2005年北京四中数学第三次统测(文科)

北京市2005年高级中等学校招生统一考试（海淀卷）数学试卷在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1． 一个数的相反数是3，则这个数是Ａ．13-Ｂ．13Ｃ．－3 Ｄ．32． 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是Ａ．点数之和为12 Ｂ．点数之和小于3 Ｃ．点数之和大于4且小于8 Ｄ．点数之和为13 3． 已知2(1)20m n m n -++=+，则的值为Ａ．－1 Ｂ．－3 Ｃ．3 Ｄ．不确定4． 如图，C O 是上一点，O 是圆心．若35C ∠=，则AO B ∠的度数为Ａ．35 Ｂ．70 Ｃ．105Ｄ．150 5．如图，电线杆AB C 的中点处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45，若点D 到电线杆底部点B a 的距离为，则电线杆AB 的长可表示为Ａ．a Ｂ．2a Ｃ．32a Ｄ．52a 6． 用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC 的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，MDN ∠的度数为ACBDＡ．100 Ｂ．110 Ｃ．120Ｄ．130二、填空题（本题共24分，每小题4分）7．103000用科学记数法可表示为 ．8．函数y =中，自变量x 的取值范围是 ． 9．某校初三（2）班想举办班徽设计比赛，全班50名同学，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出10份为一等奖，那么该班某位同学获一等奖的概率10a ，a b =a和a b =b ． 例如，32＝3，32＝2，则（2004 2003）= ． 11．已知圆柱的底面半径为2cm ，母线长为3cmcm 2．12．把编号为1，2，3，4，的若干盆花按右图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、盆花的颜色为 色．三、解答题：（本题共30分，每小题5分）13．计算：31022(tan30cos45)--⨯-．B C 图1 图214．先化简，再求值：262393m m m m -÷+--，其中2m =-． 15．解方程组41216.x y x y -=-⎧⎨+=⎩，16．解不等式101216x x +-≥． 17．如图，矩形ABCD 中，AC BD O 与交于点，BE AC E ⊥于，CF BD F ⊥于．求证BE CF =．18．如图，梯形ABCD 中，90AB DC B E ∠=∥，，为BC 上一点，且AE ED ⊥．若12712BC DC BE EC ===，，∶∶， 求AB 的长．四、解答题 ：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分）19．已知反比例函数k y x =的图象经过点1(4)2，，若一次函数1y x =+的图象平移后经过该反比例函数图象上的点(2)B m ，，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标．请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数，谈谈你的看法．A DBCAD21．如图，△ABO 中，OA OB =，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．（1）求证AB 是O 的切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB =ECF 的长．22．印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．五、解答题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分）23．如图所示，一根长2a 的木棍()AB ，斜靠在与地面()OM 垂直的墙()ON 上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由． （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．24．已知抛物线22y x mx m =-+-．（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m的值；图1 16 1 图21 图3 图4（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．25．已知△ABC ，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF ．（1）如图1，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当△ABC 中只有60ACB ∠=时，请你证明ABCS与ABDS的和等于BC E S与ACFS的和．AEF图1DE 图2北京市2005年高级中等学校招生统一考试（海淀卷）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本题共24分，每小题4分）1．C 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 二、填空题：（本题共24分，每小题4分）13．计算：31022(tan30cos45)--⨯-．解：31022(tan30cos45)--⨯-18312=-⨯÷ ·············································································· 4分43=-． ······················································································ 5分 14．先化简，再求值：262393m m m m -÷+--，其中2m =-． 解：262393m m m m -÷+-- 633(3)(3)2m m m m m -=-++- ························································ 2分 33m m -=+． ···························································································· 4分 当2m =-时，原式23523--==--+． ················································· 5分15．解方程组41216.x y x y -=-⎧⎨+=⎩，‎‎ ①‎‎ ②‎解：由①，得41x y =-． ③ ·························································· 1分 把③代入②，得2(41)16y y -+=． 即2y =．把2y =代入③，得7x =．所以 原方程组的解为72.x y =⎧⎨=⎩，··························································· 5分16．解不等式101216x x +-≥． 解：6(21)101x x -+≥． ········································································· 1分 121016x x -+≥． 27x ≥． ····························································································· 3分72x ≥． ······························································································ 5分 所以 原不等式的解集为72x ≥．17．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F ． 求证BE CF =．证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以AC BD =，则BO CO =． ··· 1分 因为BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F ，所以90BEO CFO ∠=∠=． 又因为BOE COF ∠=∠， 则△BOE ≌△COF ． ················· 4分 所以BE CF =． ···························· 5分 18．如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B ∠=，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥．若12BC =，7DC =，12BE EC =∶∶，求AB 的长．解：因为AB DC ∥，且90B ∠=，所以90AEB BAE ∠+∠=及90C ∠=．····································································· 1分 所以90AEB CED ∠+∠=．故BAE CED ∠=∠． ························ 2分 所以△EAB ∽△DEC ．所以AB BEEC CD=． ······························ 3分 又1BE EC =∶∶2，且12BC =及7DC =， 故487AB =． ························································································ 4分 则327AB =． ······················································································ 5分四、解答题：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分）BCADBE CDA19．已知反比例函数k y x =的图象经过点1(4)2，，若一次函数1y x =+的图象平移后经过该反比例函数图象上的点(2)B m ，，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标．解：由于反比例函数k y x =的图象过点1(4)2，， 所以 124k=． 解得 2k =． ················································································· 1分所以 反比例函数的解析式为2y x=．