第4讲 二次函数与幂函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．二次函数y ＝－x2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 A2．(2014·郑州检测)若函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B ．在(－∞，3)上递增C ．在[1,3]上递增D ．单调性不能确定解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．答案 A3．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )A ．5－a ＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝xa 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a.答案 B4．(2015·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于( )A ．－b 2aB ．－b aC ．c D.4ac －b24a解析 ∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x1＋x2＝－b a. ∴f(x1＋x2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a·b2a2－b·b a＋c ＝c. 答案 C5．(2014·山东师大附中期中)“a ＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析 函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴 －－4a 2＝2a≤2，即a≤1，所以“a ＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案 B二、填空题6．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．答案 y ＝12(x －2)2－1 7．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝xα的图象不可能经过第________象限． 解析 当α＝－1、1、3时，y ＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝xα的图象经过第一象限．答案 二、四8．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0 三、解答题9．已知函数f(x)＝－x2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 函数f(x)＝－x2＋2ax ＋1－a＝－(x －a)2＋a2－a ＋1，对称轴为x ＝a.(1)当a ＜0时，f(x)max ＝f(0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max ＝a2－a ＋1，∴a2－a ＋1＝2，∴a2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)． (3)当a ＞1时，f(x)max ＝f(1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．(2014·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f(x)(x ∈R)的增区间；(2)写出函数f(x)(x ∈R)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x ， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x ＞0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－2x x ＞0，x2＋2x x≤0.(3)g(x)＝x2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a ＋1)＝－a2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g(2)＝2－4a 为最小值．综上，g(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a a≤0，－a2－2a ＋1 0＜a≤1，2－4a a ＞1.能力提升题组(建议用时：35分钟)11．已知函数f(x)＝mx2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 用特殊值法．令m ＝0，由f(x)＝0得x ＝13适合，排除A ，B.令m ＝1，由f(x)＝0得x ＝1适合，排除C.答案 D12．(2014·杭州名校联考)已知函数f(x)＝ax2＋2ax ＋b(1＜a ＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a ，则下列说法正确的是( )A ．f(x1)＜f(x2)B ．f(x1)＞f(x2)C ．f(x1)＝f(x2)D ．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析 f(x)的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3，则－2＜1－a ＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，不满足x1＋x2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x1＜－1，x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)， 此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)． 答案 A13．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x ＞0时均有x2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.(2)当a ＜1时，∵x ＞0，∴(a －1)x －1＜0，不等式可化为：x ＞0时均有x2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立，∴a ＜1不成立．(3)当a ＞1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)，∵a ＞1，∴f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f(x)＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f(x)＞0.又∵二次函数g(x)＝x2－ax －1的对称轴为x ＝a 2＞0，则只需g(x)＝x2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32. 答案 3214．(2015·嘉兴高三联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x>0，－f x ，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f(x)＝(x ＋1)2.∴F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x>0，－x ＋12，x<0. ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋bx ，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2. ∴－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．15．(2015·温州模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f(0)·f(1)>0.(1)求证：－2<b a<－1； (2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．(1)证明 当a ＝0时，f(0)＝c ，f(1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b ＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a ＋2b ＋c)＝－(a ＋b)(2a ＋b)>0即⎝⎛⎭⎫b a ＋1⎝⎛⎭⎫b a ＋2<0，从而－2<b a<－1. (2)解 x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－2b 3a ，x1x2＝－a ＋b 3a， 那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝⎝⎛⎭⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝⎛⎭⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x1－x2)2<49， ∴33≤|x1－x2|<23，即|x1－x2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
