2019-2020学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1.已知集合{}{}2|00,1x x ax +==,则实数a 的值为( ).A .1-B .0C .1D .2【答案】A【解析】依题意,有{}{}0,0,1a -=,所以,1a =-.选A. 2.若集合{}{|3},0A x x B x x =<=,则A B =( )A.{|03}x x <<B.{|0}x x >C.{|3}x x <D.R【答案】D【解析】集合{}{|3},0A x x B x x =<=, 所以 A B R ⋃=. 故选D.3.已知集合A ={a -2,2a 2+5a ,12},-3∈A ,则a 的值为( ) A .1- B .32- C .1或32-D .1-或32-【答案】B【解析】根据元素与集合关系分类讨论,再验证互异性得结果 【详解】 ∵-3∈A∴-3=a -2或-3=2a 2+5a ∴a =-1或a =-32, ∴当a =-1时,a -2=-3,2a 2+5a =-3,不符合集合中元素的互异性,故a =-1应舍去当a =-32时,a -2=-72,2a 2+5a =-3,满足. ∴a =-32.故选B . 【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性,考查基本分析求解能力,属基础题.4.已知全集U =R ,则正确表示集合21|1M y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭和集合{|N x y ==关系的韦恩图是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】首先解出,M N ,然后判断两个集合的关系. 【详解】{}01M y y =<≤, 210x -≥,解得11x -≤≤{}11N x x ∴=-≤≤M N ,故选D.【点睛】本题考查了判断集合的关系,属于简单题型.5.已知集合{}|15A x x =≤<,{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =I ,则a 的取值范围为( ) A .3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B .3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C .(],1-∞-D .3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】首先确定B A ⊂,分B φ=和B φ≠两种情况讨论,求a 的取值范围. 【详解】B A B =Q IB A ∴⊂,当B φ=时,332a a a -≥+⇒≤-; 当B φ≠时,3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩,312a ∴-<≤- , 综上:1a ≤-, 故选C.本题考查根据集合的包含关系,求参数取值范围,意在考查分类讨论的思想,属于基础题型.6.设全集为R,函数()01x f x +=的定义域为M,则R C M = ( )A.{}| 2 x x ≥B.{}|2 1 x x x <≠-且C.{}|2 1 x x x ≥=-或D.{}|2 1 x x x >=-或【答案】C【解析】先求得函数的定义域M ,然后再在实数范围内求其补集. 【详解】 由1020x x +≠⎧⎨->⎩,解得2x <且1x ≠-,故其补集为{|2x x ≥或}1x =-.故选C .【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,考查集合补集的基本概念和求补集.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解:一个是分数的分母不能为零,二个是偶次方根的被开方数为非负数,第三是对数的真数要大于零,第四个是零次方的底数不能为零.选择题要看清楚选项,主要是注意是否有等号.7.x ∈R ,则()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A.()2f x x =, ()g x =B.()1f x =, ()()01g x x =-C.()2f xx=, ()()2xg x =D.()293x f x x -=+, ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中:()g x =2x x =≠;B 中:()()()0110g x x x =-=≠;C 中:,()2f x x=1,01,0x x >⎧=⎨-<⎩ ,()()2xg x =1,01,0x x >⎧=⎨-<⎩;D 中:()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.8.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为221y x =+,值域为{}5,19的“孪生函数”共有( )A .4个B .6个C .8个D .9个【解析】根据孪生函数的定义,求出2215x +=和22119x +=的x 值,再根据定义域和值域的关系一一列举出可能的定义域. 【详解】当5y =时,2215x +=,解得x =19y =时,22119x +=,解得3x =±,当定义域有两个元素时有}}{}{},3,,3--,当定义域有3个元素时有}}}{},3,3,3---,当定义域有4个元素时有{}3-,所以共有9个,故选D. 【点睛】本题考查新定义,对新定义的理解,以及理解定义域和值域的关系,属于中档题型.9.已知函数()2,01,0x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩,()()g x f x =--,则函数()g x 的图象可能是下面的哪个( )A. B. C. D.【答案】D【解析】画出函数()y f x =的图象,然后以原点为对称中心进行对称后可得函数()g x 的图象. 【详解】画出函数()2,01,0x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩的图象,如下图所示.将此图象以原点为对称中心进行对称后可得函数()g x 的图象如选项D 所示. 故选D . 【点睛】本题考查图象的变换问题,函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换,要理解函数图象变换的实质,每一次变换都针对自变量“x”而言的.