江苏省高中数学第一章三角函数第5课时1.2.2同角三角函数关系1教案苏教版必修9

教学设计(一)自主学习推导公式1、证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）平方关系：（2）商的关系：回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sinα=y；cosα=x，引导学生注意：单位圆中所以，sin2α+cos2α=1；设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。

2、辨析讨论—深化公式辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。

如（2）式中辨析2判断下列等式是否成立：设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。

辨析3思考：你能将两个公式变形么？（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。

）设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）等(二)小组合作及时训练自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现。

刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？[例1] 已知sinα=0.8，且α是第二象限角，求cosα，tanα的值．思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。

变式：α是第四象限角，tanα＝－5/12，求sinα.思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。

小结：（由学生自己总结，师生共同归纳得出）2.注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。

设计意图：利用例题与变式，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。

[例2]本题已知正切的值欲求sin α，tan α的值．设计意图：利用商的关系的灵活使用，解法多样，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。

高一数学同角三角函数的基本关系第一章三角函数4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）教学目的：知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同角三角函数的基本关系式。

（1）倒数关系：，，．（2）商数关系：，．（3）平方关系：，，．（练习）已知，求2．tanαcosα=，cotαsecα=，（secα+tanα）・（）=1 二、讲解新课：例1．化简．解：原式．例2．化简．解：原式．例3、已知，求解：强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式2?"化1法"例4、已知，求解：将两边平方，得：例5、已知解：由题设：∴()例6、已知，求解：1? 由由联立：2?例7、已知求解：∵sin2? + cos2? = 1∴化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，三、巩固与练习1：已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值.解：∵12 sin+5 cos=0 ∴sin= cos，又则（ cos）2+=1，即=∴cos=± ∴2.已知，求（1）；原式=（2）；原式=说明：（1）为了直接利用，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；（2）可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；34.已知secα-tgα=5，求sinα。

解1：∵secα-tgα=5=5×1=5（sec2α-tg2α）=5（secα+tgα）（secα-tgα），故 secα+tgα=1/5，则secα=13/5，tgα=-12/5；sinα=tgα・cosα=解2：由已知：则5.已知，求值；解：可求分析：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的"1"作巧妙的变形，如：1=四、小结：本节课学习了以下内容：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

《1.2.2同角三角函数的基本关系（第一课时）》教学设计一、指导思想与理论依据以学生为本，学生是学习的主体。

核心素养就是一个人在复杂情境中解决问题的能力和品质，是学习个体在与情境的互动中不断解决问题、产生新问题的过程中逐步养成的，在教学中以知识为载体，以学生发展为目标，精心设计系列探究活动，给学生更多尝试、探究发现机会，从学生数学知识发生发展过程的合理性，从学生思维过程的合理性上思考，从学生已有的知识出发，以新旧知识的连接点为教学起点，感受学习数学的乐趣，落实学科素养。

二、教学背景分析1.本课在教材中的地位本课是《普通高中课程标准实验教材A版▪必修4》第一章第二节的内容。

同角三角函数是学生学习了任意角和弧度值，任意角的三角函数后，继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起着承上启下的作用。

同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中都有着重要的作用。

所以本节课的重点是同角三角函数基本关系式及在求值、证明中的应用上。

2.学生学情学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。

从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。

从能力上看，学生主动学习能力、合作探究的能力较弱。

三、教学目标的确定及依据1.知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：（1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；（2）证明简单的三角恒等式。

2.过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

3.情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

同角三角函数的基本关系一、教学目标1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.3.情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.二、教学重点和难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用三、教学流程（一） 提问引入1、 提出问题：已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值. 2、 在解题过程中，让学生自己探索同角的三角函数关系.（二）探究新知1． 探究对同角三角函数基本关系（1） 根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“a 2sin ”，而不是：“2sin a ”，进而得到符号表达式：22sincos 1αα+=；开方计算时，注意“分类”的思想在象限角正负号问题处理时的应用. （2） 探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：αααtan cos sin =. 以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系. 为了让学生及时熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习：（1） =+ 30cos 30sin 22_______________；（2） =+++)4(cos )4(sin 22ππx x ________________；（3） ︒︒45cos 45sin ＝_______________（4） =+ 45cos 30sin 22．（3） 学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：①注意“同角”指相同的角，例如：145cos 30sin 22≠+ 、12cos 2sin 22=+αα、12cos 2sin 22=+αα； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如α=ααtan cos sin 中0cos ≠α，且αtan 需有意义等.（三）架构迁移（1）探究上述两个关系式的等价变形式教师点明：由等价变形式αα22cos 1sin -=已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式 αα22sin 1cos -=已知余弦值可以求正弦值，学生可能得到:αα2cos 1sin -±=的结论，此时，应该向学生说明：αcos 、αsin 的符号受所在象限的限制，不是无条件的，不同于“由12=x 可以推出1±=x ”这种情形，此情况类似于“⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ”而不是“a a ±=||”.等价变形式αααcos tan sin =可以将分式可以化为整式例1 已知锐角α满足3tan =α,求（1）ααααcos 2sin 5cos 4sin +-；（2）αααcos sin 2sin 2+. 让学生探究第一小题的解法，注意αsin 、αcos 、αtan 之间的关系的应用，学生的解题方法可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办法，分小组讨论，探究其解题方法.再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处.体会类比、化归思想，化未知为已知.例2 化简αα22cos )tan 1(+.本例在时间允许的情况下进行，否则放到下节课解决.若时间允许，则进行强化练习：练习1：已知54cos -=α，且α为第三象限角，求αsin 、αtan 的值.该题与引例配套. 练习2:已知ααcos 5sin =，求ααααcos 2sin cos sin -+的值.该题与例2配套. （四）反思升华：由学生自己反思：“本节课你有些什么收获？”让学生自己总结本节课所学内容，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节。

