离散数学及其应用课件第8章第4节
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离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
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函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
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实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学及其应用课件第8章第4节
给定平面图G，用如下的方法构造G的对偶图G*： – 在G的每一个面fi中任取一个结点vi*作为G*的结点； – 若ek是G的两个面fi和fj的公共边，有一条边ek*=（vi*，vj*）
作为G*的边，且（vi*，vj*）与ek相交； – 若ek只是G的一个面fi的边界时，以fi中的结点vi*为结点做
环ek* ， ek*与ek相交，ek*是G*的一个环。
证明 当n=3，3个结点的简单连通平面图的边数e3f/2, 因此 e 3n-6成立。
当n 3时，G的每个面至少由3条边围成，即每个面的度数 deg(fi) 3, 所以所有面的总度数deg(fi)3f。而deg(fi) =2e , 因而有2e 3f, 即f 2e/3。代入欧拉公式 2= n-e+f n-e+2e/3 有 e 3n-6成立。因此e 3n-6成立。
二分图Km,n图的色数是多少?
四色定理
定理8.4.8(四色定理) 对一个平面图的各个面进行着色,使得 相邻的面有不同的颜色,那么所用的颜色可以不多于4色。
定义8.4.8 对于无环图G的每条边指定一种颜色，使得相邻 的边有不同的颜色，称为对图G的边着色。若能用k种颜色给G 的边着色，则称G是k-可边着色的。若对G的边着色用的最少 颜色数为k，则称G的边色数为k.
平面图
f1 v2 v1 f2 f3
v4 v6
v3 f0 v5
面f0的边界回路是一个复杂回路，Deg(f0)=9，面f1的边界回路是环， Deg(f1)=1，面f2和f3的边界回路是简单回路，Deg(f2)=3，Deg(f3)=3
定理
定理8.4.1 一个连通平面图G的边数为e，G的边将G所在的 平面划分成l个面，所有面的次数之和等于边数e的2倍，即
l
作为G*的边，且（vi*，vj*）与ek相交； – 若ek只是G的一个面fi的边界时，以fi中的结点vi*为结点做
环ek* ， ek*与ek相交，ek*是G*的一个环。
证明 当n=3，3个结点的简单连通平面图的边数e3f/2, 因此 e 3n-6成立。
当n 3时，G的每个面至少由3条边围成，即每个面的度数 deg(fi) 3, 所以所有面的总度数deg(fi)3f。而deg(fi) =2e , 因而有2e 3f, 即f 2e/3。代入欧拉公式 2= n-e+f n-e+2e/3 有 e 3n-6成立。因此e 3n-6成立。
二分图Km,n图的色数是多少?
四色定理
定理8.4.8(四色定理) 对一个平面图的各个面进行着色,使得 相邻的面有不同的颜色,那么所用的颜色可以不多于4色。
定义8.4.8 对于无环图G的每条边指定一种颜色，使得相邻 的边有不同的颜色，称为对图G的边着色。若能用k种颜色给G 的边着色，则称G是k-可边着色的。若对G的边着色用的最少 颜色数为k，则称G的边色数为k.
