一元二次方程复习教案1

一元二次方程单元复习

知识点一

概念：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

练习：将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0

应用拓展

例2．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

练习：

方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

知识点二

一元二次方程解法

配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

复习引入

请同学们完成下列各题

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；

（3）x2+px+_____=（x+______）

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1

练习：用配方法解下列关于x的方程

（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0 （3）9y2-18y-4=0

公式法：

推导求根公式：

已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=242bbaca，x2=242bbaca(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 12=0 （4）4x2-3x+2=0

因式分解法

例1．解方程

（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0

(3)5x2-2x-14=x2-2x+34 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2

我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0

知识点三：根与系数的关系

重难点关键

1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．

2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

书写两根关系表达式：（简要推导过程）

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

应用拓展

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

提升训练：

（1）已知非零实数a，b满足aabbabba221010，，则的值是多少。

（2）若关于x的一元二次方程xxk2230的两根的平方和小于6，求k的取值范围。

（3）. 已知关于x的一元二次方程xkxk2211410()

（1）k取什么值时，方程有两个实数根。

（2）如果方程的两个实数根xx12，满足||xx12，求k的值。

知识点四：实际问题

重难点关键

1．重点：用“倍数关系”建立数学模型

2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型

例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

练习：

要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

例三：两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

练习：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

基础练习

1．关于x的方程221(1)50aaaxx是一元二次方程，则a=__________.

2．方程20xx-=的解是______________；方程2(3)5(3)xxx的解是______________。

3．如果1x=-是方程210xmx+-=的一个根，那么m的值为______________。

4．填上适当的数，使等式成立：xx52 ＝x(－ 2)．

5．当x= 时，代数式23xx比代数式221xx的值大2 ．

6．若22340aabb--=（0b¹）,则ab=_________。

7．如果关于x的一元二次方程22(21)10kxkx有两个不相等的实数根，那么k

的取值范围是 。

8．解下列方程：

（1）23(21)12x+= （2）223(2)4xx-=-

9．先用配方法说明：不论x取何值，代数式257xx的值总大于0。再求出当x取何值时，

代数式257xx的值最小？最小是多少？

10．某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

例题选讲

1．若t是一元二次方程20(0)axbxca++= 的根，则判别式Δ24bac=-和完全平方式2(2)Matb=+的大小关系是 。

2．已知关于x的一元二次方程210xkx。

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设的方程有两根分别为12,xx，且满足1212xxxx 求k的值。

3．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

(1)要使这两个正方形的面积之和等于217cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于212cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

4．在抗击“甲流”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服。

开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲

保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务。求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？