第七课时同角三角函数的基本关系式教学目标：理解并掌握同角三角函数的基本关系，并能应用之解决一类三角函数的求值问题，通过同角三角函数关系的应用，使学生面对问题养成分析的习惯、学会分析的方法.教学重点：同角三角函数的基本关系.教学难点：已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值时，符号的确定.教学过程：Ⅰ.自学指导今天我们来学习同角三角函数的基本关系式，课下同学们已经对这部分内容进行了预习，这些关系式的具体内容是_________.sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα请同学们再仔细看一下课本，看这些关系式是怎样得到的?它们的成立有条件吗?若有，是什么?这些关系式都是由任意角的三角函数定义得到的，它们的成立有条件：一是必须为同角，二是关系式对式子两边都有意义的角sinαcosα＝tanα成立.通过分析，我们必须明确注意：(1)关系式是对于同角而言的.(2)关系式是对于式子两边都有意义的角而言的.(3)sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的.这两个关系式是两个三角恒等式，只要α的值使式子的两边都有意义，无论α取什么值，三个式子分别都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的.以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.这些关系式有哪些方面的应用呢?①求值②化简③证明(学生边答，教师边板书).所谓求值，就是已知某角的一个三角函数值，可以利用这些关系式，求出这个角其余的各三角函数值，但应该注意，利用平方关系求值时，由于要开平方，就面临一个正负号的选择问题，究竟选正号还是选负号，要由角所在的象限决定.注意：(1)应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限.(2)正确选用公式以及公式的变用或活用.课本上的例1、例2、例3都是已知角α的一个三角函数值，求它的其余三角函数值问题，例1和例2有什么不同呢?例1还告诉了角所在的象限，例2没有告诉.例2没有告诉角所在的象限，求解的过程就比较复杂啦，因为已知一个角的某一三角函数值，这个角一般位于两个象限，故要分两种情况讨论求值.现在我们来看一下例3，例3说明若角的某一三角函数值不是一个具体值(或者说是一个字母)时，又要分这个字母表示的数是正、是负、是零三种情况进行讨论，这又增加了问题的复杂程度.归纳三个例题之情况，求值的问题有三种类型：①已知某角的某一三角函数值，且知角的象限；②已知某角的某一三角函数值，不知角的象限；③已知某角的某一三角函数值为字母，不知角的象限.对于第二、第三种类型一定要注意分情况讨论，否则，将导致解答的不完整.下面我们来练习几个题Ⅱ.课堂练习课本P18练习1、2、3、4、5、6.Ⅲ.课时小结本节课我们学习了同角三角函数的基本关系，明确了关系式成立的条件以及关系式的作用，并对在求值方面的应用进行了练习与分析，特别要注意利用平方关系求值时正负号的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限.求值问题有三种类型，对不清楚角所在象限的，一定要分一切可能情况，不遗漏地进行讨论.这些关系式贯穿于三角学习的始终，希望同学们很好掌握.Ⅳ.课后作业课本P23习题7、8、9.同角三角函数的基本关系式1．若（12）sin θ＜1，则θ的取值范围是 （ ） A.{θ|π2 +2k π＜θ＜32π+2k π，k ∈Z } B.{θ|π+2k π＜θ＜2π+2k π，k ∈Z } C.{θ|2k π＜θ＜π+2k π，k ∈Z } D.{θ|π2+2k π＜θ＜π+2k π，k ∈Z } 2．若sin θ＝45 ，且θ为第二象限角，则tan θ的值等于（ ）A.－43B.±34C.±43D. 343．已知α为锐角，且2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α的值为 （） A. 31010 B. 10103 C. 310 D. 3774．设tan θta n θ－1 ＝－1，则7sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ 的值是 （） A.4 B.6 C.5 D. 525．已知sin θ－cos θ＝12 ，则sin 3θ－cos 3θ＝ .6．已知tan α＝2，则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α＝ .7．化简1＋cos α1－cos α ＋1－cos α1＋cos α (α为第四象限角）＝ .8．已知cos θ＝t ，求sin θ，tan θ的值.9．已知tan α＝2，求下列各式的值.（1）4sin α－2cos α3cos α＋3sin α (2) 2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α(3) 23 sin 2α＋14cos 2α同角三角函数的基本关系式答案1．C 2．A 3．A 4．C 5．1116 6．0 7．－2sin α8．已知cos θ＝t ，求sin θ，tan θ的值.分析：依据cos θ＝t ，对t 进行分类讨论，利用同角三角函数关系式化简求值. 解：（1）当0＜t ＜1时，θ为第一或第四象限角，θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ ＝1－t 2 t θ为第四象限时，sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2 t (2)当－1＜t ＜0时，θ在第二或第三象限，θ为第二象限时，sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2 t θ为第三象限时，sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2 t (3)当t ＝1时，θ＝2k π(k ∈Z )，sin θ＝0，tan θ＝0，(4)当t ＝0时，θ＝2k π±π2(k ∈Z ) θ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，sin θ＝1，tan θ不存在 θ＝2k π－π2(k ∈Z )时，sin θ＝－1，tan θ不存在. （5）当t ＝－1时，θ＝2k π＋π(k ∈Z )sin θ＝0，tan θ＝09．已知tan α＝2，求下列各式的值.（1）4sin α－2cos α3cos α＋3sin α (2) 2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α(3) 23 sin 2α＋14cos 2α 分析：依据已知条件tan α＝2，求出sin α与cos α，或将所求式子用tan α表示出来. 解：（1）∵cos α≠0∴ 原式＝4sin α－2cos αcos α 3cos α＋3sin αcos α＝4tan α－23＋3tan α ＝23 (2)∵cos 2α≠0∴2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α ＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝57(3) 23sin2α＋14cos2α＝23sin2α＋14cos2αsin2α＋cos2α＝23tan2α＋14tan2α＋1＝712.。

