新北师版初中数学九年级上册4.4第4课时黄金分割2习题(精品).doc

第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄 金 分 割
教学目标
1. 理解黄金分割的意义，并能解决与黄金分割有关的题 目．(重点)
2. 理解黄金矩形，并能解决与之有关的问题．(难点)
课前预习
(一)知识探究 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图)， 如果 AACB＝BACC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫 做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点． 理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB， ∴BBEC＝BACB，即 BC2＝BE·AB. ∵AE＝BC， ∴AE2＝BE·AB， 即点 E 是线段 AB 的黄金分割点．
比AACB＝
5－1 2.
【思路点拨】设较长的线段 AC 的长为 x，根据黄金分割 点的定义，得出 AC2＝AB·BC，据此列出方程 x2＝1×(1－x) 求解．
解：设较长的线段 AC 的长为 x，则 AC2＝AB·BC，即
x2＝1×(1－x)，
解得 x1＝ 52－1，x2＝－ 25－1(舍去)，
宽为 AC 的矩形面积，则 S1 与 S2 的大小关系为( C )
A. S1＞S2
B. S1<S2
C. S1＝S2
D. 不能确定
3. 已知线段 AB 的长为 10 cm，点 C 是线段 AB 的黄金 分割点，且 AC＞BC，则 AC＝ ((55 5－－55)) cm.(结果保留根 号)

北师版九年级数学上学期第4章4.4.4线段的黄金分割培优训练卷(含答案）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是()A．如果ACAB＝BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．已知线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP＝()A.5－12B.5＋12C.5＋1D.5－13．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是()A.AC AB＝BC ACB．BC2＝AB·ACC.AC AB＝5－1 2D.BCAC≈0.6184．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠DCB＝72°，△ABC与△BDC是黄金三角形，即D是线段AB的黄金分割点(AD>DB)，则BCAB的值是()A.5－12B.5＋12C.52-1 D.52+15．矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1D．a＝2，b＝5－16．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为()A．216°B．135°C．120°D．108°7．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长为()A．(35－3)cmB．(9－35)cmC．(35－3)cm或(9－35)cmD．(9－35)cm或(65－6)cm8．已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（）A．(55－10)cmB．(15－55)cmC．(55－5)cmD．(10－25)cm9．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A．4cm B．6cmC．8cm D．10cm10．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A．32.36cm B．13.6cmC．12.36cm D．7.64cm二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知线段MN，P是它的黄金分割点，若MN＝5＋1，则线段MP的长是__________________．12．根据生物学知识得到当气温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金数时人体最舒适，那么这个气温是___________℃.(精确到整数)13.当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10m，节目主持人应站在距离舞台一端____________处观众观看最协调．(精确到0.1m)14．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．15．如图的五角星中，AD＝BC，且C，D两点都是AB的黄金分割点，AB＝1，则CD的长为____________.16．把一根长为4m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.17．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．18.如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD 相交于点F，那么BF∶DF的值为________．三．解答题（共7小题，46分）19.(6分)如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离（用含有根式的式子表示）．20.(6分)宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'21.(6分)如图，线段AB＝8cm，C，D是线段AB的两个黄金分割点，求线段CD的长．22.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=5－12，在AC边上截取AD=BC，连接BD．通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系.23.(6分)宽与长之比为5－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．24.(8分)如图，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6cm，求AB的长．25.(8分)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB 的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．参考答案1-5CDBAD6-10BCCCC11.2或5－112.2313.6.2m或3.8m14．25－415.5－216.(45－8)17.6-2518.5－1219.解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝80×5－12＝(405－40)cm ，∴CD ＝BD －(AB －BD)＝2BD －AB ＝(805－160)cm.20.证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a.∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a.在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a.又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ，∴CE CD ＝(5－1)a 2a ＝5－12，∴矩形DCEF 为黄金矩形．21.解：∵C ，D 是线段AB 的两个黄金分割点，则AD ＝5－12AB ＝4(5－1)＝BC ，∴AC ＝8－BC ＝8－4(5－1)＝12－45，∴CD ＝AD －AC ＝45－4－12＋45＝(85－16)(cm)22.解：∵AD=BC ，BC=5－12，∴AD=5－12，DC=1﹣5－12=3-52．∴AD 2=5+1-254=3-52，AC•CD=1×3-52=3-52．∴AD 2=AC•CD ．23.解：留下的矩形CDFE 还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB ＝DC ＝AF.又∵AB AD ＝5－12，∴AF AD ＝5－12，即点F 是线段AD 的黄金分割点，∴FD AF ＝AF AD ＝5－12，∴FD DC ＝5－12，∴矩形CDFE 是黄金矩形．24.解：∵C ，D 均为线段AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BC AB，∴AD ＝BC ，∴AB －AD ＝AB －BC ，即BD ＝AC.设AC ＝BD ＝x cm ，则AD ＝(x ＋6)cm ，AB ＝(2x ＋6)cm.∵AD AB ＝5－12，∴x ＋62x ＋6＝5－12，∴x ＋62（x ＋3）＝5－12，解得x ＝35＋3，∴AB ＝(65＋12)cm.25.解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∴∠BDC ＝72°，∴BC ＝BD ＝AD.∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ，∴△BCD ∽△ACB ，∴BC AC ＝CD CB，即BC 2＝AC·CD ，∴AD 2＝AC·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点．(2)设AD ＝x ，则CD ＝1－x.由(1)得x 2＝1－x.解得x 1＝－1－52(舍去)，x 2＝－1＋52，∴AD ＝－1＋52.。

