线性代数51向量组规范正交化共26页文档

1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1

b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .

x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1

规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量组中的任意两个向量的内积为0。

在实际应用中，正交向量组具有很多优势，比如可以简化计算、提高计算精度、优化算法等。

为了更好地理解和应用正交向量组，本文将介绍正交向量组的定义、性质，以及如何构造和判定正交向量组。

首先，我们来定义正交向量组。

设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果这n个向量两两正交（即任意两个向量的内积为0），则称这n个向量为正交向量组。

同时，如果这n个向量都是非零向量，且彼此互不共线，则称这n个向量为规范正交向量组。

接下来，我们来看一些正交向量组的性质。

首先，如果一个向量组是正交向量组，则它的所有向量都是线性无关的。

这是因为如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则它和其他向量的内积也应该为0，这与正交向量组的定义相矛盾。

因此，正交向量组是线性无关的。

其次，一个向量组可以通过正交化处理来得到一个正交向量组。

正交化的方法有很多种，其中最常用的就是施密特正交化方法。

施密特正交化方法的基本思想是从第一个向量开始，每次将向量减去它在前面所有向量上的投影，得到一个新的向量，然后对新的向量进行归一化处理，使其成为单位向量。

按照这种方法可以得到一个规范正交向量组。

最后，我们来讨论如何判定一个向量组是否为正交向量组。

判定的方法非常简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积，如果所有内积都为0，则向量组是正交向量组。

需要注意的是，判定正交向量组时，要确保向量组中的向量都是非零向量，否则可能会出现内积为0的情况。

总结起来，正交向量组是指一个向量组中任意两个向量的内积为0的向量组。

规范正交向量组是指一个非零向量组中所有向量两两正交且彼此互不共线的向量组。

正交向量组具有很多优势，如简化计算、提高计算精度、优化算法等。

正交向量组的判定方法很简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积是否为0即可。

对于给定的向量组，可以通过正交化处理得到一个正交向量组。

一、向量的内积
内积可用矩阵记号表示 : 为
x, y xT y.
2 向量的内积是几何中向量数量积的推广，但是n(n>3) 维向量内积没有直观的几何意义． 向量的数量积：x y ( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn ) x1 y1 x2 y2 xn yn
单位向量 e1 , , er , 规范正交基即要找一组两两正交的 , 使 e1 , , er 与 1 , , r 等价. 1 , , r 规范正交化方法 : 1 1 ; 2 2 [ 2 , 1 ] 1 （1）正交化，取 [ 1 , 1 ] [ 3 , 1 ] [ 3 , 2 ] 3 3 1 2 ,, [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r , 1 ] [ r , 2 ] [ r , r 1 ] r r 1 2 r 1 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r 1 ]
2内积有以下性质： (其中 x , y , z 为 n 维向量, 为实数 ) : (ii) [x, y] [ x, y] [ x, y] ; (i ) [ x, y] [ y, x] ;
(iii) [ x y, z ] [ x, z ] [ y, z ] ;
( iv ) 当 x 0 时 , [ x , x ] 0 ;
例3
T 解 a2 , a3 应满足方程a1 x 0 , 即 x1 x2 x3 0 . 1 0 把基础解系正交化 , 它的基础解系为 1 0 , 2 1 , 即为所求 , 亦即取 1 1 [1 , 2 ] 1 0 1 1 a2 1 , a3 2 1 , 得 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . [1 ,1 ] 1 1 2 1 2 1 其中 [1 , 2 ] 1 , [1 , 1 ] 2,

向量标准正交化在线性代数中，向量的正交化是一种重要的概念，它可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。

