数学模型与自动控制系统
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数学模型与自动控制系统
姚融融<! ! 陈 ! 玮<! ! 贺向阳!
中# 当初始条件为零时 # 系统 " 或环节 $ 输出变量的拉 氏变换与输入变量的拉氏变换之比 # 称为系统 " 或环 节$ 的传递函数 & 即 % 传递函数 g 传递 函 数 的 拉 氏 变 换’输 入 变 量 的 拉 氏 "$ 变换 g. < $ %" < " $ <
公式 " $ 也就是传递函数的一般表达式 & 由公式 " $ < < 可见 # 传递函数是复变 ) 的有理分式 # ) 是复 数 & 而 分式中各 项 系 数 A !# !# A A A B 3# 3^< # <# # 及B 2# 2^< #
<! 传递函数的概念
!! 在数学中利用拉普拉斯变换 将微分 方程变 换成 代数方程 ! 可以 大 大 地 简 化 运 算 与 求 解 ’ 故 将 拉 普 拉斯变换引入 到 控 制 理 论 中 来 ! 引出传递函数的概 念! 从而形成了 另 一 种 描 述 环 节 和 系 统 特 性 的 数 学 模型 ’ 传递函数是经典控制理论 中最重 要的一 个数 学模型 ’ !! 过程控制系统或环节的动态微分方程可写成 %
!! 系统框图
它可以形象地描述自动控 !! 框图又称为结 构 图 # 制系统各环节之 间 ( 各 作 用 之 间 的 相 互 关 系& 由 图 中的信号线 ( 引出 点 ( 比 较 点 和 功 能 框 等 部 分 组 成& 见图 <! 系统框图 D % * ?!( . H 3 1 . H+ , 0 0 1 3 # F ;
数学方程式来表达各环节 " 或系统 # 的输 出变 量与输 入变量之间的关系 ’ !! 数学模型的求取有两种方法 ’ 一种 是用 理论推 称之为物理建模 ! 常 用于 简单的 导来求得数学模型 ! 控制环节 $ 另一种是用实验方法来求 得数学 模型 ! 又 称之为系统辨识 ’ 常用的数学模型为微分方 !! 在经典的控制理论中 ! 程& 传递函数 和系 统框图 ’ 在自 动 控 制 系 统 中 ! 也主 要是以传递函数和系统框图来建立系统的数学模型 ’
参数有关 # 而与 输 入 量 扰 动 量 等 外 部 因 素 无 关 & 因 此它代表了系统的 固 有 特 性 # 是一种用项函数来描 述系统的数学模型 # 称之为系统的复数域模型 " 以时 & 间# 为自变量的微分方程称为时间域模型 $
"! 自动控制系统中的典型环节及传递 函数
首先要考虑其元部 !! 一个实际的自 动 控 制 系 统 # 件的 选 择 # 如 放 大 元 件( 执 行 元 件( 检 测 装 置 等 等& 不同的系统这些功能有 % $放大 " 比例 $ 环节 < !! " &放 大 gD;" 8" )$ <$ !! 放大环节的微分 方 程 为 % $ 8" < 环节的 传 递 函 数 为 % g "$ gD &D 为 常 数 # C" <$ E< 又称为放大系数或增益 & 放大环节的框图见图 "& 比例 $ 环节是自动控制系统中最常见的一 !! 放大 " 个环 节 & 实 例 如 % 电 子 放 大 器( 齿 轮 减 速 器( 杠杆机 械( 弹簧等 # 见图 >&
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左端# 输出信号在最右端&在反馈回路中则相反& $引出点 & 它表示信号由该点引出 & " !! " $比 较 点 & 其 输 出 量 为 各 输 入 量 的 代 数 和 # > !! " 因此在信号输入处要注明它的正负 & !! 图 ! 是典型自动控制系统的框图 & 它通常包括 前向通路和反馈回路 " 主反馈回路和局部反馈回路 # 一般外面的是主反馈回路 # 里面的是局部反馈回路 $ # 引出点" 图中有两个$ 和比较点" 图中有三个 $ ) 图中前 向通路中有三个功能框 ) 反馈回路各有一个功能框 # 功能框内为传递函数 & 图中各种变量均标以大写字 母的拉氏式 # 如输入变量%" $ ( 输出变量." $ ( 扰动量 < < $ ( 反馈为 7 $ ( $和偏差量 &" $ 等& ’" < < 7 < < <" !"
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作者简介 ! 姚融融 " # ! 男! 大学本科 ! 讲师 $ % $ < = $ B ? " # $ % & ; ; 1 4 8 ( ( J8 * / ! # # > ? # F ? # ! !!! !4 !! 修订日期 ! ’ W
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