平面图
f1 v2 v1 f2 f3
v4 v6
v3 f0 v5
面f0的边界回路是一个复杂回路，Deg(f0)=9，面f1的边界回路是环， Deg(f1)=1，面f2和f3的边界回路是简单回路，Deg(f2)=3，Deg(f3)=3
定理
定理8.4.1 一个连通平面图G的边数为e，G的边将G所在的 平面划分成l个面，所有面的次数之和等于边数e的2倍，即
l
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
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第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学及应用PPT课件
28.04.2020
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学及应用课件
离散数学及应用课件离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学离散对象，如集合、图、树、数等。
它涵盖了一系列丰富而又有深度的主题，包括集合论、图论、数论、逻辑学等。
这些主题不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学、经济学等多个领域有所涉及。
一、离散数学的主要内容1、集合论：集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其性质和运算。
集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、补集等。
2、图论：图论是离散数学中一门研究图形和网络结构的学科。
图论中的基本概念包括节点、边、路径、环、子图等。
图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域都有广泛的应用。
3、数论：数论是研究整数性质和运算的学科。
数论中的基本概念包括整数、素数、合数、约数、倍数等。
数论在密码学、计算机科学等领域有着重要的应用。
4、逻辑学：逻辑学是研究推理和证明的学科。
逻辑学中的基本概念包括命题、推理、证明、反证等。
逻辑学在人工智能、哲学、法学等领域有着广泛的应用。
二、离散数学的应用1、计算机科学：离散数学在计算机科学中的应用广泛而重要。
例如，图论被用于解决计算机科学中的一些基本问题，如排序问题、旅行商问题等。
离散数学还在计算机科学的其他领域有所应用，如算法设计、数据结构、数据库系统等。
2、物理学：离散数学在物理学中的应用也十分广泛。
例如，量子力学和统计力学的理论框架中都有离散数学的影子。
离散数学还在固体物理学、分子物理学等领域有所应用。
3、经济学：离散数学在经济学中的应用也日益增多。
例如，离散数学被用于研究金融市场中的复杂行为，以及分析经济数据的模式和趋势。
离散数学还在博弈论、决策理论等领域有所应用。
三、总结离散数学作为数学的一个重要分支，其理论和应用已经渗透到科学的各个领域。
学习和研究离散数学，不仅可以增强我们的数学素养，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，我们应该重视离散数学的学习和应用。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散量的结构及其相互关系。
离散数学及应用PPT课件
作业每星期一交，作为平时成绩。
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
28.04.2020
引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量：表示确定命题的命题标识符。 命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。 原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结：本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单（原子） 命题、复合命题四个概念。
作业：P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学及其应用课件第8章特殊图