高中数学7.2.2 同角三角函数关系教案教案名称：高中数学7.2.2 同角三角函数关系教学教案教学目标：1. 理解同角三角函数的概念及其相互关系。

2. 掌握同角三角函数之间的基本公式和性质。

3. 能够应用所学知识解决相关问题。

教学重点：1. 同角三角函数的概念及其相互关系。

2. 同角三角函数之间的基本公式和性质。

教学难点：1. 理解同角三角函数之间的基本公式和性质。

2. 掌握同角三角函数在实际问题中的应用方法。

教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）通过引导学生观察和思考，介绍什么是同角三角函数。

让学生了解同一锐角对应的正弦、余弦、正切、余切四种比值构成了同一个锐角下的四个不同比值，即为同一锐角下的四个三角函数。

并通过实例演示，让学生理解并掌握如何定义这些比值。

Step 2：基本公式（15分钟）详细讲解同一锐角下正弦、余弦、正切、余切四种比值之间的基本公式和性质。

讲解如何根据这些公式来确定同一锐角下的不同三角函数之间的关系，并通过具体例子演示，让学生掌握同角三角函数之间的基本公式和性质。

Step 3：应用分析（20分钟）提供一些实际问题案例，让学生应用所学知识进行分析和解决。

例如，在一个三角形求出某个角度的正弦、余弦、正切、余切值等参数。

教师可以给予指导和提示，引导学生利用所学知识进行推理和分析。

通过实例演示，让学生掌握如何运用所学知识解决实际问题，并能够独立应用于其他情境。

Step 4：练习与巩固（10分钟）提供一些涉及同角三角函数的练习题目，让学生独立或小组合作完成。

教师可以给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。

鼓励学生自主思考，并培养他们灵活运用所学知识解决问题的能力。

Step 5：拓展与应用（10分钟）引导学生思考更复杂情境下的应用问题。

例如，在一个航空测量问题中求出两个飞机之间的距离等参数。

让学生探究并应用所学知识解决这些拓展性问题，提高他们的数理思维和逻辑推理能力。

Step 6：总结与归纳（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结同角三角函数的概念、基本公式和性质，并掌握同角三角函数在实际问题中的应用方法。

同角三角函数的基本关系一、教学目标1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2)掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。

2.过程与方法目标（1)牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时,注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.3。

情感、态度、价值观目标通过教学,使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

二、教学重点和难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用三、教学流程（一） 提问引入1、 提出问题:已知53sin -=α,求αcos 、αtan 的值.2、在解题过程中,让学生自己探索同角的三角函数关系。

（二）探究新知1． 探究对同角三角函数基本关系（1） 根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“a 2sin ”，而不是：“2sin a "，进而得到符号表达式：22sin cos 1αα+=;开方计算时，注意“分类"的思想在象限角正负号问题处理时的应用。

（2） 探究正弦、余弦和正切函数三者的关系:αααtan cos sin =。

以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系。

为了让学生及时熟悉公式,同时为后续学生归纳“同角"作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习:（1） =+ 30cos 30sin 22_______________；（2） =+++)4(cos )4(sin 22ππx x ________________；（3） ︒︒45cos 45sin ＝_______________（4） =+ 45cos 30sin 22．（3） 学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题： ①注意“同角"指相同的角,例如：145cos 30sin 22≠+ 、12cos 2sin 22=+αα、12cos 2sin 22=+αα；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如α=ααtan cos sin 中0cos ≠α，且αtan 需有意义等。