在本文中，我们将介绍向量的标准正交化方法，以及其在实际问题中的应用。

首先，让我们来了解一下什么是向量的正交化。

在数学中，两个非零向量的内积为0时，我们称它们是正交的。

而当一组向量两两正交，并且它们的模长都为1时，我们称这组向量是标准正交的。

标准正交化就是将给定的向量组变换成一组标准正交向量组的过程。

接下来，我们将介绍一种常用的向量标准正交化方法——施密特正交化方法。

假设我们有n个线性无关的向量组成的向量组{v1,v2, ..., vn}，我们要将它们正交化，得到一组标准正交向量组{u1, u2, ..., un}。

施密特正交化的具体步骤如下：1. 选取第一个向量v1作为u1，即u1=v1/||v1||，其中||v1||表示向量v1的模长。

2. 对于第i个向量vi，我们依次计算出它与前面所有向量u1, u2, ..., ui-1的内积，并将这些内积分别减去。

然后将vi与这些差值向量做线性组合，得到vi的正交分量，即ui=vi-∑(vi·uj)uj，其中uj表示前面已经得到的正交向量。

3. 最后，我们将得到的正交向量进行标准化，即ui=ui/||ui||，得到标准正交向量组。

施密特正交化方法是一种简单而有效的向量正交化方法，它可以帮助我们将任意向量组变换成一组标准正交向量组，从而更方便地进行向量运算和分析。

除了施密特正交化方法外，我们还可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行向量的标准正交化。

通过对称矩阵的特征值分解，我们可以得到一组标准正交向量组，这为我们在实际问题中的应用提供了更多的选择。

在实际问题中，向量的标准正交化方法有着广泛的应用。

例如在信号处理中，我们常常需要将信号向量进行正交化，以便更好地分析和处理信号；在机器学习中，正交化可以帮助我们简化特征空间，提高模型的泛化能力；在物理学中，正交化可以帮助我们分解复杂的力和运动，从而更好地理解物理现象。

x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1

向量组正交正交是线性代数中一个重要的概念，它在数学和工程学科中具有广泛的应用。

在线性代数中，我们学习了向量的基本性质和运算规则，而正交向量组则是其中一个非常重要且有特殊性质的向量组。

什么是正交向量组呢？正交向量组是指向量组中的任意两个向量的内积为零，也就是说它们彼此垂直，没有共线的成分。

简单来说，如果我们有一个向量组，其中的所有向量两两之间的内积都是零，那么这个向量组就是正交的。

正交向量组的概念可以通过一个具体的例子更好地理解。

假设我们有一个三维空间中的向量组，其中包含三个向量：a、b和c。

如果我们发现向量a与向量b的内积为零，向量a与向量c的内积也为零，以及向量b与向量c的内积也为零，那么这个向量组就是正交的。

正交向量组的重要性体现在它可以用来表示向量空间中的任意一个向量。

正交向量组具有一些特殊的性质，例如线性无关性和维度削减等。

理解正交向量组的概念，对于理解线性代数中的其他重要概念和定理非常有帮助。

在实际应用中，正交向量组有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以利用正交向量组来表示物体在三维空间中的位置和方向；在工程学中，我们可以利用正交向量组来描述复杂系统的状态和性质等。

正交向量组也在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中得到了广泛的应用。

如何生成正交向量组呢？在数学中，我们可以通过正交化过程来生成正交向量组。

正交化的基本思想是从一个任意的向量组出发，通过一系列的操作使得新得到的向量组是正交的。

例如，我们可以利用施密特正交化方法，将一个给定的向量组转化为正交向量组。

最后，正交向量组在解决实际问题中有着重要的指导意义。

通过研究正交向量组的性质和应用，我们可以更好地理解和应用线性代数中的相关概念和方法。

正交向量组不仅是数学的重要研究对象，也是工程技术中不可或缺的工具。

正交向量组的概念和应用将会给我们带来更加广阔的视野和思考空间。

让我们一起深入探索正交向量组的奥秘吧！。

− 1 1 b2 = e2 = 1 , 3 b2 1
b3 e3 = b3
1 1 = 0 . 2 1
e1 , e 2 , e 3即合所求 .
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1 例3 已知 a 1 = 1 , 求一组非零向量 a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交 .
[ei , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1, 2, 3,4. 由于 [ei , ei ] = 1, i = 1, 2, 3,4.
所以 e1 , e2 , e 3 , e4为R 4的一个规范正交基 .
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同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
的一个规范正交基. 就得 V 的一个规范正交基 上述从线性无关向量组 a1 , ··· , ar 导出正交 向量组 b1 , ··· , br 的过程称为施密特(Schimidt) 施密特(Schimidt)
正交化过程. 它不仅满足 b1 , ··· , br 与 a1, ··· , ar
等价, 等价 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , ··· , bk 与 a1 , ··· , ak 等价 等价.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xn yn , [x, y] 称为向 [x 量 x 与 y 的内积. 记作： 记作： [x, y] = xTy .
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二、内积的性质

