线性回归与独立性检验一、线性回归方程例1：已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（ ） A ．75万元 B ．85万元 C ．99万元 D ．105万元二、非线性回归方程例2：某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间0.302,(0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本(,)(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122211()()()ˆn niii i i i nniii i v v u u v unvu bv vvnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈． 三、独立性检验例3：“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）填写下面22⨯列联表（单位：人），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：22()()()()()a b c d a n ad bc c b d χ++++-=，其中n a b c d =+++．（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．增分训练一、选择题1．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,500i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法不正确的是（ ） A ．样本点可能全部都不在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1 C ．若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则i bx a +的值与i y 相等 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0b <，则变量x 与y 呈负相关 2．2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为2ˆ6yx a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．03．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若5x =，则预测y 的值可能为（ ）A ．5eB ．112eC ．7eD ．152e4．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 5．（多选题）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）A ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+至少经过点11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，⋅⋅⋅，(,)n n x y 中的一个点B ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数||r 的值越接近于1C ．在研究母亲身高x 与女儿身高Y 的相关关系时，若相关系数0.05||r r >，则表明有95%的把握认为x 与Y 之间具有显著线性相关关系D ．设回归直线方程为ˆ58yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位6．（多选题）已知由样本数据点集合{()|,1,2,,}i i x y i n =，求得的回归直线方程为1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有正相关关系 B ．去除后的回归方程为1.2.4ˆ1yx =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为0.057．（多选题）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2χ的观测值 5.059x α≈，则可以推断出（ ）附：A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为23B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异二、填空题8．某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为ˆˆ1.3yx a =+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为 万元．9．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图， （填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++=，其中n a b c d =+++）10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到2χ= （保留三位小数）以判定（填“能”或“不能”）在错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++=，其中n a b c d =+++）三、解答题11．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码17-分别对应年份20082014-．（1）由折线线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑721()0.55i i y y =-=∑7 2.646≈． 参考公式：相关系数12211()()()()niii n niii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，ˆˆˆybx a =+．12．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，参考数据：1392ni ii x y==∑，21502.5nii x==∑．13．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到ln i i z y =）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36℃℃之间（包括26℃与36℃），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．（参考数据： 3.28227e≈，3.79244e ≈， 5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈）附：对于一组数据11(,)v ω，22(,)v ω，…，(,)n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．14．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内，且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名． ①完成如下所示22⨯列联表：②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．线性回归与独立性检验一、线性回归方程例1：已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（ ） A ．75万元 B ．85万元C ．99万元D ．105万元【答案】B【解析】由题意得1(24568)55x =++++=，1(3040506070)505y =++++=， ∴样本中心为(5,50)，∵回归直线ˆ7ˆyx a =+过样本中心(5,50)，∴ˆ5075a =⨯+，解得ˆ15a =，∴回归直线方程为ˆ715yx =+． 当10x =时，710158ˆ5y=⨯+=， 故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元． 二、非线性回归方程例2：某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间0.302,(0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本(,)(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1122211()()()ˆnniii i i i nniii i v v u u v unvu bv v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈． 【答案】（1）15；（2）0.5ˆyex =． 【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a ，b ，c 有3件为非优等品，记为d ，e ，f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，(,)e f ，选中的两件均为优等品的事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ， 所以所求概率为31155=． （2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+， 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c =， 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271ˆ101.424.660.542ni i nii v unuvbvnv ==--⨯÷====-÷-∑∑，118.324.6(2)ˆˆ16a u bv -⨯=-==， 由ˆˆln ac =，得ln i i v x =，所以y 关于x 的回归方程为0.5ˆy ex =．三、独立性检验例3：“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）填写下面22⨯列联表（单位：人），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：22()()()()()a b c d a n ad bc c b d χ++++-=，其中n a b c d =+++．（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率． 【答案】列联表见解析，没有90%的把握认为；（2）310． 【解析】（1）22⨯列联表如下：根据列联表中的数据，得的观测值2χ的观测值2250(2081012)0.231 2.70630203218χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”． （2）由已知可得从步数在30016000的人群有男性2人，女性3人．设步数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为a ，b ，c ，设选中的人中男性人数超过女性人数为事件A ．选取三人的所有情况为(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10种情况，符合条件的情况有(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，共3种情况， 故所求概率为3()10P A =． 增分训练一、选择题1．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,500i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法不正确的是（ ） A ．样本点可能全部都不在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1 C ．若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则i bx a +的值与i y 相等 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0b <，则变量x 与y 呈负相关 【答案】B【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上故A 正确；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数可能为±1，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则i bx a +的值与i y 相等，故C 正确； 相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b <，则0r <，则变量x 与y 呈负相关，故D 正确．2．