《新编基础物理学》第13章习题解答和分析

第13章

电磁场与麦克斯韦方程组

13-1

如题图13-1所示,两条平行长直导线与一个矩形导线框共面,且导线框的一个边与长直导线平行,到两长直导线的距离分别为1r,2r。已知两导线中电流都为0sinIIt,其中I0与为常数,t为时间。导线框长为a,宽为b,求导线框中的感应电动势。

分析:当导线中电流I随时间变化时,穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化,用法拉第电磁感应定律mddit计算感应电动势,其中磁通量mdsBS, B为两导线产生的磁场的叠加。

解:无限长直电流激发的磁感应强度为02IBr。取坐标Ox垂直于直导线,坐标原点取在矩形导线框的左边框上,坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x处的磁感应强度大小

00122()2()IIBrxrx

方向垂直纸面向里。

通过微分面积ddSax的磁通量为

00m12dddd2()2()IIBSBSaxrxrx

通过矩形线圈的磁通量为

00m012d2()2()bIIaxrxrx012012lnlnsin2arbrbItrr

感生电动势

0m12012dlnlncosd2iarbrbIttrr

012012()()lncos2arbrbItrr

0i时,回路中感应电动势的实际方向为顺时针;0i时,回路中感应电动势的实际方向为逆时针。

题图13-1

解图13-1 x x

13-2

如题图13-2所示,有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈,匝数N=100,置于均匀磁场B中(B=0、5T)。圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动,转速1600rminn。求圆线圈自图示的初始位置转过/2时,

(1) 线圈中的瞬时电流值(线圈的电阻为R=100,不计自感);

(2) 圆心处磁感应强度。

分析:应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

解:(1) 圆形线圈转动的角速度12=20(rads)60n。设0t时圆形线圈处在图示位置,取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t时刻通过该回路的全磁通

2coscosNBSNBStNBrt

感应电动势

2dsindiNBrtt

感应电流

2siniiNBrtIRR

将圆线圈自图示的初始位置转过/2时,2t,代入已知数值得

0.99AiI

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为

406.2210T2iiIBNr

iB的方向与均匀外磁场B的方向垂直。

13-3 均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱形空间内,方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路ABCD,梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行,位置如题图13-3所示。设磁场以1d1TsdBt的匀速率增加,已知6cmOAOB,3,求等腰梯形回路ABCD感生电动势的大小与方向。

分析:求整个回路中的电动势,采用法拉第电磁感应定律,本题的关键就是确定回路的磁通量。

解:设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向、则t时刻通过该回路的磁通量

mBSBS,其中S为等腰梯形ABCD中存在磁场部分的面积,其值为 题图13-2

题图13-3

2211()sin22SRoa

感应电动势

mddddiBStt2211d()sin22dBRoat

代入已知数值得

33.6810Vi

“–”说明,感应电动势的实际方向为逆时针,即沿ADCBA绕向。用楞次定律也可直接判断感应电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示,有一根长直导线,载有直流电流I,近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈,以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线、设t=0时,线圈位于图示位置,求:

(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量m;

(2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i。

分析:线圈运动,穿过线圈的磁通量改变,线圈中有感应电动势产生,求出t时刻穿过线圈的磁通量,再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。

解:(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布

02IBx

因此,必须由积分求得t时刻通过回路的磁通量。取坐标Ox垂直于直导线,坐标原点取在直导线的位置,坐标正方向为水平向右,则在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量为

00mddln22btSatIIlbtBSlxxatvvvv

(2)在图示位置时矩形圈中的感应电动势

0m0()dd2itIlbatabv

感应电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM与LM,其间距离为l,其左端与电动势为0的电源连接、匀强磁场B垂直于图面向里,一段直裸导线AB横嵌在平行导线间(并可保持在导线上做无摩擦地滑动)并使电路接通,由于磁场力的作用,AB从静止开始向右运动起来。求:

(1) AB达到的最大速度;

(2) AB到最大速度时通过电源的电流I。 题图13-4

题图13-5

分析:本题就是包含电磁感应、磁场对电流的作用与全电路欧姆定律的综合性问题。当接通电源后,AB中产生电流。该通电导线受安培力的作用而向右加速运动,由于AB向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加,在回路中产生感应电流,从而使回路中电流减小,当回路中电流为零时,直导线AB不受安培力作用,此时AB达到最大速度。

