高中数学第三章推理与证明3_4“法力无边”的反证法素材北师大版选修1_2

§4 反证法课时过关·能力提升1.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上.答案:B2.用反证法证明“如果a>b,那么”假设的内容应是ABC且或解析:假设的内容应是结论的反面的否定是或故选.答案:D3.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.答案:B4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析:假设两个数列中存在序号与数值均相等的项,即存在n0,使得则an0+2=bn0+1,即an0+1=bn0,则an0<bn0,∵n0∈N+,∴a<b,这与a>b矛盾.∴不存在n0,使得故选A.答案:A5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然.充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c,b+c<a,∴a+b+b+c<c+a,∴b<0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R 同时大于零.答案:C6.用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实数根”时,假设应为.答案:两个方程都没有实数根7.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.背面朝上,打乱后甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.答案:1和38.★设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出.若a=b=1,则a+b=2,故②推不出.若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出.若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤ 且b≤ ,则a+b≤ .与a+b>2矛盾,因此假设不成立.故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,不妨设抛物线的方程为y2=ax(a>0),且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上不同的四点.若AD,BC的斜率均不存在,由抛物线的对称性知四边形ABCD为梯形,不是平行四边形.若AD,BC的斜率有一个不存在,则易知AD与BC不平行,故四边形ABCD不是平行四边形.若AD,BC的斜率均存在,则k AB----同理k BC假设四边形ABCD是平行四边形,则k AB=k CD,k BC=k DA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.10.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2,出现矛盾,所以假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于11.★已知x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2求证 ,分析:本题中的条件比较复杂,而结论比较简单,不太容易入手证明,可用反证法证明.证明由条件,得y+z=1-x,y2+z2≥则≥x2=x2-假设x,y,z中有负数,不妨设x<0,则x-这与-矛盾, ∴x,y,z中没有负数.假设x,y,z中有一个大于不妨设x则x>0.-这与-矛盾.∴x,y,z中没有大于的.综上所述,x,y,z∈ ,。

高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。

”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。

类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。

例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。

分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。

在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。

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师大版选修1-2一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个不”对立面是“都”,故反设正确的是B。

答案：B2．下列命题错误的是( ）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a,b］上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数,则a、b中至少有一个为奇数解析: a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．答案：D3．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法证明a＞0，b＞0，c＞0时的反设为( )A．a＜0,b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0C．a、b、c不全是正数D．abc＜0答案：C4．设a、b、c都是正数,则三个数a＋1b、b＋错误!、c＋错误!( )A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析：a＋错误!＋b＋错误!＋c＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥6，故三个数中至少有一个不小于2.答案: D二、填空题5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°。