§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.知识点一直线与平面垂直的定义思考空间两条直线垂直一定相交吗？答案不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直. 知识点二直线与平面垂直的判定定理知识点三 直线与平面所成的角1.若直线l ⊥平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × )2.若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α.( × )3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × )4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解 例1 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ②若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线； ③若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ③④解析 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.反思感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)①③④解析(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.题型二直线与平面垂直的判定例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.求直线与平面所成的角典例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 解 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角， 在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 设正方体的棱长为1，则A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，又0°≤∠A 1BO ≤90°，∴∠A 1BO ＝30°，∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°. [素养评析] (1)求直线与平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案 B2.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①错，②③对.3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB答案 B解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案90°解析连接AD1，∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.1.直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).(2)转移法(找过点与面平行的线或面).(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内三条不都平行的直线；②l垂直于α内无数条直线；③l垂直于α内正六边形的三条边.其中能得出l⊥α的所有条件序号是()A.②B.①C.①③D.③答案 C2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1DD.异面直线AD与CB1所成的角为45°考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD 与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.3.下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析①④不正确，其他三项均正确.4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定答案 C解析∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为()A.45°B.60°C.30°D.75°答案 A解析取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝2，则AA1＝1，AD＝62，AB1＝3，∴sin∠AB1D＝ADAB1＝22，∴∠AB1D＝45°.故选A.8.如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()①BC⊥平面P AB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A.1个B.2个C.3个D.4个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，故①正确；由BC⊥平面P AB，得BC⊥AD，又P A＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.故选C.二、填空题9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.答案a与b相交10.如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB 与平面ABC所成的角等于45°11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)三、解答题12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，P A＝2，PD＝22，求证：AD⊥平面P AB.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明在△P AD中，由P A＝2，AD＝2，PD＝22，可得P A2＋AD2＝PD2，即AD⊥P A.又AD⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，所以AD⊥平面P AB.13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明取CD的中点G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.AC ⊥SBB.AB ∥平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角考点 直线与平面所成的角题点 直线与平面所成的角答案 D解析 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确.15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，如图.又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC . 又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD. 又∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD.∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.。
