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(完整版)导数题型分类大全

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第 1 页 共 15 页导数题型分类（A）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数在处的瞬时变化率称)(xfy0x

xxfxxfx

y

oxx)()(limlim000为函数在处的导数，记作或，即)(xfy0xx)(0/xf0/xxy

xxfxxfxfx)()(lim)(00

00/

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都)(xfy),(ba),(bax对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数)(/xf)(/xf)(/xf

在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝)(xfy/y)(/xf/y

xxfxxfx)()(lim

0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数

在处的导数，就是导函数在处的函数值，即＝。)(xfy0x0/xxy)(/xf0x0/xxy)(0/xf

例1.函数处的导数为A，求。axxfy在



ttaftaft54

lim

0



例2．。2

333xyx

x

求在点处的导数

（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ：； NnnxxCCnn,)(;)(01''

、、、

;sin)(cos;cos)(sin''xxxx

； aaaeexxxxln)(;)(''exxxxaalog1)(log;1)(ln''

法则1： 法则2： )()()]()(['''xvxuxvxu

)()()()()]()(['''xvxuxvxuxvxu

法则3： )0)(()()()()()(])()([

2

'''xv

xv

xvxuxvxuxvxu

（理）复合函数的求导：若，则(),()yfuux'()'()xyfxxA

如，_______________;_____________sin()'xe(sin)'xe

公式的特例：①______; ②_______, ③_________.1/)(nnnxx)x(



x1

)x(

题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜)(xfy0x)(xfy)(,00xfx

率.因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为)(0xf)(xfy)(,00xfx

______________________ 第 2 页 共 15 页

例1．若函数满足，则的值 ()fx321()(1),3fxxfxx(1)f

例2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．axye(0,1)210xy

a

练习题

1．曲线34yxx在点1,3处的切线方程是 2yx 2．若曲线xxxf4)(在P点处的切线平行于直线03yx，则P点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为 430xy 4．求下列直线的方程：（注意解的个数）

（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；解：（1） 123|yk 23 1)1,1(1x/2/23、、、、、、、、xxyxxyP 所以切线方程为02 11yxxy、、

（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200xy①又函数的导数为xy2/，

所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000xyx②，由①②联立方程组得，255 110000yxy

x、

，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk

；所以所求的切线有两条，方程分

别为2510 12 )5(1025)1(21xyxyxyxy、、、、

5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，

π4

则点P横坐标的取值范围为( )

A．[－1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D．[，1]1212

6.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A.y=sinx B. C. D.y=ln(1+x)—xxyxe3yxx

7. 设f(x),g(x)是R上的可导函数，分别为f(x),g(x)的导数，且(),()fxgx，则当a()()()()0fxgxfxgxA.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(x)>f(b)g(b)C.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

题型三：利用导数研究函数的单调性 eir

bein

g

are

good

fo

r som

eth

in

第 3 页 共 15 页

1. 设函数在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则在)(xfy)(xfy这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则是这个区间内单调递减.)(xfy

2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程；)x(fy0)x(f

（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间0)x(f0)x(f3.若函数在区间上单调递增，则在恒成立.)(xfy(,)ab'()__0fx(,)ab例：1.函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）（A）(，)　（B）(，2)　（C）(，)　（D）(2，3)2

2323

25



2. 函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是_________________.3.已知函数在R上单调递增,则的取值范围是________.()1xfxeaxa

题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1． 32()32fxxx在区间1,1上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2xcxxxfy、处有极大值，则常数c＝ 6 ；3．函数331xxy有极小值 －1 ,极大值 3 4．已知函数f (x)的导函数的图象如右图所示，()fx那么函数f (x)的图象最有可能的是( )

5.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ 32()(6)1fxxaxax

）A.-1＜a＜2 B.a＜-3或a＞6 C.-3＜a＜6 D.a＜-1或a＞2

作业和练习：1.已知函数在区间（－∞，1）上有最小值，则函数在区间2()2fxxaxa()()fxgx

x

（1，+∞）上一定（ ）A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

2．已知函数在处取得极值，求过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切32()3fxaxbxx1x

线，求该切线的方程.

yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO1

2

-2

D

yxO12-1

()fx 第 4 页 共 15 页

3．已知函数()lnfxxx（1）求f(x)的最小值（2）若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求a的取值范围.

