．12．若|5﹣10x|＝10x﹣5，则x的取值范围是．13．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2+mx＞2成立，则实数m的取值范围是．14．不等式组的非负整数解是．15．不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是．16．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.1]＝1，[3]＝3，[﹣2.2]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是．三．解答题（共6小题）17．解不等式4（x﹣3）+8≥0，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（1）解方程组：（2）求不等式的最大整数解．19．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|+|a+2|；（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？20．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．21．阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如＞0，如何求其解集呢？它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：若a＞0b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0．若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．（1）反之：若＞0，则或，若＜0，则：；（2）根据上述材料，求不等式的解集．22．为了改善我市职工生活环境，完善小区生活配套设施，市政府决定在“综合整治”规划中将200吨水泥，120吨外墙涂料运往我市的A镇，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水泥和外墙涂料全部运出，已知一辆甲种货车可装水泥和外墙涂料各20吨，一辆乙种货车可装水泥40吨和外墙涂料10吨．（1）请你帮忙决定如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到目的地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费960元，乙种货车每辆要付运输费1200元，则应选择哪种方案使运输费最少？最少运费是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下列为一元一次不等式的是（）A．x+y＞5 B．+3＜2 C．﹣x＝3 D．+≥1【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解．【解答】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意；B、未知数在分母位置，故B不符合题意；C、是一元一次方程，故C不符合题意；D、是一元一次不等式，故D符合题意．故选：D．2．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．【解答】解：A选项是一元一次不等式组；B选项中有2个未知数；C选项中最高次项是2；D选项中含有分式，不属于一元一次不等式的范围．故选：A．3．已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+1＜b+1 B．4a＜4bC．﹣＞﹣b D．如果c＜0，那么＜【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．【解答】解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，式子a+1＜b+1成立，故这个选项不符合题意；B、不等式两边同时乘以4，不等号方向不变，式子4a＜4b成立，故这个选项不符合题意；C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，式子﹣a＞﹣b成立，故这个选项不符合题意；D、不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，式子＜不成立，故这个选项符合题意．故选：D．4．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再根据x的取值范围进行选择即可．【解答】解：不等式两边同乘12得：8x﹣3（x﹣5）＞10，去括号，移项，合并同类项得：5x＞﹣5，x系数化为1，得：x＞﹣1故选：C．5．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是2℃～6℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．2℃～3℃B．2℃～8℃C．3℃～6℃D．6℃～8℃【分析】找出甲乙两种蔬菜温度的公共部分即可．【解答】解：∵甲种蔬菜保鲜适宜的温度是2℃～6℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，∴将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是3℃～6℃，故选：C．6．