6.1.1 数值微分法

b a i 0
n
n
i
f xi
ci( n )
1.梯形(trapezia)公式（两点公式）及其余项
当n=1时, 有
c
( 1) 0 1 0

b
a
( 1) (1) f x dx b a (c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ))
( s 1)ds (
x2 I1 x dx 1 2
1
0
2
I 4 x 4 dx
1
1
x 5

1
2 5
精度m=3。
10
例6-1 试确定一个至少有2次代数精度的公式

4
0
f ( x )dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (3)
解： 要使求积公式具有2次代数精度，则必须 当 f(x)是 1,x,x2,…, xm 时成为准确的等式

b
a
x
j 0 ji
jn
x xj
i
xj
dx, Rn ( f ) a
b
ai( n) (b a) ci( n) ,
c
(n) i
n n (1) ni (s j ) ds 0 n i! (n i)! j 0 j i
21
由
ai( n) (b a) ci( n) ,
n j 0 ji
x x j b]作等距的插值基点 a=x <x <……<x =b 在 [a, 0 1 n ， i 0,1, , n xi x j
xi 1 xi (b a) n h , i 0,1, , n 1 f ( x) Pn ( x) Rn ( x)

对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h

数值微分三点公式
数值微分是一种在数学、计算机科学和工程学中广泛使用的技术，它用于在给定函数的某一点处计算其导数。

如果函数的解析式未知或难以求解，那么数值微分就成为了一种非常有用的工具。

数值微分的基本思想是使用数值方法来近似计算函数的导数。

常见的数值微分方法包括三点公式、五点公式等。

本篇文章主要介绍数值微分中的三点公式。

三点公式是指使用函数在某一点和其相邻的两个点的值来近似
计算函数的导数。

具体而言，三点公式有前向差分、后向差分和中心差分三种形式。

前向差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 后向差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$ 中心差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}$ 其中，$h$为步长，取值越小，计算结果越精确，但计算量也越大。

在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的步长。

需要注意的是，三点公式只能用于计算一阶导数，对于高阶导数的计算需要使用更复杂的数值方法。

总之，数值微分是一种非常重要的技术，在科学和工程学中有着广泛的应用。

熟练掌握数值微分的方法和技巧，对于解决实际问题具
有重要意义。

泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法