又因为 (2)B m ，在2y x=的图象上， 所以212m ==． ·········································································· 2分所以 (21)B ，．设由1y x =+的图象平移后得到的函数解析式为y x b =+．由题意知y x b =+的图象过(21)B ，， 所以 12b =+．解得 1b =-． ··············································································· 3分 故 平移后的一次函数解析式为1y x =-． 令 0y =，则01x =-．解得 1x =． ·················································································· 4分所以 平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为(10)，． ·········· 5分20．甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下．（单位：秒）请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数，谈谈你的看法．解：甲的众数、平均数、中位数依次为 10.8 10.9 10.85 乙的众数、平均数、中位数依次为 10.9 10.8 10.85 说明：众数、平均数、中位数比较正确一组给1分，看法合理给1分． 21．如图，△ABO 中，OA OB =，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交 OA 、OB 于点E 、F ． （1）求证AB 是O 的切线；BCA（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB =ECF 的长． 解：（1）证明：连结OC ． ······································································· 1分因为 O AO B A C ==，， 所以 O C A B ⊥．故 AB 是O 的切线． ························································ 2分（2）过B 点作BD AO ⊥，交AO 延长线于D 点．由题意有2AB BD =，由题目条件，有AB =在直角三角形ABD 中，根据正弦定义1sin 2BD A AB ==． 所以 30A ∠=． ·················································································· 3分 在直角三角形ACO中，12AC AB ==30A ∠=，则2AO OC =． 由勾股定理，求得 2OC =． ······························································ 4分 因为OA OB =，且30A ∠=，所以120AOB ∠=．由弧长公式可求得ECF 的长为43π． ······················································ 5分 22．印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．说明：每填对一个页码给1分．图1 16 1 图2 1 图3 图4 BCA五、解答题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分）23．如图所示，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行． （1）请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离是否变化，并简述理由． （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 解：（1）不变． ··························································································1分理由：在直角三角形中，因为斜边AB 的长不变，由性质有斜边中线OP 长不变． ··········································································· 3分（2）当△AOB 的斜边AB 上的高h 等于中线OP 时，△AOB 的面积最大． ··························································································4分如图，若h 与OP 不相等，则总有h OP <，故根据三角形面积公式，有h 与OP 相等时△AOB 的面积最大． ··························· 5分 此时，211222AOBSAB h a a a ==⨯=． 所以△AOB 的面积最大值为2a ． ··········································· 6分 24．已知抛物线22y x mx m =-+-．（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标． 解：（1）证明：令0y =，则220x mx m -+-=． 因为248m m ∆=-+2(2)40m =-+>， ···························································· 1分 所以 此抛物线与x 轴有两个不同的交点． ···························· 2分（2）因为关于x的方程220x mx m -+-=的根为x =，由m 为整数，当2(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．设22(2)4m n -+=（其中n 为整数）， ····································· 3分 所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=．O因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，所以 2222n m n m +-=⎧⎨-+=⎩，；或222 2.n m n m +-=-⎧⎨-+=-⎩，解得 2m =．经检验，当2m =时，关于x 的方程220x mx m -+-=有整数根． 所以 2m =． ············································································ 5分 （3） 当2m =时，此二次函数解析式为222(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）．抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，． 设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，． 在直角三角形1AM O中，由勾股定理，得AO =，由抛物线的对称性可得，AB AO ==又222)2)2+=，即 222OA AB OB +=．所以 △ABO 为等腰直角三角形． ······································· 6分 则 11M A M B =．所以 1(1)M ，0为所求的点． ··················································· 7分 若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，．过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．由勾股定理，有22222M A M N AN =+；22222M B M O OB =+． 即 222(1)12y y ++=+．解得 1y =．所以 2(0)M ，1为所求的点． ·············································· 8分 综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，）． 25．已知△ABC ，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF ．（1）如图１，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当△ABC 中只有60ACB ∠=时，请你证明ABCS与ABD S的和等于BCE S与ACFS的和．解：（1）略．每正确地写出一个结论得1分，共4分．（2）解法一：过A 作AM FC ∥交BC 于 M ，连结DM 、EM ． 因为 6060ACB CAF ∠=∠=，， 所以 ACB CAF ∠=∠． 所以 AF MC ∥．所以 四边形AMCF 为平行四边形． 又因为 FA FC =，所以 AMCF 为菱形． ·································· 5分所以 AC CM AM ==，且 60MAC ∠=．在△BAC 与△EMC 中，CA CM =，ACB MCE ∠=∠，CB CE =， 所以△BAC ≅△EMC ． 所以BA EM =．在△ADM 与△ABC 中，AM AC =，DAM BAC ∠=∠，DA BA =， 所以△ADM ≌△ABC ． 所以DM BC =．AD BE CF图2E 图1ADB ECFM则DM EB =，DB EM =．所以四边形DBEM 为平行四边形． ····················· 7分 所以BDMDAMMACBEMEMCACFS S S SSS++=++．即 ABC ABD BCEACF SSSS+=+．···················································· 8分解法二：过A 作AM BC ⊥于M ．设BC a =，AC b =，而60ACB ∠=，则可求得222AB a b ab =+-． ······························· 3分 可求得21332ACFSb b ==．类似的可求得 24BCESa=， 22)ABDSa b ab =+-． 又ABCS=． ··············································· 7分 所以ABCABDBCEACF S SSS+=+．··················· 8分ADBECFM。