设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（）A．480 B．479 C．448 D．447【分析】根据d＜20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值．【解答】解：∵a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，∴d＝19，c＜4×19＝76，∴c＝75，b＜3×75＝225，∴b＝224，a＜2×224＝448，∴a＝447，故选：D．7．一个篮球队共打12场比赛，其中赢的场数比平的场数要多，平的场数比输的场数要多，则这个篮球队赢了的场数最少为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】设这个篮球队赢了x场，则最多平（x﹣1）场，最多输（x﹣2）场，由该篮球队共打12场比赛，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：设这个篮球队赢了x场，则最多平（x﹣1）场，最多输（x﹣2）场，根据题意得：x+（x﹣1）+（x﹣2）≥12，解得：x≥5．即这个篮球队赢了的场数最少为5场，故选：B．8．若关于x的不等式3x﹣2m≥0的负整数解为﹣1，﹣2，则m的取值范围是（）A．﹣6≤m＜﹣B．﹣6＜m≤﹣C．﹣≤m＜﹣3 D．﹣＜m≤﹣3 【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出m的范围即可．【解答】解：不等式3x﹣2m≥0，解得：x≥m，∵不等式的负整数解只有﹣1，﹣2，∴﹣3＜m≤﹣2，∴﹣＜m≤﹣3．故选：D．9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120【分析】小明答对题的得分：10x；小明答错题的得分：﹣5（20﹣x）．不等关系：小明得分要超过120分．【解答】解：根据题意，得10x﹣5（20﹣x）＞120．故选：C．二．填空题（共7小题）10．编出解集为x≥2的一元一次不等式和一元一次不等式组各一个：一元一次不等式为x ﹣2≥0 ；一元一次不等式组为．【分析】根据一元一次不等式组的求解方法，写出即可．【解答】解：x﹣2≥0；．答案不唯一11．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为不少于1.5 克．【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可．【解答】解：∵某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，∴蛋白质含量的最小值＝300×0.5%＝1.5克，∴白质的含量不少于1.5克．故答案是：不少于1.512．若|5﹣10x|＝10x﹣5，则x的取值范围是x≥．【分析】先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再求出x的取值范围即可．【解答】解：∵|5﹣10x|＝10x﹣5，∴5﹣10x≤0，解得x≥．故答案为：x≥．13．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2+mx＞2成立，则实数m的取值范围是m≥4 ．【分析】2x3﹣x2+mx＞2转化为2x3﹣x2＞﹣mx+2，则可以看做函数y＝2x3﹣x2与函数y ＝﹣mx+2的关系，由已知可得0＜2x3﹣x2≤1，所以只需﹣m+2≤0即可．【解答】解：2x3﹣x2+mx＞2转化为2x3﹣x2＞﹣mx+2，则可以看做函数y＝2x3﹣x2与函数y＝﹣mx+2的关系，∵＜x≤1，∴0＜2x3﹣x2≤1，要使2x3﹣x2＞﹣mx+2在＜x≤1的任意实数x成立，∴﹣m+2≤0，∴m≥4，故答案为m≥4．14．不等式组的非负整数解是2、1、0 ．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出解集内的整数值即可．【解答】解：，由①得，x＜3；由②得，x≥﹣1，∴不等式组的解集为：3＞x≥﹣1；∴不等式组的非负整数解为：2、1、0．15．不等式组有2个整数解，则实数a的取值范围是8≤a＜13 ．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式3x﹣5＞1，得：x＞2，解不等式5x﹣a≤12，得：x≤，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4≤＜5，解得：8≤a＜13，故答案为：8≤a＜13．16．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.1]＝1，[3]＝3，[﹣2.2]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是11≤x＜14 ．【分析】根据对于实数x我们规定[x]不大于x最大整数，可得答案．【解答】解：由[]＝5，得，解得11≤x＜14，故答案为11≤x＜14．三．解答题（共6小题）17．解不等式4（x﹣3）+8≥0，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：4（x﹣3）+8≥0，4x﹣12+8≥0，4x≥﹣8+12，4x≥4，x≥1，在数轴上表示为：．18．（1）解方程组：（2）求不等式的最大整数解．【分析】（1）把①代入②得到两个关于y的一次方程，求出y的值，最后把y的值代入①，求出x的值即可；（2）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，找出解集中的最大整数解即可．