最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充和复数的概念》知识导引
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题探究
【问题】 方程ax2+bx+c=0(a≠0)在实数范围内一定有解吗?如果无解,能否设想一种方法,使这样的方程有解呢?
思路分析:由于实际生活的需要和科学研究的进一步深入,人们不断地将数系进行扩充,从自然数系逐步扩充到了实数系.为了解决一元二次方程在实数系中无解的问题,需要将实数系进一步扩充.
自学导引
1.16世纪,由于解方程的需要,引进一个新数,叫做虚数单位.并规定:(1)____________;(2) .
答案：i (1)i2=-1 (2)加法、乘法运算律仍成立
2.形如_____________的数叫复数,全体复数形成的集合,一般用字母___________表示,它与实数集R的关系是__________.
答案：a+bi(a、b∈R) C RC
3.复数a+bi(a、b∈R),当__________时就是实数,当__________时叫做纯虚数;_________叫复数a+bi的实部,___________叫复数a+bi的虚部.
答案：b=0 a=0且b≠0 a b
4.如果 ,就说这两个复数相等,两个复数不能比较大小.
答案：两个复数的实部与虚部分别相等
精典讲解
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数的概念及其联系,对于复数a+bi必须强调a、b均为实数.
2.熟练掌握并能灵活运用几个常见结论:
(1)a+bi=c+dia=c且b=d(a、b、c、d∈R).
(2)z=a+bi∈Rb=0(a、b∈R).
(3)z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a、b∈R).
3.对于两个复数,若不全是实数,则不能比较大小;在复数集里一般没有大小之分,但却有相等与不等之分.
【例1】 计算i+i2+i3+i4.
思路分析:应用对虚数单位的两条规定,对i2,i3,i4进行探索.
解:∵i2=-1,∴i3=i2·i=-i,i4=i2·i2=(-1)·(-1)=1,
∴原式=i+(-1)+(-i)+1=0.
温馨提示:本来在定义复数乘法以后,计算i3及i4更简单,但这里主要用来考查对虚数单位的两条规定的深刻理解.
【例2】 复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i(x∈R).
(1)它的实部、虚部各是什么?
(2)当x分别取什么值时,它是①实数?②虚数?③纯虚数?④零?
思路分析:因为x∈R,所以x2+x-6,x2-2x-15都是实数,由复数z=a+bi是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值.
解:(1)实、虚部分别为x2+x-6,x2-2x-15.
(2)①当x2-2x-15=0,即x=5或x=-3时,复数z是实数;
②当x2-2x-15≠0,即x≠5且x≠-3时,复数z是虚数; ③当.3x5x,2x3x ,015x2x,06xx22且或即
∴x=2时,复数z是纯虚数;
④当.3x5x,2x3x ,015x2x,06xx22或或即
∴当x=-3时,复数z=0.
温馨提示:熟练掌握复数有关概念即可,另外要注意方程的求交集过程.
【例3】 关于x的方程3x2-2ax-1=10i-ix-2ix2有实数根,求实数a的值.
思路分析:看成关于x的一元二次方程,无法解决,注意到其中的虚数单位i,整理成两复数相等的形式,可试解之.
解:设原方程的实数根为x0,整理原方程得
(3x02-2ax0-1)+(2x02+x0-10)i=0,
由两复数相等的条件,得
.010xx2 ,01x2ax3020020 ②①
由②,得x0=2或x0=-25.
代入式①,得a=11或a=-14151.
温馨提示:一般根据复数相等的充要条件,可以得到两个实数等式所组成的方程组,从而可以用来确定两个独立参数(参数必须为实数).
【例4】 已知复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,求m的值.
思路分析:由题意lg(m2-2m-2)=0,
∴m2-2m-2=1,即m2-2m-3=0.
∴m=-1或3.
这是错误的,错的原因是没有注意到复数z=a+bi(a、b∈R)是纯虚数的充要条件是,0b,0a而不是a=0,用错条件造成错误.正确解答如下.
解:由题意,得,02m3m,12m2m22
∴.2m1m,3m1m且或∴m=3.
拓展迁移
【拓展点1】 若复数z=sin2α-i(1-cos2α)是纯虚数,则α等于_________. 解析:,0s2cos1,0a2sin∴α=kπ+2,k∈Z.
答案:kπ+2(k∈Z)
【拓展点2】 设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有实数根,求锐角θ和实数根.
解析:设α为实数根,则α2-(tanθ+i)α-(2+i)=0,
利用复数相等,则.02tan,012
∴α=-1,tanθ=1.
又0<θ<2,∴θ=4,α=-1.