幂函数与二次函数目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：幂函数 (4)知识点2：二次函数 (5)解题方法总结 (7)题型一：幂函数的定义及其图像 (10)题型二：幂函数性质的综合应用 (12)题型三：由幂函数的单调性比较大小 (15)题型四：二次函数的解析式 (18)题型五：二次函数的图象、单调性与最值 (22)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 (24)题型七：二次方程实根的分布及条件 (27)题型八：二次函数最大值的最小值问题 (29)04真题练习.命题洞见 (34)05课本典例.高考素材 (35)06易错分析.答题模板 (38)易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 (38)答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 (38)考点要求考题统计考情分析（1）幂函数的定义、图像与性质（2）二次函数的图象与性质2020年天津卷第3题，5分2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.复习目标：（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).知识点1：幂函数1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，【诊断自测】若幂函数()y f x =的图象经过点()2，则()16f ＝（）A 2B ．2C ．4D ．12【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，因为()f x 的图象经过点(2，所以22α=12α=，所以()12f x x =，所以()1216164f ==.故选：C 知识点2：二次函数1、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.2、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a=-，顶点坐标为24(,24b ac b a a --.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.3、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p q x +=：（1）若2b p a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2b m f M f q a=-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b m f M f p a =-=；（4）若2b q a-≥，则(),()m f q M f p ==.【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数()()()32214803f x x ax a x a =-+-+≠的导数的图象，则()2f -的值为（）A ．173B ．173-C ．83D ．83-【答案】D【解析】函数3221()(4)83f x x ax a x =-+-+，求导得222()24()4f x x ax a x a '=-+-=--，于是函数()y f x '=的图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线，①②不满足，又0a ≠，即函数()y f x '=的图象对称轴不是y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数()y f x '=的图象过原点，且0a >，显然(0)0f '=，从而2a =，321()283f x x x =-+，所以3218(2)(2)2(2)833f -=⨯--⨯-+=-.故选：D解题方法总结1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a =<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b x a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x mx x m∆==≤=≥或02()0b m af m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型一：幂函数的定义及其图像【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点()2,4，则函数的解析式为（）A ．2xy =B ．2y x =C ．2log y x =D ．sin y x =【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数过点()2,4，故42α=，解得2α=，该幂函数的解析式为2y x =；故选：B【典例1-2】已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q>D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<【答案】D 【解析】因为函数p q y x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以p q <0，因为函数p qy x =的图象关于y 轴对称，所以函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【方法技巧】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.【变式1-1】已知函数()()11m f x m x +=-为幂函数，则()()2222f a a f a a -+-=（）A ．0B ．1-C ．2aD ．64a a -【答案】A【解析】由题意有11m -=，可得()32,m f x x ==，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则函数()f x 为奇函数，所以()()22220f a a f a a -+-=.故选：A.【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数()231y m m x =--是幂函数，则实数m 的值可能是（）A ．2m =-B ．2m =C ．1m =-D ．1m =【答案】BC【解析】()231y m m x =--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.故选：BC.【变式1-3】给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A题型二：幂函数性质的综合应用【典例2-1】已知幂函数()()21n m x f x =-的图象经过点()2,8，下面给出的四个结论：①()3f x x -=；②()f x 为奇函数；③()f x 在R 上单调递增；④()()211f a f +<，其中所有正确命题的序号为（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③【答案】B【解析】对于①：由幂函数的定义可知211m -=，解得1m =，将点()2,8代入函数()nf x x =得28n =，解得3n =，所以()3f x x =，故①错误；对于②：因为定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，()f x 在R 上单调递增，故③正确；对于④：因为211a +≥，且()f x 在R 上单调递增，所以()()211f a f +≥，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.【典例2-2】已知幂函数()()212223a a f x a x +-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3xh x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.【答案】268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()()212223a a f x a x+-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【方法技巧】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.【变式2-1】已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=.【答案】1-【解析】因为幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递减，所以12,1,2α=---，又幂函数()f x x α=为奇函数，可知α为奇数，即1α=-.故答案为：1-【变式2-2】已知函数()()3222332ln34ln31x x f x x x --=-+-+-+，则满足()()832f x f x +->的x 的取值范围是．