2021高考数学一轮复习课后限时集训1集合理(含解析)

课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题 1．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．[解] (1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f ′(x )＝1x ＋2x －12＞0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1＜0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e ＜x 1＜e 2)，即f (x 1)＝0.又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1. 综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)因为1x 0＝e －ln x 0，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x 上． 由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，连接AB ，则直线AB 的斜率 k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 2．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝e x－ax －1(a ∈R )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)讨论g (x )＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12在区间[0,1]上零点的个数． [解] (1)因为f (x )＝e x－ax －1，所以f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞0时，令f ′(x )＜0，得x ＜ln a ，令f ′(x )＞0，得x ＞ln a ，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)令g (x )＝0，得f (x )＝0或x ＝12， 先考虑f (x )在区间[0,1]上的零点个数，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增且f (0)＝0，所以f (x )在[0,1]上有一个零点； 当a ≥e 时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以f (x )在[0,1]上有一个零点； 当1＜a ＜e 时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，而f (1)＝e －a －1，当e －a －1≥0，即1＜a ≤e－1时，f (x )在[0,1]上有两个零点， 当e －a －1＜0，即e －1＜a ＜e 时，f (x )在[0,1]上有一个零点．当x ＝12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0得a ＝2(e －1)， 所以当a ≤1或a ＞e －1或a ＝2(e －1)时，g (x )在[0,1]上有两个零点；3．(2019·唐山模拟)已知函数f (x )＝x 22－4ax ＋a ln x ＋3a 2＋2a (a ＞0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，当a 变化时，求f (x 1)＋f (x 2)的最大值． [解] (1)函数f (x )的定义域为x ＞0，对f (x )求导得f ′(x )＝x －4a ＋a x ＝x 2－4ax ＋a x，x ＞0，a ＞0.令M (x )＝x 2－4ax ＋a ，则Δ＝16a 2－4a ＝4a (4a －1)．①当0＜a ≤14时，Δ≤0，M (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞14时，Δ＞0，f ′(x )＝0的根为x 1＝2a －4a 2－a ，x 2＝2a ＋4a 2－a ， 由f ′(x )＞0得0＜x ＜2a －4a 2－a 或x ＞2a ＋4a 2－a ； 由f ′(x )＜0得2a －4a 2－a ＜x ＜2a ＋4a 2－a .所以f (x )在(0,2a －4a 2－a )，(2a ＋4a 2－a ，＋∞)上单调递增；在(2a －4a 2－a ，2a ＋4a 2－a )上单调递减．(2)由(1)得a ＞14，x 1＝2a －4a 2－a ，x 2＝2a ＋4a 2－a ， 所以x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝a ，从而f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－4a (x 1＋x 2)＋a ln x 1x 2＋6a 2＋4a ＝12(x 1＋x 2)2－x 1x 2－10a 2＋4a ＋a ln a＝a ln a －2a 2＋3a .令g (a )＝a ln a －2a 2＋3a ，则g ′(a )＝ln a －4a ＋4.令h (a )＝ln a －4a ＋4，则h ′(a )＝1a－4. 因为a ＞14，所以h ′(a )＜0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上单调递减． 又h (1)＝0，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，h (a )＞0，g ′(a )＞0，g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1上单调递增； a ∈(1，＋∞)时，h (a )＜0，g ′(a )＜0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1时，g (a )取得最大值1.故f (x 1)＋f (x 2)的最大值为1.。

A．－3
B．3
16
C. 3
D．±3
m3
B [sin θ＝ 16＋m2＝5，且 m＞0，解得 m＝3.]
4．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
1 C [设扇形的半径为 R，则2×4×R2＝2，
∴R＝1，弧度 l＝4，∴扇形的周长为 l＋2R＝6.]
( ]2
0， π (3)若 α∈ 3 ，请写出弓形 AB 的面积 S 与 α 的函数关系式．
( )4 3
－， [解](1)由题意可得 B 5 5 ，
y3 根据三角函数的定义得 tan α＝x＝－4. (2)若△AOB 为等边三角形，
π 则∠AOB＝3，
故与角 α 终边相同的角 β 的集合为
.
( ]2
( ) 1
1
39 9 9
33× ＋
所以弧田面积 S＝2(弦×矢＋矢 2)＝2×
2 4 ＝4 3＋8≈5(平方米). ]
1
1
4．已知|sin α|＝－sin α，且 lg(cos α)有意义．
(1)试判断角 α 所在的象限；
( )3 ，m (2)若角 α 的终边上一点 M 5 ，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求 m 的值及
( ) 3 π － ，0 当 a＜0 时，sin θ＝－5∈ 2 ，
( ) 4 π 0， cos θ＝5∈ 2 ，
( )3 4
－ 则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 5 ·sin 5＞0.
综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当 a＜0 时，cos(sin
120°或－240° [因为 α＝1 560°＝4×360°＋120°，

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。

课后限时集训76不等式的证明 建议用时：45分钟1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2. (1)求证：a 2＋b 2≥2； (2)求证：2a ＋1b ≥1＋22. [证明] (1)根据重要不等式得：a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝2.(2)2a ＋1b ＝a ＋b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2＝2＋224，等号成立的条件为：b a ＝a2b，故2a ＋1b ≥1＋22. 2．已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a≥a ＋b .(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x2x＋x 21－x(0<x <1)的最小值． [解] (1)证明：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2a －b －b 2a －b ab ＝a －b 2a ＋bab.又因为a >0，b >0，所以a －b2a ＋bab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以a 2b ＋b 2a≥a ＋b .(2)因为0<x <1，所以1－x >0， 由(1)的结论，y ＝1－x2x＋x 21－x≥(1－x )＋x ＝1. 当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立．所以函数y ＝1－x2x＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1. 3．已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤ 3；(2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1 ≥ 32. [证明] (1)因为由柯西不等式得(a ＋b ＋c )2＝(1·a ＋1·b ＋1·c )2≤ (12＋12＋12)·[(a )2＋(b )2＋(c )2]＝3，当且仅当1a＝1b＝1c，即a ＝b ＝c ＝13时，等号成立，所以a ＋b ＋c ≤ 3.(2)因为由柯西不等式得[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1 ≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1·13a ＋13b ＋1·13b ＋1＋3c ＋1·13c ＋12＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)，又a ＋b ＋c ＝1，所以6⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1 ≥9，所以13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1 ≥ 32.4．已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M . (1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |； (2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值．[解] (1)证明：∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2,2]，∴m 2，n 2∈[0,4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0， ∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |. (2)由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)， 所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立．所以2a ＋1b的最小值为4.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。