实验5 频率采样法设计FIR 数字滤波器1．实验目的（1）掌握利用直接设计法实现频率采样法设计FIR 滤波器的基本原理。
（2）掌握利用最优设计法实现频率采样法设计FIR 滤波器的基本原理。
（3）掌握利用MA TLAB 语言实现直接设计法和最优设计法的方法。
2．实验原理（1）FIR 数字滤波器设计的实质求()j d H e ω的有限项傅里叶级数的系数，然后用有限项傅里叶级数去近似代替无限项傅里叶级数，在最小均方误差准则下最佳逼近()d h n 。
（2）用频率采样法设计滤波器的基本原理设待设计的滤波器的传输函数用()j d H e ω表示，对它在0ω=到2π之间等间隔采样N 点，得到()d H k ，则2()()N jw d d w k H k H e π==，0,1,,1k N =-对N 点()d H k 进行IDFT ，得到()h n ，2101()()N N j kn d n h n H k e N π-==∑，0,1,,1n N =- ()h n 就是所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数10()()N n n H z h n z --==∑。
（3）直接频率采样设计法的基本原理当FIR 滤波器满足第一类线性相位条件时，()h n 是实序列，()(-1)h n h N n =-，此时有：()()()j j d g H e H e ωθωω=，1()2N θωω-=-（1）式 N=I ()(2)N=II ()(2)g g H H ωπωωπω=-⎧⎪⎨=--⎪⎩g g 奇数时(型)：H 偶数时(型)：H 在0~2π之间等间隔频率采样N 点，采样时的频率转换关系为：2k k N πω=，0,1,2,,1k N =- （2）式 由（1）式可以得到采样点上的样本值为： ()2=()()()j j k d d g k N H e H k H k e ωθπω== （3）式2121()()2k NN N k k k N N πωπθωθπ=--=-==-N=I ()()N=II ()()g g k H N k k H N k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩g g 奇数时(型)：H 偶数时(型)：H ()()偶对称奇对称 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c ω，采样点数Ｎ，则频率采样点c k 、频率采样值()g H k 、相位采样值()k θ的参数计算方法为：①c k 的计算方法由（2）式2k k N πω=可得到2c c k N ωπ=。
FIR滤波器的设计及特点FIR滤波器（Finite Impulse Response Filter）是一种数字滤波器，它的特点是其冲激响应是有限长度的。
FIR滤波器通过对输入序列做线性加权的运算来实现滤波的效果。
FIR滤波器的设计需要确定滤波器的系数以及长度，其设计方法有很多种，其中比较常用的有窗函数法、频率采样法以及最小二乘法。
FIR滤波器的设计方法之一是窗函数法，它是根据所设定的频率响应曲线来进行设计的。
具体的步骤是：首先，在频率域上设定所需的频率响应曲线；然后，将该曲线转换到时域上，得到滤波器的单位冲激响应；最后，对单位冲激响应进行加窗处理，得到最终的滤波器系数。
在窗函数法中，常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、哈宁窗等，不同的窗函数会导致滤波器具有不同的性能，如频域主瓣宽度、滤波器的过渡带宽度等。
另一种常用的FIR滤波器设计方法是频率采样法，它是通过在频率域上进行采样来确定滤波器的系数。
在频域上，滤波器的频率响应可以表示为幅度特性和相位特性。
通过选取一组频率，在这些频率上等幅响应，并且在其余的频率上衰减至零，然后对这些采样点进行IFFT运算，即可得到滤波器的系数。
频率采样法的特点是可以直观地设计滤波器，但是在采样点之间的频率响应无法得到保证，会产生幅度插值误差。
最小二乘法是一种通过最小二乘准则来设计滤波器的方法。
它在时域上通过对输入序列和输出序列之间的误差进行最小化，得到最优的滤波器系数。
最小二乘法可以看作是一种优化问题的求解方法，需要解决一个线性规划问题，因此需要求解线性方程组来确定滤波器的系数。
1.稳定性：FIR滤波器是一种无反馈结构的滤波器，其零点可以完全控制在单位圆内，因此具有稳定性保证。
2.线性相位特性：FIR滤波器的冲激响应通常是对称的，因此它不会引入相位失真，可以保持输入信号的相位。
3.精确控制频率响应：FIR滤波器的频率响应可以通过设计滤波器系数来精确控制，具有很高的灵活性。
4.零相移滤波：由于线性相位特性，FIR滤波器可以实现零相移的滤波效果，适用于对输入信号相位要求较高的应用。
第七章FIR滤波器的设计方法7.1引言数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，其中FIR（有限冲激响应）滤波器是一种常见的数字滤波器。
FIR滤波器具有线性相位、稳定性和易于设计的特点，在各种应用领域如音频处理、图像处理和通信系统等都得到广泛应用。
本章将介绍FIR滤波器的设计方法。
首先，将介绍FIR滤波器的基本原理和结构，然后介绍常见的FIR滤波器设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
7.2FIR滤波器的原理和结构FIR滤波器是一种线性时不变系统，其输出信号是输入信号与滤波器的冲激响应之间的卷积运算结果。
FIR滤波器的冲激响应是有限长度的，因此称为有限冲激响应滤波器。
FIR滤波器的结构包括延迟单元和加权系数。
延迟单元用于存储输入信号的历史样本，而加权系数用于乘以相应的延迟单元样本。
滤波器的输出是延迟单元样本与加权系数的乘积之和。
7.3.1窗函数法窗函数法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是通过窗函数将理想滤波器的频域特性调整到所需的频率响应特性。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗等。
具体的设计步骤包括选择窗函数、确定滤波器的阶数和剪切频率，并计算出相应的加权系数。
7.3.2最小二乘法最小二乘法是一种优化设计FIR滤波器的方法。
其基本思想是通过最小化实际输出与期望输出之间的均方误差来确定滤波器的加权系数。
常见的最小二乘法设计算法有布莱克曼算法和逆频域法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和误差函数，然后使用最小二乘法求解滤波器的加权系数。
7.3.3频率采样法频率采样法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是在频域上对所需的频率响应进行采样，并计算出相应的加权系数。
常见的频率采样法设计算法有均匀频率采样法和非均匀频率采样法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和采样频率，然后使用插值法计算滤波器的加权系数。
7.4总结本章介绍了FIR滤波器的设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