解:(1)电路接通,由于磁场力的作用, AB从静止开始向右运动起来。设AB运动的速度为v,则此时直导线AB所产生的动生电动势iBlv,方向由b指向a、由全电路欧姆定理可得此时电路中的电流为

0BliRv

AB达到的最大速度时,直导线AB不受到磁场力的作用,此时0i。所以AB达到的最大速度为

0maxBlv

(2)AB达到的最大速度时,直导线AB不受到磁场力的作用,此时通过电路的电流i=0。所以通过电源的电流也等于零。

13-6 如题图13-6所示,一根长为L的金属细杆AB绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转,O1O2在离细杆A端L/5处。若已知均匀磁场B平行于O1O2轴。求AB两端间的电势差ABUU、

分析:由动生电动势表达式先求出每段的电动势,再将AB的电动势瞧成就是AO与OB二者电动势的代数与,AB两端的电势差大小即为AB间的动生电动势大小。求每段的电动势时,由于各处的运动速度不同,先由动生电动势公式计算微元dl的两端的动生电动势di,再积分计算整段的动生电动势。

解:设金属细杆AB与竖直轴O1O2交于点O,将AB两端间的动生电动势瞧成AO与OB两段动生电动势的串联。取OB方向为导线的正方向,在铜棒上取极小的一段微元dl,方向为OB方向。微元运动的速度大小为lv。由于,,dBlv互相垂直。所以dl两端的动生电动势为

d()dddiBlBlBllvv

OB的动生电动势为

242501416dd2550LOBiABLBllBBL

动生电动势OB的方向由B指向O。同理OA的动生电动势为

225011dd2550LOAiBALBllBBL 题图13-6

动生电动势OA的方向由A指向O。所以AB两端间的的动生电动势为

2310ABAOOBOAOBBL

动生电动势AB的方向由A指向了B;A端带负电,B端带正电。

AB两端间的电势差

2310ABABUUBL

B端电势高于A端。

13-7如题图13-7 所示 载有电流I的长直导线附近,放一半圆环MeN的导线与长直导线共面,其端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环以速度 v平行导线平移,求半圆环内感应电动势的大小与方向以及MN两端的电势差MNU

分析:此题直接利用()dMeNMNBlv计算半圆环的两端电势差难于实现,为便于计算,可引入一条辅助线MN,构成闭合回路MeNM, 穿过闭合回路的磁通量不变,故总电动势为零,即0MeNNM总,而直导线MN的两端电势差可由()dMNMNBlv求得,从而可以得到半圆环的两端电势差.

解:动生电动势

()dMNMNBlv

闭合回路总电动势

0MeNNM总

MeNNMMN

0()dd2abMNMNabIBlxxvv0ln2Iababv

负号表示MN的方向与x轴相反.

0ln2MeNIababv

方向N→M ,半圆环的两端电势差为

0ln2MNMNIabUUabv

13-8 如题图13-8 所示,无限长直导线,通以电流I.有一与之共面的直角三角形线圈ABC.已知AC边长为b,且与长直导线平行,BC边长为a.若线圈以垂直于导线方向的速度v向右平移,当B点与长直导线的距离为d时,求此时线圈ABC内的感应电动势的大题图13-7

题图13-8

小与感应电动势的方向.

分析:直角三角形内各个位置的磁场就是不同的,但就是平行于AC边的各个位置的磁场一致,则将此三角形拆分成都平行于AC边的窄条,得到穿过窄条的磁通量,再利用积分得到穿过此三角形的总磁通量,再由法拉第电磁感应定律求得线圈ABC内的感应电动势的大小.

解:建立坐标系,长直导线为y轴,BC边为x轴,原点在长直导线上,则斜边的方程为

abrabxy/)/(

式中r就是t时刻B点与长直导线的距离.三角形中磁通量为

00md()d22ararrrIIybbrxxxaax)ln(20rraabrbI

感应电动势为

0mdd(ln)d2dIbarartarart

当r =d时,感应电动势为

0(ln)2Ibadaadadπv