2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为2ˆ6yx a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5 B ．4 C ．1D ．0【答案】A【解析】设2t x =，则114916251)15(t =++++=，12173693(142)585y =++++=，586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-． 令4x =，得2444936485ˆe y y=-=-⨯+=． 3．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．112eC ．7eD ．152e【答案】D【解析】由0.5ˆbx ye -=，得n 0ˆl .5b yx =-，令n ˆl z y =，则0.5z bx =-．1234 2.54x +++==，13463.54z +++==，∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-，解得 1.6b =， ∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e-=，当5x =时，151.650.52ˆe e y⨯-==．4．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C【解析】由表计算得22100(45153010) 3.0355457525χ⨯-⨯=⨯⨯⨯=， 所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”． 5．（多选题）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）A ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+至少经过点11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，⋅⋅⋅，(,)n n x y 中的一个点B ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数||r 的值越接近于1C ．在研究母亲身高x 与女儿身高Y 的相关关系时，若相关系数0.05||r r >，则表明有95%的把握认为x 与Y 之间具有显著线性相关关系D ．设回归直线方程为ˆ58yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位 【答案】BCD【解析】直线ˆˆˆybx a =+由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A 错； 相关系数r 的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，B 正确； 若相关系数0.05||r r >，则表明有95%的把握认为x 与Y 之间具有显著线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义，故C 正确；回归直线方程为ˆ58yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位，故D 正确． 6．（多选题）已知由样本数据点集合{()|,1,2,,}i i x y i n =，求得的回归直线方程为1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05 【答案】AB【解析】因为回归直线方程为 1.5.5ˆ0y x =+，1.50>，所以变量x 与y 具有正相关关系．故A 正确；当3x =时，31.50.55y =⨯+=，样本点为(3,5)，去掉两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)后，样本点还是(3,5)，又因为去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，所以531.2a =⨯+，解得 1.4a =，所以去除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+，故B 正确； 因为1.5 1.2>，所以去除后y 的估计值增加速度变慢，故C 错误；因为 1.221 3.8ˆ.4y=⨯+=，所以 3.7538ˆ.0.05y y -=-=-，故D 错误． 7．（多选题）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2χ的观测值 5.059x α≈，则可以推断出（ ）附：A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为23B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异 【答案】ABC【解析】对于选项A ，该学校男生对运动场所满意的概率的估计值为182273=，故A 正确； 对于选项B ，该学校女生对运动场所满意的概率的估计值为823，而2468243692369=>=，故B 正确；因为 5.059 5.024k ≈>，有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C 正确，D 错误．二、填空题8．某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为ˆˆ1.3yx a =+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为 万元． 【答案】18 【解析】2345645x ++++==， 1.5 4.5 5.5 6.57.055y ++++==，则中心点为(4,5)，代入回归直线方程可得5 1.34.2ˆ0a=-⨯=-，ˆ 1.30.2y x =-． 当14x =时， 1.3140.1ˆ28y =⨯-=（万元），即估计使用14年时，维修费用是18万元．9．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图， （填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++=，其中n a b c d =+++）【答案】有【解析】依题意，可得出如下22⨯列联表：22224200(4060)87.879100χ⨯-==>，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．10．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到2χ= （保留三位小数）以判定 （填“能”或“不能”）在错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．（参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++=，其中n a b c d =+++）【答案】4.844，能【解析】根据提供的表格得2 250(1320710)4.844 3.84123272030χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．三、解答题11．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码17-分别对应年份20082014-．（1）由折线线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32iiy==∑，7140.17i iit y==∑，721()0.55iiy y=-=∑，7 2.646≈．参考公式：相关系数12211()()()()ni iin ni ii it t y yrt t y y===--=--∑∑∑．回归方程ˆˆˆy bx a=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑，ˆˆˆy bx a=+．【答案】（1）见解析；（2）1.82亿吨．【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t=，721()28iit t=-=∑，721()0.55ii y y =-=∑，777111()()40.1749.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑，2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．（2）由9.32 1.3317y =≈及（1）得71721()()2.89ˆ0.10328()ii i ii tt y y b tt ==--==≈-∑∑， ˆˆ 1.3310.10340.92ay bt =-≈-⨯≈， 所以，y 关于t 的回归方程为ˆ0.920.10yt =+． 将2016年对应的9t =代入回归方程得ˆ0.920.109 1.82y=+⨯=， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨．12．大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，参考数据：1392ni ii x y==∑，21502.5nii x==∑．【答案】（1） 3.240ˆy x =-+；（2）是理想的；（3）7.5元/件时，获得的利润最大．【解析】（1）因为199.51010.5(1105)1x =++++=，1(1110865)85y =++++=， 所以239251083.2502.5510ˆb-⨯⨯==--⨯，则8 3.ˆ()21040a=--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆy x =-+． （2）当8.5x =时， 3.28.5402ˆ1.8y=-⨯+=，则12.81ˆ4122|.|y y -=-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． （3）令销售利润为W ，则222.53.240 3.248100 3.27()()().580W x x x x x =--+=-+-=--+， ∴当7.5x =时，W 取最大值，所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．13．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到ln i i z y =）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36℃℃之间（包括26℃与36℃），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．（参考数据： 3.28227e≈，3.79244e ≈， 5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈）附：对于一组数据11(,)v ω，22(,)v ω，…，(,)n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【答案】（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）[27.341]．【解析】（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆza bx =+，71721()()46.418ˆ0.255182()iii ii x x z z b x x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348az bx =-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=，当26x =时，0.25526 3.3483.28227y e e ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，所以，气温在26~36℃℃之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[27.341]内的正整数．14．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内，且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求n的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名．①完成如下所示22⨯列联表：②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）0.05n=；（2）①列联表见解析；②不能．【解析】（1）∵月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15， ∴月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为150.15100=， 由频率分布直方图得(0.020.0420.01)50.151n +++⨯+=，∴0.05n =． （2）①根据题意得到列联表：②2100(19193131)5.7610.82850505050χ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．。