4． 已知函数 其中a为大于零的常数.21()ln,2fxxx

a

（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值 （2）当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围.[1,2]x()2fx

5．已知函数))1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1

（Ⅰ）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

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导数各类题型方法总结(绝对经典)

导数各类题型方法总结(绝对经典)

0 a 1, x1 a x2 3a
依题得
0 a 1,2a a 1
第三种：构造函数求最值 题型特征 : f (x) g(x)恒成立
f (x) g(x) 恒成立, 从而转化成第一、 二种处理方法
2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否 需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数） -----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第三种：构造函数求最值
3、根分布；
2
4、判别式法 f (x) x3 3ax2 3在R上单调递增,则a
5、二次函数区间最值求法：
（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下四个步骤进行解决： 第一步：写定义域并求导 第二步：令导函数为0求根 第三步：列表或画图(注意又赋值) 第四步：作答求值。
1 1 3
3 4或1 1 1 3
t
3 4,
t
t
(i)0 t 2 3时, h(4) 0, t 1
1 t 2 3
4
4
(ii)t 2 3时, h(1 1) 0, t
此时 0, 2 3 t 2 3(舍去) 综上所述t的取值范围是1 t 2 3
--（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第三种：构造函数求最值
二、常考题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法一 : 转化为f '(x) 0或f '(x) 0恒成立,回归基础题型
解法二：利用子区间（即子集思想）； 首先求出函数的单调增或减区间， 然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
导数题型总结

导数题型总结

导数题型总结导数题型总结导数及其应用题型总结题型一：切线问题①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程（2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标（3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。

题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1，（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。

题型四：导数与函数图像问题例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y题型五：利用导数研究函数的极值和最值例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极yy32323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。

求（1）函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程（2）函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。

高中数学导数大题八类题型总结

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导数-大题导数在大题中一般作为压轴题出现，其复杂的原因就在于对函数的综合运用：1.求导，特别是复杂函数的求导2.二次函数（求根公式的运用）3.不等式：基本不等式、均值不等式等4.基本初等函数的性质：周期函数、对数函数、三角函数、指数函数5.常用不等式的巧妙技巧：1/2<ln2<1，5/2<e<3导数大题最基本的注意点：自变量的定义域1.存在性问题2.韦达定理的运用3.隐藏零点4.已有结论的运用5.分段讨论6.分类讨论7.常见不等式的应用8.导数与三次函数的利用1. 存在性问题第(1)问有两个未知数，一般来说，双未知数问题要想办法合并成一个未知数来处理合并成一个未知数后利用不等式1.存在性问题(2)问将有且仅有一个交点分成两部分证明，分别证至多存在一个交点与必然存在交点：证明必然存在交点是单纯的找“特殊点”问题高考导数大题中的存在性问题，最后几乎都会变成零点的存在性问题要点由于只关注零点的存在性，因此就没有必要对t(x)求导讨论其单调性，直接使用零点定即可。

(2)问先对要证明的结论进行简单变形：证毕韦达定理的使用(1)问是常规的分类讨论问题隐零点设而不求，代换整体证明对称轴已经在-1右侧，保证有零点且-1处二次函数值大于0两道例题都是比较简单的含参“隐零点”问题，总之就是用零点(极值点)反过来表示参数再进行计算一些比较难的题目，一般问题就会进行一定提示，如利用(2)问提示(3)问，其难点就在于知道要利用已有结论，但无从下手第(1)问分类讨论问题，分离变量做容易导致解题过于复杂(2)问将不等式两边取对数之后思路就很清晰了(1)(2)分别证明两个不等号即可化到已知的结论上()()()()()()()()()()()()''''1101,0,1,0;1,,00,11,110f x x xx f x x f x x f x f x x x x f x f =->=∈>∈+∞<∈∈+∞==为的零点于是在上单调递增，在上单调递减是的极大值点，(3)问需要利用(2)问结论才能比较顺利的证明利用(2)中结论第(1)问是一个比较简单的存在型问题分段)高考导数大题除求导外，隐藏零点、韦达定理、极值点偏移、二，三阶导等技巧，都是附加的技巧，导数的核心，是分类讨论的考察，高考题多数绕不开分类讨论。

导数题型归类总结

导数题型归类总结

导数题型归类总结
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
二、交点与根的分布
三、不等式证明
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之参变分离
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1.极值比较
2009天津卷20
2. 最值，区间端点分类讨论
二、交点与根的分布
1.交点个数与根的分布
2.已知函数f(x)=x-2/x-3lnx+1
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[1,e2]上的值域；
(3)若方程7f(x)+m=16/x+4x在[1,4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围
三、不等式证明
1.作差证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围
1.恒成立之最值的直接应用。