【步步高 学案导学设计】2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步章末总结北师大版必修2
一、直观图和三视图的画法
直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则．
例1 一几何体的三视图如图所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；
(2)计算该几何体的体积与表面积．
二、共点、共线、共面问题
1．关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上．
2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．
3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．
4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)GE与HF的交点在直线AC上．
三、平行问题
1．空间平行关系的判定方法：
(1)判定线线平行的方法．
①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；
②利用平行公理；
③利用线面平行性质定理；
④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；
⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．
(2)判断线面平行的方法：
①线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；
③面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；
④面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．
(3)面面平行的判定方法有：
①平面平行的定义(无公共点)；
②判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝A，则α∥β)；
③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，aα，bα且a∩b＝A，a′β，b′β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；
学必求其心得，业必贵于专精
［核心必知］
1．斜二测画法的规则
（1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
（3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,长度为原来的错误!。
2．立体图形的直观图的画法
立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变．
[问题思考］ 学必求其心得，业必贵于专精
1．斜二测画法中的“斜"、“二测"分别指什么？
提示：斜是指坐标轴倾斜,使之成45°，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半．
2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗?
提示:平行．
3．空间几何体的直观图一定唯一吗？
提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．
讲一讲
1．用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
[尝试解答］ 法一:(1)如图①所示， 以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°。 学必求其心得，业必贵于专精
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm,在y′轴上截取O′A′＝错误!OA，连接A′B′，A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图②所示．
法二:(1）如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
(2）画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′＝45°。
在x′轴上截取O′A′＝OA,在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝错误!OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．
学必求其心得，业必贵于专精
第1课时 平行关系的判定
［核心必知]
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
图形语言 符号语言
直线在平面内 aα
直线与平面相交 a∩α＝A
直线与平面平行 a∥α
2。直线与平面平行的判定
文字语言 图形语言 符号语言
若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
3.平面与平面平行的判定 学必求其心得，业必贵于专精
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行
［问题思考]
1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?
提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．
2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？
提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．
学必求其心得，业必贵于专精
讲一讲
1。如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。
[尝试解答］ 证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，
∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。
又∵AD平面PAD，EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD。
1．判断或证明线面平行的方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；
（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；
（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．
2．证明线线平行的方法
（1)利用三角形、梯形中位线的性质；
(2)利用平行四边形的性质； 学必求其心得，业必贵于专精
(3)利用平行线分线段成比例定理．
练一练
1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.
证明：连接AC交BD于O，连接QO。
∵四边形ABCD是平行四边形,
§1 简单几何体
1.1 简单旋转体
1.2 简单多面体
1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.掌握简单几何体的分类.
3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)
4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 两个平面平行及直线与平面垂直的概念
阅读教材P3“1.1 简单旋转体”以上部分，完成下列问题.
1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.
2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.
长方体相对的两个侧面的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
【解析】 根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.
【答案】 A
教材整理2 简单的旋转体
阅读教材P3“1.1
简单旋转体”以下至P4“1.2 简单多面体”以上部分，完成下列问题.
1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.
2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：
名称 定义 图形表示 相关概念
球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球面所 球心：半圆的圆心；
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 围成的几何体叫作球体，简称球
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱、圆锥、圆台 分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台 高：在旋转轴上这条边的长度；底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面；
侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置，都叫作侧面的母线
下列说法正确的是( )
A.直线绕定直线旋转形成柱面