例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边 的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如 果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称 它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每 个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过 他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可 以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生 （山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在 国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个． 把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这 些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子 集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次． 邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方 法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一 条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路， 称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路， 称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。
离散数学及其应用课件第8章第2-3节
二分图
完全二分图
二分图的判断
定理8.3.2 一个无向简单图G=（V，E）是二分图，当且仅 当G中无奇数长度的回路。
证明 (必要性) 设无向简单图G=（V，E）是二分图，V1V2=V，V1V2=。对于G中任一长度为n的 回路可表示为v1e1v2e2vnenv1。设v1V1，则v2V2，v3V1，v4V2 vnV2。所以n 必为偶数。 （充分性） 设无向简单图G=（V，E）的所有回路的长度都是偶数。u是图G的任一结点，d（v， u）表示结点v到结点u的距离。二分图的结点集V的两个子集可以表示为：V1={v| d(v, u) 为偶数}，V2=V-V1。如果存在一条边e的两端点vi和vj都在结点集V1中，则从vi到vj存在一 条有偶数条边的通路L。通路L和边e可以构成一条回路，回路的长度为奇数。和假设矛 盾。同理可证，没有一条边的两端点都在结点集V2中。由此可见，图G的每条边的端点， 必定一个在结点集V1中，另一个在结点集V2中，而且V1和V2是G的互补结点集。所以图G 是二分图。
例题
判断图8.3.6中的图是否是二分图。
a
b
a
b
d
c
e
e
c
d
a
b
f
c
e
d
完全匹配和完美匹配
定义8.3.5 设G=（V，E）是二分图，V1和V2是G的互补结点 集，若G的一个匹配M使得|M|=min{| V1|，| V2|}，称匹配M是G 的完全匹配。这时，若| V1|| V2|，称M是从V1到V2的一个完全 匹配。如果| V1|=| V2|，称M是G的完美匹配。
完全匹配
完美匹配
没有完全匹配
完全匹配
定理8.3.3（Hall定理） 设二分图G = (V,E )，V1和V2 是G的 互补结点集，存在从V1到V2的完全匹配, 当且仅当对于V1中的 任意k个结点（k=1,2, ,|V1|）至少邻接V2的k个结点。
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解 （1）（2）（4）不是平面图，而(3) 是平面图。
平面图
定义8.4.2 设G是一个平面嵌入，G的边将G所在的平面划分 成若干个区域，每个区域称为G的一个面。其中，面积无限的 区域称为无限面或外部面，记成f0，面积有限的区域称为有限 面或内部面，记为f1，f2…，fk 。包围每个面的所有边所构成的 回路称为该面的边界。一个面的边界包含的边数称为该面的次 数，记为deg(f)。
l
deg( fi ) 2e
i0
证明 对图G的每一条边e，若e在两个面的公共边界上，则 在计算这两个面的次数时，e各提供1.当e只在一个面的边界上 出现时，它必在一个面的边界上出现2次，如图 所示，因而 在计算这个面的次数时，e提供2.因此所有面的度数之和等于 边数e的2倍。
欧拉公式
定理8.4.2 设G为任意的连通的平面图，G中有n个结点，e条 边，f个面，则有公式n-e+f=2 成立。该公式称为欧拉公式。
8.4 平面图
定义8.4.1 设G=（V，E）是一个无向图，如果能把G画在 平面上，使得除结点处外，任意两条边都不相交，则称G为平 面图。
将一个平面图G，画成除结点处外，任意两条边都不相交的 和它同构的图，称这样的图为图G的平面嵌入。
例题
判断图8.4.1中的各图是否是平面图。
（1）
（2）
（3）
（4）
定理8.4.9 – 设G是简单图，G的边色数为(G)或(G)+1. – 设G是二分图，G的边色数为(G).
例题
圈图Cn的边色数是多少？ 解 Cn图的结点最大度数( Cn)=2.当n为偶数时，Cn图是二分 图，边色数是( Cn)=2；当n为奇数时，Cn的边色数是3.如图 8.4.9所示，图C4的色数是2，图C5的色数是3。
二分图Km,n图的色数是多少?
四色定理
