惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图

形的几何性质

一.重点及难点：

（一）.截面静矩和形心

1•静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积 dA ，定义它对任意轴的 一次矩为它对该轴的静矩，即

dS y =xdA dSx 二 ydA

整个图形对y 、z 轴的静矩分别为

S y = A

XdA

（I ）

Sx ydA

、A

2. 形心与静矩关系

设平面图形形心C 的坐标为y C , z C

S x

S

y

y - ， x

（ I-2）

A

A

推论1如果y 轴通过形心（即x = 0），则静矩S y =0 ;同理，如果x 轴 通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o ；反之也成立。

推论2如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果 y 轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。 3. 组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为 A,A 2,A3……A n 的简单图形组成，且一直 各族图形的形心坐标分别为 丘局乂2*2；壬3,『3"…=，则图形对y 轴和x 轴 的静矩分别为

图I-1

则 0

S y = " S yi = '

A

i X

i

i 4 i 4

n

n

S x = ' S xi = '

A i y i

i 4

i 4

截面图形的形心坐标为

、' A i X i

4. 静矩的特征

（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 （2）静矩有的单位为m 3

（3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

⑷ 若已知图形的形心坐标。则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。 若已

知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。组 合图形的形心位置，通常是先由式（1-3）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。

（二）■惯性矩惯性积惯性半径

1. 惯性矩

定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p = A

'2dA

（1-5）

图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 「A X 2dA ， I x 「A y 2dA （ I-6）

惯性矩的特征

（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的； 轴惯性矩是对某一坐 标轴

定义的。

（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4

(1-3)

、A i y i

(1-4)

（

3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

I p「A r2dA= A（X2 y2）dA=l y J （ 1-7）

（5）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即

2. 惯性积

定义设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对y轴和

X轴的惯性积定义为

(I-9)

惯性积的特征

（1）界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。

（2）惯性积的单位为m4o

（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一

对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

n n n

I「八I Q ，I y 八I yi ，IX 八I xi

( I-8

（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积， 等于各组分图形对同一

坐标轴的惯性积之和，即

I xy 八 I xyi i 丄

3. 惯性半径

定义： 任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3）,则图形对y 轴

和x 轴的惯性半径分别定义为

惯性半径的特征

（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的 （2） 惯性半径的单位为m 。 （3） 惯性半径的数值恒取证之。

（三）■惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

l x "xc

a 2A

2

I y < yC b A

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）； x c ， y c 轴为图形的形 心轴；x ，y 轴为分别与x c ，y c 形心轴相距为a 和b 的平行轴。

（2） 两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或 形心x c ，

y c 为参考轴加以确定。

（3） 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但 图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

y

八

(I-10)

(1-11)

(1-12) I xy = I xCyC abA

(1-13)

I x

i I

y c

图1-4

（四）、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩 转轴公式

1

x + 1 y 1

x _ I y

I x cos2： -I xy si n2_：i

X1

2 2 xy

x y

I x 1

y 1

sin 2^"l xy cos2：

转轴公式的特征

（1） 角度〉的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴x 1,y 1，以逆时 针转向

者为正（图5）。

⑵ 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无 关。 （3） 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯

性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即

I :U' I I 川’I

x y

x1 yi

主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点 0为坐标原点的坐 标轴X 。、

y 的惯性积为零（扁0=

0），贝S 坐标轴X 。、y 称为图形通过 点0的主惯性轴（图

6）。截面图形对主惯性轴的惯性矩l x ,

,l y 0

，称为 主惯性矩。

主惯性轴、主惯性矩的确定

（1） 对于某一点0,若能找到通过点0的图形的对称轴，则以点 0 为坐标原

点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点

X C

y i

I x I y

cos 2^，I xy sin2工