5．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比 52－1(约为 0.618)，就称这个矩形为 黄金矩形．若黄金矩形的宽为 5－1，则长为__2__.
6．已知线段 AB＝10 cm，点 C、D 是线段 AB 的两个不同黄金分割点(点 C 靠近 点 A，点 D 靠近点 B)，求 C、D 之间的距离．
解：∵点 C、D 是 AB 上的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝ 52－1AB＝(5 5－5)cm， ∴CD＝AD＋BC－AB＝(10 5－20)cm，即 C、D 之间的距离为(10 5－20)cm.
黄金比＝ 52－1≈0.618.
【典例】如图，已知线段AB＝a，C、D两点是AB上的两个黄金 分割点，求线段CD的长．
分析：由黄金分割比得到线段之间的长度关系，从而求出线段 的长．
解答：∵C、D 两点是线段 AB 上的黄金分割点，AB＝a，
∴AC＝ 52－1AB＝ 52－1a，AD＝BC＝1－ 52－1AB＝3－2 5AB＝3－2 5a，
分析：由黄金分割比得到线段之间的长度关系，从而求出线段的长．
1 1 10．【易错题】已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC＝___________________________. (1)证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝2(180°－∠A)＝2(180°－36°)＝72°. 分析：由黄金分割比得到线段之间的长度关系，从而求出线段的长．
能力提升
8．宽与长的比是 52－1(约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方
法画出黄金矩形：如图，作正方形 ABCD，分别取 AD、BC 的中点 E、F，连接 EF、
DF，作∠DFC 的平分线，交 AD 的延长线于点 H，作 HG⊥BC，交 BC 的延长线于

◎基础训练
1. 已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下
列各式中不正确的是( C )
A．AM∶BM＝AB∶AM
B．AM＝
5－1 2 AB
C．BM＝
5－1 2 AB
D．AM≈0.618AB
2. (2017·六盘水)矩形的两边长分别为 a、b，下列 数据能构成黄金矩形的是( D )
A．a＝4，b＝ 5＋2 B．a＝4，b＝ 5－2 C．a＝2，b＝ 5＋1 D．a＝2，b＝ 5－1
4. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一
本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为 20 cm，
则它的宽约为( A )
A．12.36 cm
B．13.6 cm
C．32.36 cm
D．7.64 cm
探究一：一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与 肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身 材比例好．如图，是一个参加空姐选拔的选 手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能 好看？(精确到 1 cm)
解：(1)由计算得 AD2＝3－2 5＝AC·CD； (2)由(1)得 BC2＝AC·CD，可证△CBD∽△CAB， ∴∠CBD ＝∠A，∠BDC＝∠ABC＝∠C，∴BD＝BC＝ AD，∠ABD ＝∠A，设∠ABD＝α，可得∠ABC＝∠C＝ 2α，故∠ABD＝36°.
第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
◎学习目标 1. 知道黄金分割的定义． 2. 会找一条线段的黄金分割点． 3. 会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
◎知识梳理 1. 黄金分割的意义：如图，点 C 把线段 AB 分成两 条线段 AC 和 BC，如果__AA_CB_＝__BA__CC_____ ，那么称线段 AB 被 点 C 黄 金 分 割 ． 其 中 点 C 叫 做 线 段 AB 的 ___黄__金__分__割__点__，AC 与 AB 的比叫做_____黄__金__比____，近 似数为__0_._6_1_8_______．