【解答】解：（1），把①代入②得：2（3y+2）+y＝18解得：y＝2把y＝2入①得：x＝8则原方程组的解是：；（2）去分母得：4x﹣2﹣6＜3x+12，移项合并得：x＜20，则不等式的最大整数解为19．19．已知方程组的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a﹣3|+|a+2|；（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1？【分析】（1）求出不等式组的解集即可得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可；（2）根据a的范围去掉绝对值符号，即可得出答案；（3）求出a＜﹣，根据a的范围即可得出答案．【解答】解：（1）∵①+②得：2x＝﹣6+2a，x＝﹣3+a，①﹣②得：2y＝﹣8﹣4a，y＝﹣4﹣2a，∵方程组的解x为非正数，y为负数，∴﹣3+a≤0且﹣4﹣2a＜0，解得：﹣2＜a≤3；（2）∵﹣2＜a≤3，∴|a﹣3|+|a+2|＝3﹣a+a+2＝5；（3）2ax+x＞2a+1，（2a+1）x＞2a+1，∵不等式的解为x＜1∴2a+1＜0，∴a＜﹣，∵﹣2＜a≤3，∴a的值是﹣1，∴当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1．20．是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．【解答】解：解方程组得∵x大于1，y不大于1从而得不等式组解之得2＜k≤5又∵k为整数∴k只能取3，4，5答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．21．阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如＞0，如何求其解集呢？它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：若a＞0b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0．若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．（1）反之：若＞0，则或，若＜0，则：或；（2）根据上述材料，求不等式的解集．【分析】（1）根据有理数除法法则求解可得；（2）根据题意列出不等式组，解之可得．【解答】解：（1）若＜0，则或，故答案为：或；（2）由题意知①或②，解不等式组①得该不等式组无解；解不等式组②得﹣1＜x≤3．22．为了改善我市职工生活环境，完善小区生活配套设施，市政府决定在“综合整治”规划中将200吨水泥，120吨外墙涂料运往我市的A镇，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水泥和外墙涂料全部运出，已知一辆甲种货车可装水泥和外墙涂料各20吨，一辆乙种货车可装水泥40吨和外墙涂料10吨．（1）请你帮忙决定如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到目的地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费960元，乙种货车每辆要付运输费1200元，则应选择哪种方案使运输费最少？最少运费是多少？【分析】（1）设安排甲货车x辆，乙货车（8﹣x）辆，根据题意列出不等式组，进而解答即可；（2）根据（1）得出三种方案的费用，进而比较即可．【解答】解：（1）设安排甲货车x辆，乙货车（8﹣x）辆，由题意得：，解得4≤x≤6，又x为整数，所以x为4，5，6，有三种方案．方案一：甲货车4辆，乙货车4辆．方案二：甲货车5辆，乙货车3辆．方案三：甲货车6辆，乙货车2辆；（2）三种方案费用：方案一：4×960+4×1200＝8640（元）．方案二：5×960+3×1200＝8400（元）．方案三：6×960+2×1200＝8160（元）8640＞8400＞8160 答：王老板应选择方案三使运输费最少，最少运费是8160元．。

B D
2.如图所示,A、B 两物体静止在水中,下列说法正确的是（ ）A.两物体受到的浮力一定相等B.两物体受到的浮力不等,A 物体受到的浮力大 C.两物体的密度不等,B 物体 的密度大D.两物体的重力不等,B 物体的重力大
潜水艇
热气球
密度计
F浮= G物
ρ 液= ρ物
F浮= G物
ρ 液> ρ物
Hale Waihona Puke 1.（多选）如图所示,用同一支密度计测定不同液体的密度,下列叙述正确的是（ ） A.密度计漂浮得越高,所受的浮力越大 B.密度计漂浮在不同液体中,所受的浮 力都相等 C.密度计排开液体体积越大,液体密度 越大 D.密度计漂浮得越高,液体密度越大
迷你实验室1 物体会停在哪个液面？
1.把糖浆、水及油沿汤匙注入玻璃杯中,由于密度不同,液体会分成三层.
2.把蜡块、橡皮、瓶塞、鸡蛋等放入杯中,观察它们分别位于哪一层液面上？你能说出原因吗？
迷你实验室2 橡皮泥为什么能漂浮？
如图（a）所示,取一杯清水和一块橡皮泥,将橡皮泥揉成小球轻轻放入水中,橡皮泥小球会如何运动？如图（b）所示,如果将橡皮泥小球捏成小船轻轻放在水面上呢？你能解释观察到的现象吗？
观光潜水艇能让游客欣赏到神秘的海底景观
工作原理：靠空气浮力升空.
热气球是通过加热空气或某些密度比空气小的气体,以获得较大的浮力来升空的.
热气球
我国在汉武帝时,就利用质地极轻的材料做成薄壳灯笼.当在其下面点燃烛火后,灯笼便会腾空而起,这就是历史上最早的热气球.
