线性代数51向量组规范正交化共24页

1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
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2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1

a2
c2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
br
ar
b1 , ar b1 , b1
b1
b2 , ar b2 , b2
b2
br1 , ar br1 , br1
br 1
故 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基．
0
x3
定义 设 n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V ( V Rn)
的一个基，如果
✓ e1, e2, …, er 两两正交；
✓ e1, e2, …, er 都是单位向量，
则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
例
1 0 0 0
e1
0 0
,
e2
1 0
因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1
1
例
已知3维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
解 设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
1
1 e3 || b3 || b3
1 2
0 1
,
e3
0 1,e4000
0
0
1
是 R4 的一个规范正交基．
1 2 1 2 0 0
e1
1
0
2

1+1+1+1
= (0,−2,−1,3)
β3
=
α3
−
(β1,α3 ) (β1, β1)
β1
−
(β2 ,α3 ) (β2, β2)
β2
= (3,5,1, −1) − 8 (1,1,1,1) − −14 (0, −2, −1,3) = (1,1, −2, 0)
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1 =
⎜⎛ 1 ⎟⎞
α2 = ⎜− 2⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
正交，试求 α 3使 α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基.
解: 设α3 = ( x1, x2 , x3 )T ≠ 0,且分别与α1,α2正交.
则有 (α1,α 3 ) = (α 2 ,α 3 ) = 0
即
{ (α1,α3) = x1 + x2 + x3 = 0
向量组的正交性
一、向量的内积：
1.定义1：设有向量α = ( a1,a 2 , , a n ) β = ( b1,b2 , , bn )
a1b1 + a2b2 + + anbn 称为向量 α 与β 的内积，记为（ α，β ）。
（α，β ）= a1b1 + a2b2 + + anbn
(i) （α，β ）= αβ T (ii) （α，β ）=（β，α )
(iii) （kα, β ）= k(α，β ) =（α, kβ ）
(iv) （α + β ,γ ）= (α，γ ) +（β ,γ ） (v) （α，α ）= a12 + a22 + + an2 = α 2
2.向量的单位化

Nhomakorabea谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
线性代数51向量组规范正交化 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。