分子有效直径对费米气体热力学性质的影响
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２ｏ０８年ｌ２月 第２７卷第６期 重庆文理学院学报（自然科学版） Ｊ０ｕｍａｌ ０ｆ Ｃｈ０“ｇｑｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｌｙ ０ｆ Ａｎｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｎａｔｕｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄ．ｔｉ０ｎ） Ｄｅｃ．．２０ｏ８ Ｖｏ１．２７ Ｎ０．６
分子有效直径对费米气体热力学性质的影响
周胜恩，欧念武
（长江师范学院物理学及电子信息工程系，重庆涪陵４ｏ８ｌ００）
［摘要］从内能的修正出发，推导了弱简并非理想费米气体的状态方程 并以此为基础，利用
相关的热力学关系，推导了系统的热容量和熵等热力学参量，分析了分子有效直径对这些热力
学参量的影响机制．结果发现：分子有效直径在一定值上会使内能和熵发生突变，而在该值两 边，内能和熵的变化规律都不相同，分子有效直径对热容量几乎没有影响．
［关键词］弱简并；非理想费米气体；分子有效直径；热力学参量
［中图分类号］ｏ４ｌｌ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７３—８０１２（２００８）０６—００５０—０４
实际气体与理想费米气体的重要区别之一
是实际气体分子的大小不能忽略．有的学者认为
实际气体的分子有效直径表现在分子间的相互 排斥作用…，也有学者研究了分子有效直径对范
德瓦耳斯气体热力学性质的影响 Ｊ，而这些研究
只局限在经典力学范畴，那么在量子简并下的非
理想费米气体系统中，分子有效直径对气体的热 力学性质有什么影响呢？本文就这个问题对弱 简并非理想费米气体系统进行研究，旨在弄清楚
分子有效直径对弱简并非理想费米气体系统热
力学性质的影响的物理机制，对实际气体系统的 性质作有益的补充．
１物态方程 分析经典非理想费米气体的内能和弱简并 理想费米气体系统的内能 ’３』，易看出这些系统
内能都是在经典理想费米气体系统内能的基 础上加上由于分子间相互作用引起的内能变化
的修正量或者由于系统的量子简并引起的内能
变化的修正量．因此，弱简并非理想费米气体的
内能可修正为
¨ 卜 ・（１）
其中Ａ： ／ １ｒｍ 为热波长， 为普朗克常
量，ｍ为分子质量，Ⅳ为系统粒子数，．１｝为玻耳兹 曼常数， ’为热力学温度，口为分子相互作用引 入的修正量，６为分子有效直径引入的修正量．
由 ＝一ａｌｎ宣／ ，可得
ｌｎ宣＝一 ＋ｌｎ曰． （２）
其中卢 ，ｌｎ 为积分常数・将（１）式代人（２）
式积分得
ｎ星一 ＋ ＋Ｉｌｎ ＝＝一——＝＝＿————一一 ｌｒ ＋ — ＋ｌｎ ， ４√２（ 一６） ｚ —Ｄ
（３）
ｌ ｚ：一 ＋ｌｎ ． （４）
此时系统过渡为经典理想费米气体系统，由于
》６，为了方便计算，令 — 一６，则理想费米 气体的配分函数可表为 。
ｚ －６） （ ）丁． （５）
将（５）式代入（４）式，求得
・ｎ日＝Ｍｎ（ －６）＋ ｎ（ ）．（６）
则
ｌ量：一 ÷一 ＋Ｉｎ ＝＝一——＝＝＿————一一 ｌｎ ＋ ４√２（
一６） ｚ。
＋ －６）＋ ｎ（ ）．（７）
｝ ［收稿日期］２０ｏ８—０８—２２ ［基金项目】长江师范学院科研项目（ｃｊｓｆｘｙ一０２３） ［作者简介］周胜恩（１９８４一），男，浙江人，主要从事理论物理研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｏｕｎｉａｎｗｕ７８９＠ｌ６３．ｃ０ｍ
５Ｏ 由压强公式Ｐ：（１ ）ａｌｎ ａ ，将（７）式代人 可得物态方程：
－６）＝ ［ ＋ 卜 ．
（８） ２热力学参量推导
２．１ 热容量 由定容热容的定义：
ｃ ＝（ ） ， （９）
将（１）式代人（９）式得系统的定容热容量为
ｃ ＝ ［，一
由焓的定义式 ：
式代入得系统的焓为 】．（１０） ８√ｌ２ｇ（ 一６）Ｊ
＋Ｐ ，将（１）式和（８）
＝ ［，＋ 卜 ．（１１）
由等压热容的定义 ：（ｄ ａ ） ，将
（１１）式代人可得系统的等压热容量为
＝ ［ｔ一 】．（１２）
则有
＝舰［ 一 ］．
２．２ 熵Ｓ 热力学中熵的积分表达式可表示为
＝ ｄ （１３）
将（１０）式代人（１３）式，得弱简并费米气体的熵
为
ｓ＝，ｖ 【寻 ｎ ＋ 】＋ ・（－４）
其中ｓ。为参考状态（Ｐ０， ， ）下的熵．考虑极
限情况，当 ∞时，系统过渡为理想费米气体 系统，则（１４）式变为
ｓ＝吾 ｌｎ ＋Ｓ０． （１５）
对于经典理想费米气体的熵，可表示为
３ ， …， ．ｓ 手舭ｌｎｎ舭ｈ ＋