y1 a11 x1 a12 x2 a1 nx n , y2 a21 x1 a22 x2 a2 nx n ,
ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
之间的
表示一个从变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 线性变换， 其中aij 为常数.
b1
(b2 (b2
, ,
a3 b2
) )
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
a2
a2－b1 b2
b1 c2
令 c2 为 a2 在 b1 上的投影，则 c2 = b1 ， 若令 b2 = a2 － c2 = a2 － b1 ，则 b1⊥b2 ． 下面确定 的值．因为
0 (b2 , b1 ) (a2 b1, b1 ) (a2 , b1 ) (b1, b1 )
biT bj
1, 0,
i j i j
(i, j 1, 2,, n)
定义5.1.5：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的标准正交基．
n 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向 量，且两两正交． 即 A 的行向量组构成Rn 的标准正交基.
正交矩阵具有下列性质：(定理5.1.3) ü 若 A 是正交阵，则AT （即A−1 ）也是正交阵， ü |A| = 1 或－1; ü 若 A 和B是正交阵，则 AB 也是正交阵． 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．
AT
A
a1T

规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍正交向量组的概念、性质、判定方法以及一些相关的定理和应用。

正交向量组的概念：正交向量组是指向量组中的任意两个向量都是正交的（即内积为0），且每个向量都不为零向量。

如果一个向量组中的所有向量都两两正交，则称为正交向量组。

正交向量组的性质：1. 正交向量组中的向量线性无关。

2. 正交向量组中的向量的模长相等时，称为标准正交向量组。

3. 标准正交向量组是正交向量组的一种特殊情况。

判断正交向量组的方法：1. 检查向量组中任意两个向量的内积是否为0。

2. 检查向量组中的每个向量是否非零向量。

正交向量组的推论：1. 一个非零向量组是正交向量组的充分必要条件是它是线性无关的。

2. 若向量组V={v1,v2,…,vn}是标准正交向量组，则V是线性无关的。

正交向量组的定理和应用：1. 施密特正交化定理：对于任意一个线性无关的向量组，可以通过施密特正交化得到一个标准正交向量组。

2. 正交矩阵：如果一个方阵的行向量（或列向量）构成的向量组是正交向量组，则该方阵称为正交矩阵。

3. 最小二乘法：在线性回归分析中，最小二乘法是用来估计回归系数的方法，它的基本思想是求解一个正交向量组的线性组合，使得该线性组合与实际观测值之间的残差平方和最小。

正交向量组在许多领域中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中，正交向量组用于描述力的方向和力的分解。

2. 信号处理中，正交向量组用于信号的分解和压缩。

3. 图像处理中，正交向量组用于图像的变换和编码。

4. 数学中，正交向量组用于向量空间的基和坐标。

总结起来，正交向量组是一种重要的向量组形式，具有许多有用的性质和应用。

理解和掌握正交向量组的概念、性质、判定方法以及相关的定理和应用对于学习线性代数和应用数学具有重要意义。

向量组正交化一、概念解析向量组正交化是线性代数中常见的一种处理方式，它可以将一个线性无关的向量组变成一个正交的向量组或者标准正交基。

这种处理方式可以使得向量组更易于计算和使用，同时还能在一定程度上提高计算精度。

二、正交化方法1.施密特正交化法施密特正交化法是最常用的一种向量组正交化方法。

该方法的基本思想是：从第一个向量开始，每次将当前向量与前面所有已经处理过的向量做内积运算，然后将其与前面所有已经处理过的向量做线性组合，得到一个新的与前面所有向量都垂直的向量，并将其归一化为单位长度。

