自动化车床模型(数学建模)

自动化车床管理模型摘要本文研究的是自动化车床管理中定期检查和预防性保全刀具问题。

在现代技术下，被动地等待故障发生，然后投入较高资金处理出现的问题，这种传统的处理方法已经不符合工业生产和现代社会的发展要求。

为解决此问题，我们共建立两个模型，使自动化车床管理方略更科学、更合理。

对于问题一：我们通过一定的数学方法，巧妙地建立了生产每一个零件的平均损失费用L （包括预防保全费用1L , 检查费用2L , 和故障造成的不合格品损失和修复费用3L，即123L L L L =++）关于刀具定期更换间隔a 的单变量函数关系，并利用MATLAB等数学计算工具和多种方法，对a 进行逐个赋值，最终得到：当342a =件时，L 取得最小值min5.297L =元，再根据a与固定检查间隔n 之间的函数关系得到：16n =件。

对于问题二：此问中效益函数计算的费用与第一问相比，增加了错误判断带来的损失费用，我们将因误判带来的费用考虑到生产每一个零件的平均损失费用L 中，用与第一问类似的模型求解，得到当299a =件时，L 取得最小值min 7.381L =元，对应固定检查间隔18n =件。

对于问题三：保持问题二的情况，我们建立新的模型，并采取连续检查多个零件（最多3次）的方法，降低误判率，从而达到减少每个零件的平均管理费用，使模型更优化。

最终得到在工序发生故障时误判率为0.208，比检查一次的误判率0.4减少0.192，误判率减小了50%；在工序正常时误判率为0.000792，比检查一次的误判率0.02减少0.019208，误判率降低了96.04%，从而使模型得到优化。

关键词：自动化车床管理 效益函数 正态分布 误判率1.问题重述一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。

工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。

工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。

现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。

现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。

已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=200元/件；进行检查的费用t=10元/次；发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次(包括刀具费)；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/次。

要求解的问题：1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。

工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。

对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。

附:100次刀具故障记录(完成的零件数) （见附录1）2.模型假设和符号说明2.1模型的假设1.换刀间隔和检查间隔很短，这段时间内产生的零件数可以忽略；2.检查时一旦发现不合格品生产立即停止；3.假设该工序只需用一个刀具；4.工序出现故障是随机的，且加工每个零件时出现故障的概率相同。

2.2符号说明3. 问题分析本题研究的是自动化车床管理中定期检查和预防性保全刀具问题。

由于发现故障进行调节使恢复正常的平均费用和故障时产出的零件损失费用较高，而检查费用和更换刀具费用较低，因此，在未进行定期检查和预防性更换刀具时损失费用明显要高，更新管理后，要确定最优的管理方案，得到合适的检查间隔和刀具更换策略，即刀具定期更换间隔和检查间隔，使损失费用最少。

我们选择建立一个效益函数L （生产每个零件的平均损失费用），通过求L 最小值来确定刀具定期更换间隔a 和生产检查间隔n 。

针对问题一：因为效益函数L 包括预防保全费用1L , 检查费用2L , 和故障造成的不合格品损失和修复费用3L （即123L L L L =++），我们按每个零件分摊，分别列式子算出1L 、2L 、3L 求和。

在求解1L 、2L 、3L 过程中，根据样本数据确定刀具寿命的经验分布或拟合分布F (x )，并且得到相关参数，确定无预防性更换刀具时刀具故障的平均间隔和采取有预防性更换策略时刀具故障间隔的表达式，同时利用n 与a 之间的函数关系进行转换，最后得到L 关于刀具定期更换间隔a 的单变量函数，可通过取不同的步长a 逐个求出L 的值，找到L 的最小值和对应的a 值，并通过所得a 求出对应的生产检查间隔n 。

针对问题二：第二问中条件变为该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品且工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。

所以第二问中计算效益函数L 时要考虑两种误判情况带来的损失，一是工序正常时检查到不合格品，误判停机将使检查的费用增加；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格数量增多造成的损失。

效益函数L 的表达式因此有所改变，但建模方法基本与第一问相似。

针对问题三：在第二问情况下只定期检查一个零件造成了许多误判的情况，从而使每个零件的平均管理费用较高。

针对这种情况，我们采取适当连续检查多个零件降低误判率的方法达到减少每个零件的平均管理费用，是模型更优化。

4.数据分析刀具故障时加工的零件服从正态分布根据所给的100个样本数据用Excel 统计可得以下结果：表4.1 样本统计结果图4.1 样本分布直方图再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果：表5．问题一解答5.1 模型一的建立首先，在预防保全措施下，定义平均每一个零件的损失费用（效益函数）为L，表达式为：123f c d k tL L L L a n b⋅+=++=++（1）其中，1L 为预防保全费用, 2L检查费用,3L为故障造成的不合格品损失和修复费用。