在本题中,函数()y f x =与函数()y f x =--的图象是关于原点对称的.10.已知函数()2,02,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,方程()()20f x bf x -=,()0,1b ∈,则方程的根的个数是( ) A .2 B .3C .4D .5【答案】D【解析】首先根据方程解出()0f x =或()f x b =,()0,1b ∈,再画出函数的图象,根据图象交点个数确定方程的实数根. 【详解】()()0f x f x b ⋅-=⎡⎤⎣⎦,即()0f x =或()f x b =,()0,1b ∈如图,画出函数的图象由图象可知()0f x =时,有2个交点,当()f x b =,()0,1b ∈时有3个交点, 所以共有5个交点,故选D. 【点睛】本题考查了数形结合求解方程实数根的问题,函数的零点是对应方程的实数根,同时也是函数图象和x 轴的交点,求()()0f x g x -=的实数根也可转化为求()y f x =和()y g x =的图象的交点个数.11.已知偶函数()f x 满足:对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠,都有()()12120f x f x x x ->-成立,则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是( )A .12,33⎛⎫⎪⎝⎭ B .12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎛⎫⎪⎝⎭D .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为函数是偶函数,所以不等式转化为()1213fx f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,再根据函数的单调性转化为1213x -<解不等式. 【详解】有题意可知,x ∈[)0,+∞时,函数单调递增, 且函数是偶函数,()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得1233x <<.故选A. 【点睛】本题考查了利用函数的性质解抽象不等式,当函数是偶函数,并且在()0,∞+单调递增时,解不等式()()12f x f x <时,根据()()f x fx =转化为原不等式为()()12f x f x <,再根据单调性表示为12x x <求解.12.若函数()y f x =的图象关于点()1,1-对称,()1xg x x -=-,若()f x 与()g x 图象的交点坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,()33,x y ,…,()()*,m m x y m N∈,则()()()112233x y x y x y ++++++()m m x y ⋅⋅⋅++=( )A .0B .2C .2m -D .4m【答案】A【解析】()111g x x =-+-可知()g x 关于()1,1-对称,两个函数都关于()1,1-对称,所以两个函数的交点也关于()1,1-对称,根据对称性求解. 【详解】()()1111111x x g x x x x ----===-----,可知函数关于()1,1-对称, 而()y f x =的图象也关于点()1,1-对称,∴12...22m mx x x m +++=⨯=, ()12 (22)m my y y m +++=⨯-=-,()()()()112233...0m m x y x y x y x y ∴++++++++=,故选A. 【点睛】本题考查了根据函数的对称性求交点和的问题,本题的关键是分析函数()g x 的对称性,分析出交点也关于()1,1-对称,问题迎刃而解.二、填空题13.写出函数()22f x x x =-+的单调递增区间__________.【答案】(,1)-∞-和(0,1)【解析】先化简函数函数得2222,0()22,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨--<⎩,再画出函数的图像得到函数的单调递增区间. 【详解】由题意,函数2222,0()22,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨--<⎩,作出函数()f x 的图象如图所示:由图象知,函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(0,1). 故答案为:(),1-∞-和()0,1 【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像. 14.已知函数()31f x ax bx =++,若()8f a =,则()f a -=__________.【答案】-6【解析】4()18f a a ab =++=,4()1f a a ab -=--+,所以()82f a -+=,()6f a -=-.点睛:本题函数的奇偶性,解题本质是利用奇函数的性质,因此关键是构造出一个奇函数,设3()()1g x f x ax bx =-=+,则()g x 为奇函数,()()1817g a f a =-=-=,于是有()()7g a g a -=-=-,所以()()17g a f a -=--=-,()6f a -=-.15.已知R λ∈,函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩,若()f x 的图像与x 轴恰好有2个交点,则λ的取值范围是________. 【答案】(]()1,34,+∞【解析】当4λ>时,2个交点都是2430x x -+=的实数根,当4λ≤时,若()f x 的图像与x 轴恰好有2个交点,即4,y x x λ=-≥有1个,另一个是243,y x x x λ=-+<的一个,求得λ的取值范围. 【详解】若()f x 的图象与x 轴恰好有2个交点,即函数()f x 恰有两个零点.∵当4λ>时,()40f x x =->,此时()2430f x x x =-+=,∴1x =或3,即在(),λ-∞上有两个零点;∵当4λ≤时,()40f x x =-=,4x =, 由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.∴综上,λ的取值范围为(]()1,34,+∞.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围,因为本题是分段函数,所以需讨论零点分布在哪个函数,意在考查分类讨论的思想,属于中档题型.16.