据史籍记载,900多年钱,真定县僧人怀丙曾“打捞”起沉落江中的万斤大铁牛.他创造了浮力起重法,这一方法一直沿用至今.
浮船打捞
浮筒绑在沉船两侧时使整体体积增大,总的浮力增大,排出浮筒中的水,浮筒的重力减小,当浮力大于重力时沉船上浮.

章末检测试卷四(第九章)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本量答案 C解析总体是这批零件的长度，个体是这批零件中每个零件的长度，样本是抽取的200个零件的长度，样本量是200.2．①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m 接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为()A．分层随机抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，简单随机抽样C．简单随机抽样，分层随机抽样D．分层随机抽样，分层随机抽样答案 A解析①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为()A．20 B．30 C．40 D．50答案 B解析样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.4．某校高二年级有50人参加2021“希望杯”数学竞赛，他们竞赛的成绩制成了如下的频率分布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成绩的平均分为( )分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频率0.20.40.30.1A.70 B ．73 C ．78 D ．81.5 答案 C解析 估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x ＝65×0.2＋75×0.4＋85×0.3＋95×0.1＝78，故选C.5．我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人 C ．112人 D ．120人 答案 B解析 由题意可知，这是一个分层随机抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 10022 500＝108，故选B.6．如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018答案 D解析 由题图可知纵坐标表示频率组距.故x ＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006 ＝0.018.7．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.x，s2＋1002B.x＋100，s2＋1002C.x，s2D.x＋100，s2答案 D解析方法一因为每个数据都加上100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变．方法二由题意知x1＋x2＋…＋x10＝10x，s2＝110[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x10－x)2]，则所求平均数y＝110[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝110(10x＋10×100)＝x＋100.而所求方差t2＝110[(x1＋100－y)2＋(x2＋100－y)2＋…＋(x10＋100－y)2]＝110[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x10－x)2]＝s2.8．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1答案 B解析体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际冠军杯中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的是()A．甲队技术比乙队好B．甲队发挥比乙队稳定C．乙队几乎每场都进球D．甲队的表现时好时坏答案ACD解析因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，A正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，B错误；乙队平均每场进球数为1.8，且乙队全年进球数的标准差较小，所以乙队几乎每场都进球，C正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，D正确．10．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案BCD解析对于选项A，由图易知，月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．11．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的学生有60人，则下列说法正确的是()A．样本中支出在[50,60]元的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数有132C．n的值为200D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60]元答案BC解析由频率分布直方图得，在A中，样本中支出在[50,60]元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；在B中，样本中支出不少于40元的人数有600.3×0.36＋60＝132，故B正确；＝200，故n的值为200，故C正确；在C中，n＝600.3在D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60]元，故D错误．12．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18,20,35,33,47,41；乙：17,26,19,27,19,29.则下列四个结论中，正确的是()A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定答案ABC解析对于A，甲运动员得分的极差为47－18＝29，乙运动员得分的极差为29－17＝12，甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确；对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是33,35，所以甲运动员得分的中位数是34，同理求得乙运动员得分的中位数是22.5，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；对于C，甲运动员得分的平均数为18＋20＋35＋33＋47＋416≈32.33，乙运动员得分的平均数为17＋19＋19＋26＋27＋296≈22.83，因此甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数，故C正确；对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为s2甲≈109.22，乙的方差为s2乙≈21.47，因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下表：赞成改革不赞成改革无所谓教师1202040学生15040130现从500名师生中用分层随机抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数分别为________．