这样就得到了一个新的正交基。

2.格拉姆-施密特正交化法格拉姆-施密特正交化法是施密特正交化法的改进版。

它采用了递归迭代和矩阵运算等高级技术，能够更加快速地完成向量组的正交化。

该方法通过构造一个单位列阵Q和上三角矩阵R来实现对原始矩阵A进行QR分解，并将Q矩阵作为标准正交基。

三、应用场景向量组正交化方法广泛应用于线性代数的各个领域，如矩阵分解、最小二乘法、特征值计算等。

在图像处理、信号处理和机器学习等领域中，使用向量组正交化方法可以大大提高计算效率和精度。

四、注意事项1.向量组必须是线性无关的，否则无法进行正交化。

2.在施密特正交化法中，由于每次都要对前面所有向量进行内积运算，因此误差会不断累积。

为了避免这种情况，可以在每次计算后将新得到的向量与前面所有向量重新做一次正交化。

3.在格拉姆-施密特正交化法中，由于使用了矩阵运算和QR分解等高级技术，因此需要一定的数学基础才能理解和使用。

五、总结向量组正交化是一种常见的线性代数处理方式，可以将一个线性无关的向量组变成一个更易于计算和使用的正交基。

常用的两种方法是施密特正交化法和格拉姆-施密特正交化法。

该方法广泛应用于矩阵分解、最小二乘法、特征值计算等领域，并在图像处理、信号处理和机器学习等领域中发挥着重要作用。

在使用时需要注意向量组的线性无关性、误差累积和数学基础等问题。

e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0 0 0 1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基
第一步：正交化——施密特正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
b1 , a2 b1 , b1
,
a3
1
，试用施密特正交化
1
1
0
过程把这组向量规范正交化．
解：第一步正交化，取
b1 a1
1 1 1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
3 1
4 6
21
5 3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
b1 , a3 b1 , b1
b1
b2 , a3 b2 , b2
向量的正交性
1、内积 正交向量集 2、最小二乘解 正交原理
1、内积 正交向量集
定义 对Rn空间的向量 a,b,
a1 b1
a
,
b
,
an bn
n
称数 aibi 为a,b的内积，即
i 1
n
a, b aibi aTb
i 1
常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，
带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间.
定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交 向量组．
定理 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
证明 设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2

b1
an


b2


Байду номын сангаас
T

.

bn

3
２、性质
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1


0 1

,
2


11 .
19
1
1
0
令
1


11
,
2
1


0 1

,
3
2


11
.
1）正交化
1
1
令
1
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝(1,2 , ,n ), 则AT A E

可表示为
1T

T 2


1
2
1

n


E


1
,


T n


1

亦即 (iT j )nn ( ij )nn
其中
( ij )nn
6、规范正交基
若规范正交组 1, 2 , , r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 , , r 为向量空间Ｖ上的一个规范正交基.
13
7、施密特（Schmidt）正交化法
设 1,2 , ,r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单

(a m , bm1 ) b m1 ( b m1 , b m1 )
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性 表示.
《线性代数》 返回 下页 结束
②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1 a1 (a 2 , b1 ) (a 2 , b1 ) b2 a 2 b1 a 2 a1 ( b1 , b1 ) ( b1 , b1 ) (a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a m , b1 ) (a m , b2 ) bm a m b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向
量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
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例1．已知向量组a1(1,1,1,1)T, a2(3,3,-1,-1)T, a3(-2, 0, 6, 8)T,
线性无关，试将它们正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
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(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) (a 2 , b1 ) a3 a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 ) (a m , b1 ) (a m , b 2 ) (a 2 , b1 ) bm a m a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 )

3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
三、正交向量组的概念及 求法
１ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交.
由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量都 是单位向量且两两正交．
证明 AAT E
a11
a21
a12
a22
a1n a11 a2n a12
a21
a22
an1 an2
E
an1 an2 ann a1n a2n ann
1
2
T 1
,
T 2
,,
T n
E
n
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
若 e1,e2 er 是规范正交基， 则
e e e
11
22
rr
其中
e i eiT [,
]
i
６ 求规范正交基的方法

1+1+1+1
= (0,−2,−1,3)
β3
=
α3
−
(β1,α3 ) (β1, β1)
β1
−
(β2 ,α3 ) (β2, β2)
β2
= (3,5,1, −1) − 8 (1,1,1,1) − −14 (0, −2, −1,3) = (1,1, −2, 0)
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1 =
⎜⎛ 1 ⎟⎞
α2 = ⎜− 2⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
正交，试求 α 3使 α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基.
解: 设α3 = ( x1, x2 , x3 )T ≠ 0,且分别与α1,α2正交.
则有 (α1,α 3 ) = (α 2 ,α 3 ) = 0
即
{ (α1,α3) = x1 + x2 + x3 = 0
向量组的正交性
一、向量的内积：
1.定义1：设有向量α = ( a1,a 2 , , a n ) β = ( b1,b2 , , bn )
a1b1 + a2b2 + + anbn 称为向量 α 与β 的内积，记为（ α，β ）。
（α，β ）= a1b1 + a2b2 + + anbn
(i) （α，β ）= αβ T (ii) （α，β ）=（β，α )
(iii) （kα, β ）= k(α，β ) =（α, kβ ）
(iv) （α + β ,γ ）= (α，γ ) +（β ,γ ） (v) （α，α ）= a12 + a22 + + an2 = α 2
2.向量的单位化