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x ,若函数()f x 在()0,∞+上为增函数,且()10f =,则不等式()0f x x<的解集为______. 【答案】()()1,00,1-U【解析】不等式转化为()00x f x >⎧⎨<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩,再根据函数的图象求不等式的解集.【详解】由题意得到()f x 与x 异号,故不等式()0f x x <可转化为:()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩, 根据题意可作函数图象,如图所示:由图象可得:当0x <时,()0f x >,10x -<<;当0x >时,()0f x <,01x <<,则不等式()0f x x<的解集是()()1,00,1-U . 【点睛】本题考查利用函数性质和图象求解不等式的解集,意在考查数形结合分析问题的思想,属于基础题型.三、解答题 17.(1)计算:1214334164181227816---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2)化简:)11620,0a b a b >>⎫⎪⎭.【答案】(1)22;(2)ab. 【解析】(1)利用指数运算公式化简;(2mna =化简,再根据指数运算公式化简. 【详解】 (1)1214334164181227816---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭421642233=+++=; (2)1162a b ⎫⎪⎭()1122323543342711133362ab a b a b a b a b b a b ⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了指数运算公式和根式与分数指数幂的运算公式,意在考查公式转化和计算能力.18.设全集U=R ,集合A={x|1≤x <4},B={x|2a≤x <3-a}.(1)若a=-2,求B∩A ,B∩(∁U A);(2)若A ∪B=A ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)B ∩A =[1,4),B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5);(2).【解析】(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可;(2 )分类讨论是否是空集,列出不等式组求解即可. 【详解】(1)∵A ={x |1≤x <4},∴∁U A ={x |x <1或x ≥4},∵B ={x |2a ≤x <3-a },∴a =-2时,B ={-4≤x <5},所以B ∩A =[1,4), B ∩(∁U A )={x |-4≤x <1或4≤x <5}=[-4,1)∪[4,5). (2)A ∪B =A ⇔B ⊆A ,①B =∅时,则有2a ≥3-a ,∴a ≥1,②B ≠∅时,则有,∴,综上所述,所求a 的取值范围为.【点睛】 本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用,属于简答题.要解答本题,首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想,将并集问题转化为子集问题,其次分类讨论进行解答,解答集合子集过程中,一定要注意空集的讨论,这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方,一定不等掉以轻心.19.已知函数()211f x x x =--+.(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象; (2)根据函数的图象回答下列问题:①求函数的单调区间; ②求函数的值域;③求关于的方程在区间上解的个数.(回答上述3个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤)【答案】(1)见解析;(2)①函数的单调递增区间为[1,)+∞;函数的单调递减区间为(,1]-∞;②函数的值域为[0,)+∞;③方程()2f x =在区间[0,2]上解的个数为1个.【解析】(1)可先去绝对值变成分段函数后再画图,也可直接用画图的三步“列表,描点,连线”直接画图;(2)①图象向上去的部分对应的是增区间,向下来的部分对应的是减区间;②观察图象找出最低点和最高点即为函数的最小和最大值;③数形结合画图观察交点个数即可.【详解】(1)作图要规范:每条线上必须标明至少两个点的坐标,不在坐标轴上的点要用虚线标明对应的坐标值(教科书第28页例题的要求)(有一条直线没有标明点的坐标扣1分,两条都没标扣2分) ,(2)①函数的单调递增区间为[1,)+∞; 函数的单调递减区间为(,1]-∞; ②函数的值域为; ③方程在区间上解的个数为1个 .【考点】画函数图象,函数的单调性和图象法求函数值域.20.已知一次函数()f x 是增函数且满足()43f f x x ⎡⎤=-⎣⎦.(1)求函数()f x 的表达式;(2)若不等式()f x m <对于一切[]2,2x ∈-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-;(2)()3,+∞.【解析】(1)设()()0f x ax b a =+>,代入()()43f f x a ax b b x =++=-⎡⎤⎣⎦,再根据两边对应系数相等求解析式;(2)若不等式()f x m <对于一切[]2,2x ∈-恒成立,转化为()max m f x >,这样利用一次函数的单调性求函数的最大值.【详解】(1)由题意可设()()0f x ax b a =+>.由()()43f f x x =-,得:()43a ax b b x ++=-,即243a x ab b x ++=-,所以,243a ab b ⎧=⎨+=-⎩,解得:21a b =⎧⎨=-⎩或23a b =-⎧⎨=⎩, 因为0a >,所以2a =,1b =-.所以()21f x x =-;(2)由()f x m <,得21m x >-.不等式()f x m <对于一切[]2,2x ∈-恒成立, 即为21m x >-对于一切[]2,2x ∈-恒成立,因为函数()21f x x =-在[]22-,上为增函数,所以()()max 23f x f ==.所以3m >. 