答案2,4解析由题意知，抽样比为50500＝1 10，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为110×20＝2，学生人数为110×40＝4.14．如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________分．答案75解析利用组中值估算平均分，则有x＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75分．15．数据3.2,3.6,4.5,2.4,4.6,6.4,7.8,7.9,8.0,8.1，8.4，8.6的50%分位数是________，75%分位数是________．答案7.18.05解析 把这组数据从小到大排列得2.4,3.2,3.6,4.5，4.6，6.4,7.8,7.9,8.0，8.1，8.4,8.6， ∵12×50%＝6,12×75%＝9， ∴这组数据的50%分位数是6.4＋7.82＝7.1， 75%分位数是8.0＋8.12＝8.05.16．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．若该组数的平均数、众数、中位数依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a <b ＝c 解析 依题意有次数 0次 1次 2次 3次 4次 人数7人13人17人10人3人共统计了50人，众数为2，中位数为2，∴平均数为0×7＋13×1＋17×2＋10×3＋3×450＝8950<2，∴a <b ＝c .四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)为了对某课题进行讨论研究，用分层随机抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．高校 相关人数抽取人数A x 1B 36 y C543(1)求x ，y ；(2)若从高校B 相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法？请写出合理的抽样过程． 解 (1)分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有1x ＝354⇒x ＝18，y 36＝354⇒y ＝2.故x ＝18，y ＝2. (2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1,2,3， (36)第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人选出，即可得到所要的样本．18．(12分)某公司共有员工120人，用简单随机抽样任意抽取12人，得到这12人的月工资(单位：千元)如下：7．5,6.8,8.6,6.2,7.8,8.9,7.8,8.0,8.5,8.2,7.2,8.0，试估计该公司员工工资的25%,50%,90%分位数． 解 将所有数据从小到大排列，得6．2,6.8,7.2,7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.5,8.6,8.9， 因为有12个数据，所以12×25%＝3,12×50%＝6,12×90%＝10.8. 所以25%分位数为7.2＋7.52＝7.35，50%分位数为7.8＋8.02＝7.9，90%分位数为8.6.所以估计该公司员工工资的25%,50%,90%分位数分别为7.35，7.9,8.6.19．(12分)如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内的频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率；(2)求样本容量；(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数． 解 由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于475×3＝425.(2)∵样本在[15,18)内的频数为8，由(1)可知，样本容量为8425＝8×254＝50.(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，故样本在[12,15)内的频率为0.06，故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，又在[15,18)内的频数为8，故在[18,33)内的频数为47－8＝39. 20．(12分)甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局，每局在指定线外投篮，若第一次不进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次．当投进时，该局结束，并记下投篮的次数．若6次投不进，该局也结束，记为“×”．第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三次投进得4分，依此类推，第6次投不进，得0分．两人的投篮情况如下：请通过计算，判断哪位同学投篮的水平高． 解 依题意，甲、乙的得分情况如下表：x甲＝15×(2＋0＋3＋2＋6)＝2.6， s 甲＝15×[(－0.6)2＋(－2.6)2＋0.42＋(－0.6)2＋3.42] ≈1.96， x乙＝15×(0＋5＋3＋5＋0)＝2.6， s 乙＝15×[(－2.6)2＋2.42＋0.42＋2.42＋(－2.6)2]≈2.24，因为甲得分的平均数与乙得分的平均数相等．甲得分的标准差小于乙得分的标准差，甲投篮得分比乙稳定，故甲投篮的水平高．21．(12分)已知一组数据：125121123125127129125128130129 126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解(1)频率分布表如下：分组频数频率[121,123)20.10[123,125)30.15[125,127)80.40[127,129)40.20[129,131]30.15合计20 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25， 事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数： x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为x ＝125.75.22．(12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19.(1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)在(2)中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是40 kg,50 kg ，60 kg ，方差分别是1,2,3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． 解 (1)∵x 2 000＝0.19，∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12. (3)初一年级应抽取学生的人数为482 000×750＝18， 初二年级应抽取学生的人数为482 000×750＝18， ∴该校所有学生体重的平均数约为x ＝1848×40＋1848×50＋1248×60＝48.75(kg)， 该校所有学生体重的方差约为s 2＝1848×[1＋(40－48.75)2]＋1848×[2＋(50－48.75)2]＋1248×[3＋(60－48.75)2] ＝62.812 5.。