b 为工序平均故障间隔，c 为相邻两次检查的后一次检查发现故障时，n 件零件中不合格品的平均数。

令在相邻两次检查的后一次发现故障的条件下，出现i件不合格品的概率为：1(1)1(1)n i np p pp --⋅=--则得 ：111(1)1(1)nni i n i i i np p p c p ==--⋅=⋅=⋅--∑∑ （2）上式中1,2,3in =⋅⋅⋅，上式经运算可得：21112()2122n n n pp co +-+=++≈由此得到c 与n 的函数关系，代入(1) 得：(1)2n fk t d La nb+⋅=+++ （3）然后给出的100 个数据分析算出无预防性更换时, 刀具故障平均间隔为μ=600 件，再根据题设刀具故障占95% , 非刀具故障占5% , 故非刀具平均故障间隔为95%5%m μ==11400件，其次由100 个数据确定刀具寿命的经验分布或拟合分布得密度函数：22()2(),0,xf x x x Zeμσ--=<<∞∈22()200()()xx xF x f t dt dteμσ--⇒==⎰⎰为分布函数。

其中，600μ=，196.629σ=所以当进行预防保全定期n更换刀具时, 刀故障的平均间隔为：[]111()(1)[1()]()aaii F i F i a F aF aμ-=⎧⎫=⋅--+⋅-⎨⎬⎩⎭∑工序的平均故障间隔b由aμ和m决定, 满足111ab mμ=+即：111abmμ=+由此得到b和a之间的函数关系。

5.2模型一的求解对目标函数(3) 的参数进行如下优化：1.给定a，计算出b,代入(3)可得知L是n的函数,易得当n=时目标函数L达到极小；2. 按一定的步长取a的值, 采取逐渐缩小范围并逐个求出L的极小值及相应的n值, 其中使L最小者所对应的a和n即为所求。

本步骤我们在MATLAB软件中计算（对应程序段见附录2）得到的结果如下：min 5.297L=元，此时对应的342a=件，16n=件图5.1 a取值与L的变化关系图5.3结果分析：通过逐步求解，我们得到当定期换刀间隔为342件，定期检查间隔为16件时，使得生产每个零件的平均管理成本（平均损失费用）L达到极小值5.297元。

由a取值与L的变化关系图我们发现，当步长a的取值小于或大于342件时均会使平均损失费用L增大。

6.问题二的解答6.1确立新目标函数关系，令a sn第二问的效益函数要考虑两种误判。

一是工序正常时检查到不合格品误判停机, 将使损失的费用增加；二是工序故障时检查到合格品, 将继续生产直到下一次检查, 使不合格品数量增加,此时两次故障间由此产生的不合格品平均数为：[211(1)(1)(1)1(1)]1(1)12112jsj i j n jn i i a n p p q q q u n p q n nq ==⎧⎫----⎪⎪⎪⎪-=+⋅⋅-⎨⎬--⎪⎪⎪⎪⎩⎭≈++∑∑+-上式中40%q= 为工序故障时的合格品率,p为工序在生产一零件时的平均故障率,故在第该问的条件下, 效益函数L 应为：2(1)1n fk d pp t eL a n b bμ⎡⎤=++-⋅+⋅+⎢⎥⎣⎦' （4） 上式中2%p ='是工序正常时零件的不合格品率,1500e =元为第一种误判产生停机的损失费。

6.2问题二的求解计算再应用与问题一相同的模型代入式（4）并用MATLAB 软件求解（对应程序段件附录3）可得以下结果：min 7.381L =元，此时对应的 299a =件，18n =件图6.1 a取值与L的变化关系图6．3结果分析：在第二问的条件下运用和第一问相同的模型逐步求解，我们得到当定期换刀间隔为299件，定期检查间隔为18件时，使得生产每个零件的平均管理成本（平均损失费用）L达到极小值7.381元。

再由a取值与L的变化关系图我们发现，当步长a的取值小于或大于299件时均会使平均损失费用L增大。

7.问题三的解答7.1模型二的建立由于在第二问情况下生产出的零件不完全是合格品或是不合格品,只定期检查一个零件时,不免会出现许多误判,造成不必要的损失.。

今改进检查方式,采取适当连续检查多个零件降低误判率，尽量避免这样的损失,将获得更高的效益。

具体方法如下：①假设工序发生了故障：（表中“1”表示检测到合格品，“0”表示检查到不合格品）7.2结论及分析在进行检查时，不能由一次检查结果妄下结论，这可能因误判造成大的损失。

由以上模型可以得出：在工序发生故障时误判率为0.208，比检查一次的误判率0.4减少0.192；在工序正常时误判率为0.000792，比检查一次的误判率0.02减少0.019208。