所以,不等式()f x m <对于一切[]2,2x ∈-恒成立的实数m 的取值范围()3,+∞.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,一般求解析式的方法分为:1.待定系数法,适应于已知函数类型;2.代入法,适用于已知()f x 的解析式,求()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式;3.换元法,适用于已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式,求()f x 的解析式;4.方程组法,适用于已知()f x 和1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程,或()f x 和()f x -的方程. 21.已知函数2()21f x x ax a =-++-,(1)若2a =,求()f x 在区间[0,3]上的最小值;(2)若()f x 在区间[0,1]上有最大值3,求实数a 的值.【答案】(1)min ()(0)1f x f ==-;(2)2a =-或3a =.【解析】试题分析:(1)先求函数对称轴,再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法(2)根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法,再根据最大值为3,解方程求出实数a 的值试题解析:解:(1)若2a =,则()()224123f x x x x =-+-=--+函数图像开口向下,对称轴为2x =,所以函数()f x 在区间[]0,2上是单调递增的,在区间[]2,3上是单调递减的,有又()01f =-,()32f =()()min 01f x f ∴==-(2)对称轴为x a =当0a ≤时,函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的,则()()m a x 013f x f a ==-=,即2a =-;当01a <<时,函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的,在区间[],1a 上是单调递减的,则()()2max 13f x f a a a ==-+=,解得21a =-或,不符合; 当1a ≥时,函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的,则()()max 11213f x f a a ==-++-=,解得3a =;综上所述,2a =-或3a =点睛:(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值;(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程,从而可得()f x 的值或解析式. 22.已知函数()243f x x x a =-++,a R ∈. (1)若函数()y f x =的图像与x 轴无交点,求a 的取值范围;(2)若方程()0f x =在区间[]1,1-上存在实根,求a 的取值范围;(3)设函数()52g x bx b =+-,b R ∈,当0a =时若对任意的[]11,4x ∈,总存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,求b 的取值范围.【答案】(1){}|1a a >;(2){}|80a a -≤≤;(3){|6b b ≥或}3b ≤-.【解析】(1)函数与x 轴无交点,即方程2430x x a -++=没有实数根,即可求得a 的取值范围;(2)函数的对称轴是2x =,所以函数在[]1,1-上单调递减,则需满足()()1010f f ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩;(3)根据题意可知,函数()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合是函数()yg x =在[]1,4上的函数值的取值集合的子集,对于函数()g x ,可分0,0,0b b b >=<讨论函数的值域,利用子集关系列不等式求b 的范围.【详解】(1)若函数()y f x =的图象与x 轴无关点,则方程()0f x =的根的判别式∆<0,即()16430a -+<,解得1a >.故a 的取值范围为{}|1a a >.(2)因为函数()243f x x x a =-++的图象的对称轴是直线2x =, 所以()y f x =在[]1,1-上是减函数.又()y f x =在[]1,1-上存在零点,所以()()1010f f ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩,即080a a ≤⎧⎨+≥⎩,解得80a -≤≤.故a 的取值范围为{}|80a a -≤≤.(3)若对任意的[]11,4x ∈,总存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,则函数()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合是函数()y g x =在[]1,4上的函数值的取值集合的子集. 当0a =时,函数()243f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =,所以()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合为[]1,3-.①当0b =时,()5g x =,不符合题意,舍去.②当0b >时,()g x 在[]1,4上的值域为[]5,52b b -+,只需51523b b -≤-⎧⎨+≥⎩,解得6b ≥. ③当0b <时,()g x 在[]1,4上的值域为[]52,5b b +-,只需52153b b +≤-⎧⎨-≥⎩,解得3b ≤-. 综上,b 的取值范围为{|6b b ≥或}3b ≤-.【点睛】 本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围,以及恒成立求参数的取值范围的综合问题,一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围,可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法,或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.。