【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用 分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
第 4页 （共 19页）
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
【答案】15 【详解】
. （用数字作答）
对于 Tr1
C6r
x
6r
(1)(x
1 2
)r
C6r
(1)4
x
(6
3 2
r
)
当r
4 时第
5
项为常数项,即
T5 C64 (1)4 15 .
【名师指津】
二项式定理第 r 1 项的通项公式 Tr1 Cn4a nrbr 的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为
9．若 z1
a 2i, z2
3 4i,且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a 的值为
.
【答案】 8 3
【详解】 z1 a 2i (a 2i)(3 4i) (3a 8) (4a 6)i 为纯虚数
z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
25
3a 8 0 且 4a 6 0 a 8.
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
YCY 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 40 分）

2005年 普通高等学校招生全国统一考试数学北京卷(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一. 本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设全集U R =，集合M x x =>{|}1，P x x =>{|}21，则下列关系中正确的是 A. M P =B. P M ⊂≠C. M P ⊂≠D. C U M P =∅（2）“m =12”是“直线()m x my +++=2310与直线()()m x m y -++-=2230相互垂直”的 A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件（3）若||||a b c a b ===+12，，，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒（4）从原点向圆x y y 2212270+-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A. πB. 2πC. 4πD. 6π（5）对任意的锐角αβ，，下列不等关系中正确的是 A. sin()sin sin αβαβ+>+ B. sin()cos cos αβαβ+>+ C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+<+（6）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A. BC //平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。

若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 A. C C C 141212484B. C A A141212484C. C C C A 14121248433D. C C C A 14121248433（8）函数f x xx()cos cos =-12A. 在［0，π2），（π2，π］上递增，在［π，32π），（32π，2π］上递减B. 在［0，π2），［π，32π）上递增，在（π2，π］，（32π，2π］上递减C. 在（π2，π］，（32π，2π］上递增，在［0，π2），［π，32π）上递减D. 在［π，32π），（32π，2π］上递增，在［0，π2），（π2，π］上递减第II 卷（共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市丰台区2005年初中毕业会考数学卷-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－北京市丰台区2005年初中毕业会考第I卷（选择题共48分）一. 选择题：每题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

（本题共48分，每小题3分）1. 7的相反数是A. B. C. D.2. 4的平方根是A. 8B.2 C.D.3. 用科学记数法表示0.0032为A. B.C.D.4. 如果两圆相交，那么两圆的公切线共有A. 4条B. 3条C. 2条D.1条5. 在函数中，自变量x的取值范围是A. B.C.D.6. 下列运算中，错误的是A. B.C. D.7. 如图，A、B、C三点在⊙O上，且，则等于A. B. C. D.8. 七边形的内角和是A. B.C.D.9. 下列各式中与是同类二次根式的是A. B. C.D.10. 若反比例函数的图象经过点A（2，m），则m的值是A. B. C. D.11. 计算的结果是A. B. C.D.12. 下列多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. 平行四边形B.正方形 C. 等腰梯形 D.等边三角形13. 如图，AB是⊙O的弦，半径于点D，且AB=8cm，，则OD的长是A. B.C. D.14. 圆柱的高为6cm，它的底面半径为4cm，则这个圆柱的侧面积是A. B. C. D.15. 如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BG=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为A. 米B. 米C.2米 D.1.5米16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）（4）。

其中正确的结论有：A. 4个B.3个 C.2个 D.1个第II卷（非选择题共52分）二. 填空题：（本题共12分，每小题3分）17. 等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是________cm。