离散数学ppt

离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}

知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。

f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项

定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理