【答案】(),2-∞【解析】由题意得()()()32223322ln 31x x f x x x --=-+-+-+，设()3332ln 3x xg x x x -=+-+，则()()21f x g x =-+，()g x 的定义域为R ，且()()3332ln 3x xg x x x g x --=-+--=-，所以()g x 为奇函数，3,3,3,2ln 3x x y x y y y x -===-=都是增函数，所以()g x 是增函数，()f x 的图象是由()g x 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,1，所以()()42f x f x +-=．易知()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8324f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <，故答案为：(),2∞-．【变式2-3】已知幂函数()223mm f x x --=（其中，m ∈Z ）为偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，则m的值为.【答案】1【解析】因为函数幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，又m ∈Z ，所以0m =或1或2，当0m =或2时，()331f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()3311f x f x x x -==-=--，此时函数()f x 为奇函数，不符合题意；当1m =时，()441f x x x -==定义域为{}0x x ≠，且()()()4411f x f x x x -===-，此时函数()f x 为偶函数，符合题意；综上所述，1m =.故答案为：1.【变式2-4】已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知，()f x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()1133f x x x f x -=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数()13f x x =在函数(),-∞+∞上单调递增，由()()222210f t t f t -+-<，得()()22221f t t f t -<--，即()()22212f t t f t -<-，所以22212t t t -<-，即23210t t --<，解得113t -<<，所以关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-5】满足1133(1)(32)m m --+<-的实数m 的取值范围是（）.A ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】幂函数13y x -=在(0,)+∞为减函数，且函数值为正，在(,0)-∞为减函数，且函数值为负，1133(1)(32)m m --+<-等价于，320132m m m ->⎧⎨+>-⎩或10132m m m +<⎧⎨+>-⎩或32010m m ->⎧⎨+<⎩，解得2332m <<或m ∈∅或1m <-，所以不等式的解集为23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.题型三：由幂函数的单调性比较大小【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c<<【答案】C 【解析】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C【典例3-2】设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,，，则,,a b c 大小关系是.【答案】a c b＞＞【解析】因为()25f x x =在()0,∞+单调增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，因为()25xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞单调减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【方法技巧】在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <，则实数a 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,+¥D ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由1log 14a<，得1a >或10a 4<<，由114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，得0a >，由141a <，得01a <<，∴当1log 14a <，114a⎛⎫< ⎪⎝⎭，141a <同时成立时，取交集得10a 4<<，故选：A.【变式3-2】已知πe a =，e πb =，eπc =，则这三个数的大小关系为．（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】由ln πa =，ln eln πb =，令ln ()xf x x=且[e,)x ∈+∞，则21ln ()0x f x x -'=≤，所以()f x 在[e,)x ∈+∞上递减，则ln e ln ππeln πe π>⇒>，即ln ln a b >，所以b a <，由e πb =，πe ]c =，只需比较π与π的大小，根据x y =与y x =，相交于(2,2),(4,4)两点，图象如下，由2π4<<，结合图知ππ>，故πe e []πb c ==>，综上，c b a <<.故答案为：c b a<<【变式3-3】已知幂函数()f x的图象过点()()()1122121,,,,,024P x y Q x y x x ⎛<< ⎝⎭是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A ．()()1122x f x x f x >B ．()()1221x f x x f x <C ．()()1221f x f x x x >D ．()()1212f x f x x x <【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为()f x的图象经过点124⎛ ⎝⎭，则124α⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32α=，所以()32f x x =.因为函数()32f x x =在定义域()0,∞+内单调递增，则当120x x <<时，()()120f x f x <<，所以()()1122x f x x f x <，且()()1221f x f x x x <，故选项A,C 错误；又因为函数()12f x x x=单调递增，则当120x x <<时，()()1212f x f x x x <，且()()2112x f x x f x <，故选项D 正确，选项B 错误.故选：D.【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，若,a b ∈R ，且0,a b a b <<<，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】B【解析】由211m m --=得2m =或1m =-，2m =时，3()f x x =在R 上是增函数，不合题意，1m =-时，3()-=f x x ，在(0,)+∞上是减函数，满足题意，所以3()-=f x x ，0,a b a b <<<，则0b a >->，()()f a f b ->，3()f x x =-是奇函数，因此()()f a f a -=-，所以()()f a f b ->，即()()0f a f b +<，故选：B.题型四：二次函数的解析式【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，则()f x ＝.【答案】243x x -+【解析】因为()()22f x f x -=+对x ∈R 恒成立，所以()y f x =的图象关于2x =对称.又()y f x =的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以()0f x =的两根为211-=或213+=，所以二次函数()f x 与x 轴的两交点坐标为()1,0和()3,0，因此设()()()13f x a x x =--.又点()4,3在()y f x =的图象上，所以33a =，则1a =，故()()()21343f x x x x x =--=-+.故答案为：243x x -+【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数()f x =．①()f x 是二次函数；②(1)xf x +是奇函数；③()f x x在(0,)+∞上是减函数．【答案】22x x-+【解析】因为()f x 是二次函数，所以令2()2f x x x =-+，()0x ≠，令()()()23(1)121g x xf x x x x x x ⎡⎤=+=-+++=-+⎣⎦，()()()3g x x x g x -=---=-，故满足条件②；令()222()x f x h x x x xx+===-+-在(0,)+∞上是减函数，满足条件③，故答案为：22x x-+【方法技巧】求二次函数解析式的三个技巧(1)已知三个点的坐标，选择一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，选择零点式．