定理8.4.8(四色定理) 对一个平面图的各个面进行着色,使得 相邻的面有不同的颜色,那么所用的颜色可以不多于4色。
定义8.4.8 对于无环图G的每条边指定一种颜色，使得相邻 的边有不同的颜色，称为对图G的边着色。若能用k种颜色给G 的边着色，则称G是k-可边着色的。若对G的边着色用的最少 颜色数为k，则称G的边色数为k.
证明 对边数e用归纳法。 例8.4.2 假定连通平面图G有30条边，若G的边把图分成20 个区域，则这个图有多少个结点？ 解 根据题意，连通平面图G的边数e=30，面数f=20，代入 欧拉公式n-e+f=2得：
n=2+e-f=2+30-20=12 所以这个图有12个结点。
欧拉公式的推论
推论1 设G是有n （n 3）个结点，e条边，f个面的简单连 通平面图，边数e 3n-6。
欧拉公式的推论
推论2 设G是有n（n 3）个结点，e条边，f个面的简单连通 平面图，若每个面由4条或4条以上的边围成, 则e 2n- 4。
推论3 K5和K3，3都不是平面图。
定理
定理8.4.3 设G是有n个结点，e条边的简单连通平面图，则G 中至少存在一个结点v，使得d（v） 5。
证明 假设G中每个结点v，都有d（v） 6，则由握手定理有 6nd（v）=2e 即有e 3n3n-6，与推论1矛盾。
平面图
f1 v2 v1 f2 f3
v4 v6
v3 f0 v5
面f0的边界回路是一个复杂回路，Deg(f0)=9，面f1的边界回路是环， Deg(f1)=1，面f2和f3的边界回路是简单回路，Deg(f2)=3，Deg(f3)=3
定理
定理8.4.1 一个连通平面图G的边数为e，G的边将G所在的 平面划分成l个面，所有面的次数之和等于边数e的2倍，即
例题
1
1
6
6
2
7
2
7
8
3
9
10
9
4
5
4
1
9
8
3
10 5
4
7
2
6
10 85
3
彼得森图中删去边（7,8）和（4,5）的子图， 和K3，3同胚。 所以彼得森图不是平面图。
8.4.3 对偶图与着色
定义8.4.5 设G是平面图。在图G的每个面中指定一个新结 点，对两个面公共的边，指定一条新边与其相交。由这些新结 点和新边组成的图称为G的对偶图G*。
欧拉公式的推广
定理8.4.4 （欧拉公式的推广）设G为任意的平面图，G有k 个连通分支，n个结点，e条边，f个面，则有公式n-e+f=k+1成 立。
插入和删去结点、同胚
u
v
u wv
uw v
u
v
定义8.4.3 设e=（u，v）是图G的一条边，在G中删去边e， 增加新的结点w，使u，v均与w相邻，则称在图G中插入2度结 点w；设w为G的一个度数为2的结点，w与u，v相邻，删去w及 与w相关联的边(w，u)，(w，v)，同时增加新边(u，v )，则称 在图G中删去2度结点w。
红
红
兰
兰
兰
红
绿
红
兰
例题
某班同学期末共有7门课程考试，课程编号为1到7。已知一 部分同学要参加1、2、6和7四门课程考试，一部分同学要参加 1、2、3和7四门课程考试，一部分同学要参加1、5和6三门课 程考试，一部分同学要参加3、4和7三门课程考试，一部分同 学要参加3、4和5三门课程考试，试问如何安排考试时间，使 得没有学生在同一时间有两门考试？
定义8.4.7 给图G的结点着色所用的最少的颜色数，称为图 G的色数。最少用了k种颜色，则称G是k色图。
定理
定理8.4.6 对于任意的无环图G，G的色数为k，则k(G)+1， (G)是G的结点最大度数。
定理8.4.7（Brooks定理） 对于无环图G，G的色数为k，若 G不是完全图，也不是长度为奇数的基本回路，则k(G)。
对偶图
设n、e、f分别为平面图G的结点数、边数和面数，n*、e*、 f*分别为G的对偶图G*的结点数、边数和面数，按照对偶图的 定义有n*=f, e*=e, f*=n。
着色
定义8.4.6 对一个简单图G进行着色,是指给它的每个结点指 定一种颜色，使得相邻结点都有不同的颜色。若用了k种颜色 给G的结点着色，则称G是k-可着色的。
对这个图的结点着色需要4种颜色，因而 需要安排4个时间段考试
定义8.4.4 若两个图G1和G2同构或通过反复插入或删除2度 结点后是同构的，则称G1和G2是同胚的。
平面图的充分必要条件
定理8.4.5（ 库拉托斯基定理） 设G是无向图，则G是平面 图的充分必要条件是图G不含和K5或K3，3同胚的子图。
推论 设G是无向图，则G是平面图的充分必要条件是图G没 有可收缩为K5或K3，的子图。
给定平面图G，用如下的方法构造G的对偶图G*： – 在G的每一个面fi中任取一个结点vi*作为G*的结点； – 若ek是G的两个面fi和fj的公共边，有一条边ek*=（vi*，vj*）
作为G*的边，且（vi*，vj*）与ek相交； – 若ek只是G的一个面fi的边界时，以fi中的结点vi*为结点做
环ek* ， ek*与ek相交，ek*是G*的一个环。
证明 当n=3，3个结点的简单连通平面图的边数e3f/2, 因此 e 3n-6成立。
当n 3时，G的每个面至少由3条边围成，即每个面的度数 deg(fi) 3, 所以所有面的总度数deg(fi)3f。而deg(fi) =2e , 因而有2e 3f, 即f 2e/3。代入欧拉公式 2= n-e+f n-e+2e/3 有 e 3n-6成立。因此e 3n-6成立。