［ （ ）】． （１６）
比较（Ｉ５）式和（１６）式两式，得
ｓ。＝舭（寻＋ ｎ ＋吾・ｎ ）．（・７） 将（１７）式代入（１４）式，得弱简并非理想费米气 体的熵为
．ｓ：舭［１ｎ（ ）＋寻＋ 】．
（１８）
３结果与分析 以理想金属蒸汽系统为研究对象，取 ＝２２． ４ Ｌ，Ⅳ＝６．０２×１０船，令系统温度 ：３００ ｌ（．
３．１ 分子有效直径对内能的影响
一般认为，体积修正参量６＝４Ⅳ ，其中
是分子的实际大小．假定分子是球型模型，则：
６＝４Ⅳ ＝÷＾ ． （１９）
其中ｄ是分子球的有效直径．将（１９）式代人（１）
式，得
＝ 南卜
’
代人常量得：
堋３８＋ 一
７．８×ｌ０—２５Ⅱ （１．７×ｌ０—２６一 ）’ （２１）
为了讨论方便，设内能发生突变时对应的分
子有效直径为ｄ。，则 １．７×１０～．分析图ｌ
可知，当分子有效直径ｄ： 时，系统的内能发
生突变．在ｄｎ两边，ｄ对系统内能的影响不同：在
ｄ＜ 的情况下，分子有效直径的作用使系统的 内能较理想费米气体系统的内能降低了；在 ＞
的情况下，分子有效直径的作用则使系统的内
能较理想费米气体系统的内能升高了．而在这两
种情况下，系统的内能都随着ｄ的增大而降低， 当ｄ趋于无穷限小或趋于无穷大时，系统的内能
则趋近于理想费米气体的内能．
从物理机制上分析，根据分子有效直径的物 理模型，在体积一定的系统中，分子有效直径越
小，此时系统中分子的自由程度就越大，则分子
问的相对距离就越大，系统分子间主要体现相互
吸引作用．反之，系统中分子的自由程度则越小，
分子间的相对距离就越小，此时系统分子问主要
体现相互排斥作用．而对于相互吸引的系统，由 于系统分子的相互作用引起附加压强而使内能
５１
较理想费米气体降低；对于相互排斥的系统，系
统分子的相互作用会使非理想费米气体内能较 理想费米气体升高…．因此，分子有效直径在ｄ。
两边时，会分别引起系统的内能较理想费米气体
内能降低或升高．
．图１ 内能随分子有效直径的变化 在ｄ＝ 处，内能发生突变，这是因为系统
的状态在此处处于吸引作用和排斥作用相互转
换的临界状态．显然，对于一个确定的系统，分子 有效直径是固定的，因此这种情况实际上是不可
能存在的．
当ｄ＜ｄｎ时，系统处于吸引状态，由引力作
用的平方反比规律可知，当分子间的距离增大 时，引力作用减弱，当分子的有效直径趋于无穷
小时，系统的相互作用趋于零，此时，系统过渡为
理想费米气体系统，所以系统内能趋于理想费米 气体内能．随着分子有效直径的增大，引力作用
也增大，导致系统的附加压强增大，因此，系统的
内能随之降低． 当ｃｆ＞ｄｎ时，系统处于排斥状态，随着分子有
蚁直径的增大，系统分子间相对距离减小，这样，
不同的分子将结合成分子团的形式．当系统以分
子团的形式存在时，由于分子抱在了一起，导致系 统震动势能降低，从而使系统的内能降低．分子团 越大，以分子团为单位的有效直径就越大，系统内
能就进一步降低．当所有分子构成一个分子团时，
系统的分子有效直径就趋于无穷大，系统的内能
就降低到趋于理想费米气体的内能了． ３．２分子百效直径对热容量的影响
将（１９）式代入（１０）式和（１２）式，并代入常 数得
５２ Ｃ ＝ｌ２．５— ２×ｌ０－ｊ （１．７ ｘ】０—２６一 ）’ （２２） ｒ一三ｒ １， 一 ！ ： 一］ Ｐ一３ 。Ｊ ｆ １．７×１０一 一ｄ。） ’
（２３） 由图２可知，分子有效直径对系统定容热容
量的影响非常细微，可以忽略．从物理机制上看，
一方面，由于分子有效直径很小，因此其对系统
热容的影响难以体现．另一方面，由本文上面的 结论可知，分子有效直径间接反映系统分子问的
相互作用机制．由于分子问的相互作用，可能会
使得系统的粒子不是以单个分子为单位，而是以 多个分子结合在一块形成的分子团为单位存在．
这样，系统温度的变化导致这些分子团的平均动
能改变，从而改变系统的内能，而分子间相互作 用对分子团内部引入的附加压强相对比较稳定，
即温度对分子团内部附加压强的影响相对于温
度对分子团的动能的影响显得极微小．由热容量
的定义ｃ ＝（ａ ａ ） 和Ｃ ＝（ａ ａ ） 可知， 分子问的相互作用对热容量产生的影响可以忽
略，所以分子有效直径对系统的热容量的影响也
是非常小的，可以忽略．
图２定容热容量随分子有效直径的变化 ３．３ 分子有效直径对熵的影响
将（１９）式代入（１８）式，并代人常数得： Ｓ＝５９７—８．３ｌｎ（１．７×１０一 ６一ｄ ）＋
之 ． （２４） １
．７×ｌ０—２６一ｄ ’ 、－。
分析图３可知，在ｄ： 处，熵值发生了转
折；在ｄ＜ 的情况下，即系统表现吸引作用时， 熵随着ｄ的增大而增加；在ｄ＞ 的情况下，即 系统表现排斥作用时，熵则随着ｄ的增大而减
小．从物理机制上分析，熵反映的是系统的混乱 程度 Ｊ．当系统分子表现为排斥作用时，随着ｄ
的增大，系统分子将以分子团的形式存在．以分