【变式4-1】已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y x =相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =．【答案】214x +（答案不唯一）【解析】已知()()20f x ax bx c a =++≠，∵()f x 的图象关于y 轴对称，∴对称轴02bx a=-=，∴0b =，∴()2f x ax c =+，联立2y ax c y x⎧=+⎨=⎩，整理得2ax c x +=，即20ax x c -+=，∵()f x 的图象与直线y x =相切，∴140ac ∆=-=，∴14ac =，当1a =时，14c =.∴满足条件的二次函数可以为()214f x x =+．故答案为：214x +.【变式4-2】已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f （2）＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝21(82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214(82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【变式4-3】已知函数2()(2)(0)f x mx m x n m =+-+>，当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，则1=3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】79-【解析】因为当11x -≤≤时，都有()1f x ≤恒成立，所以(0)1(1)1f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即121n n ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，所以1131n n -≤≤⎧⎨-≤≤-⎩，解得1n =-，所以(0)1,(1)1f f =-=，由()f x 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x =0，所以20m -=，解得m =2，所以2()21f x x =-，所以117=21399f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：79-【变式4-4】已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =.【答案】36【解析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.题型五：二次函数的图象、单调性与最值【典例5-1】已知()1()()f x x a x b =---，并且m 、n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b<<<【答案】A【解析】设()()()g x x a x b =---，又()1()()f x x a x b =---，分别画出这两个函数的图象，其中()f x 的图象可看成是由()g x 的图象向上平移1个单位得到，如图，由图可知：m a b n <<<．故选：A ．【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤的实数对m ，n 构成的点(,)m n 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【解析】由2{}{,}x m x n y y x m x n ≤≤==≤≤，又20y x =≥，则0m ≥，所以2y x =在[,]m n 单调递增，故值域为[(),()]f m f n ，即,m n 是2x x =的两根，解得120,1x x ==，当0m n ==时，点(,)m n 为(0,0)，当1m n ==时，点(,)m n 为(1,1)，当0,1m n ==时，点(,)m n 为(0,1).故选：C【方法技巧】解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（）A ．19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B ．19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C【解析】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得392m ≤≤或112m -≤≤，即实数m 得取值范围为1[,1][3,]229- .故选：C ．【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y 在定义域上递增，故()f x 3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数()221f x x mx x =+-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是.【答案】[)2,-+∞【解析】二次函数()()221f x x m x =+-+的图象开口向上，对称轴为直线22m x -=-，因为函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则222m --≤，解得2m ≥-.因此，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.【变式5-4】若函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是.【答案】[0,1)【解析】令()224g x x x =-+，0x >，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又(1)2(1)f f ==-，作出函数()f x的大致图象，由于函数()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>=⎨≤⎩在区间()1,32a a --上有最大值，结合图象，由题意可得321111a a ->⎧⎨-≤-<⎩，解得01a ≤<，所以实数a 的取值范围是[0,1)，故答案为：[0,1)题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题【典例6-1】已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【典例6-2】已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．【解析】函数()222211y x ax x a a =++=++-的图象为对称轴为x a =-，开口向上的抛物线，当12a -≤时，即12a ≥-时，此时2x =离对称轴更远，所以当2x =时有最大值，最大值为45a +，由已知454a +=，故14a =-，当12a ->时，即12a <-时，此时=1x -离对称轴更远，所以当=1x -时有最大值，最大值为22a -，由已知224a -=，故1a =-，所以14a =-或1a =-.【方法技巧】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果得到最终答案.【变式6-1】已知函数()2f x x ax =+，其中a 是实数．(1)()f x 在区间[]1,2-上的最大值记为()M a ，求()M a 的表达式；(2)()f x 在区间[]1,2-上的最小值记为()m a ，求()m a 的表达式；(3)若()()3M a m a -=，求实数a 的值．【解析】（1）()222()24a x a f x x ax =+=+-，对称轴为2a x =-，当122a -≤，即1a ≥-时，()(2)42M a f a ==+，当122a ->，即1a <-时，()(1)1M a f a =-=-，综上，()42,11,1a a M a a a +≥-⎧=⎨-<-⎩.（2）当12a-≤-，即2a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递增，()(1)1m a f a =-=-，当22a-≥，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,2-上单调递减，()(2)42m a f a ==+，当122a -<-<，即42a -<<时，()2()24a a m a f =-=-，综上，()242,4,4241,2a a am a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩.（3）当4a ≤-时，()1M a a =-，()42m a a =+，由()()3M a m a -=，得()1423a a --+=，解得2a =-（舍）；当41a -<<-时，()1M a a =-，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得2134a a -+=，即2480a a --=，解得2a =-2=+a ；当12a -≤<时，()42M a a =+，()24a m a =-，由()()3M a m a -=，得()24234aa ++=，即2840a a ++=，解得4a =--4a =-+当2a ≥时，()42M a a =+，()1m a a =-，由()()3M a m a -=，得()()4213a a +--=，解得0a =（舍），综上，2a =-4-+题型七：二次方程实根的分布及条件【典例7-1】若关于x 的一元二次方程()23180x a x a +-++=有两个不相等的实根12,x x ，且121,1x x <>．则实数a 的取值范围为．【答案】2a <-【解析】令函数2()(31)8f x x a x a =+-++，依题意，()0f x =的两个不等实根12,x x 满足121,1x x <>，而函数()f x 图象开口向上，因此(1)0f <，则21(31)180a a +-⨯++<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围为2a <-.故答案为：2a <-【典例7-2】方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为．【答案】3m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得3m >+故答案为：3m >+【方法技巧】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.【变式7-1】（2024·四川雅安·模拟预测）已知关于x 的方程()20,x bx c b c R ++=∈在[]1,1-上有实数根，且满足033b c ≤+≤，则b 的取值范围是．【答案】[]0,2【解析】问题等价于()()2,g x bx c h x x =+=-在[]1,1-上有公共点．()[]330,3g b c =+∈ ，设(3,0),(3,3)C D ，(3)3g b c =+，点(3,(3))g 在线段CD 上，()y g x ∴=的图象是过线段CD 和抛物线AB 弧上各一点的直线(如图)，其中()()()()1,1,1,1,3,0,3,3A B C D ---．∴[]max min 2;00,2.BD CO b k b k b ====⇒∈故答案为：[0,2]．【变式7-2】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤题型八：二次函数最大值的最小值问题【典例8-1】已知函数2()f x x ax b =++在区间[0,4]上的最大值为M ，当实数a ，b 变化时，M 最小值为．【答案】2【解析】22()4(4)4[(4)]f x x x a x b x x a x b =-+++=---+-，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数2()4g x x x =-，[0x ∈,4]与函数()(4)h x a x b =-+-，[0x ∈,4]图象上点的纵向距离，则M 即为函数2()4g x x x =-与函数()(4)h x a x b =-+-图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数(),()g x h x图象，如图，由图象可知，当函数()h x 的图象刚好为=2y -时此时4,2a b =-=，M 取得最小值为2.故答案为：2【典例8-2】已知函数(),,f x ax b a b =-∈R ，若对任意的[]00,4x ∈，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是．【答案】1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2,t x t ==，则()()[]()2,0,2f x g t at t b t ==-+-∈，取三点控制得()()()012g M g M g M ⎧≥⎪≥⎨⎪≥⎩，进而142b M a b M a b M⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，化简得33444442b Ma b M a b M ⎧≥⎪-+-≥⎨⎪-+-≥⎩，可得8344442M b a b a b ≤+-+-+-+-，即()()83444422M b a b a b ≤+-+---+-=，解得14M ≤．故答案为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【方法技巧】解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.【变式8-1】二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,2,22222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a的最小值为6-【变式8-2】已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1((2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3()(2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a-≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222ax -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时25222a -<<，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以()()2244max 3,max 3,24a a a g x f f a ⎧⎫⎧⎫-++⎛⎫==+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-时，244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【变式8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值为()g a ，则()g a 的最小值为（）A．3-B1-C ．14D ．1【答案】A【解析】以下只分析函数()2f x x ax =-在[]0,1x ∈上的图象及性质，分类讨论如下：①当0a ≤时，函数()22=f x x ax x ax =--在区间[]0,1上单调递增，即()()11g a f a ==-，此时()g a 单调递减，()()min 01g a g ==；②当01a <≤时，()222,1=,0x ax a x f x x ax ax x x a ⎧-<≤=-⎨-≤<⎩，所以()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当0222a <≤-时，()2114a a g a a -≥⇒=-，当221a <≤，()22144a a a g a -<⇒=，此时()()()()2min22222212223224g a g ===--=-③当1a >时，()22=f x x ax ax x =--，即()()2max 1,max 1,24a a g a f f a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，易知当12a <≤时，()22144a a a g a -≤⇒=，当2a <，()2114a a g a a ->⇒=-，此时()()min 114g a g ==；而113224>>-()g a 的最小值为322-.故选：A1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2023年天津高考数学真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【解析】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数13y x =的图象是A ．B．C ．D ．【答案】B【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），11(,)82，可排除C．故选B．1．画出函数y的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【解析】xyx≥==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-= 12,[0,)x x∈+∞，且12,x x≥12120,0,0x x y y>-<∴-<即12y y<. y∴[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=设任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则12y y -===12,(,0]x x ∈-∞，且12,0x x <>，21120.0x x y y ->∴->即12y y >.y ∴(,0]-∞上是减函数.2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【解析】（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .3．试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【解析】21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
