偏微分方程数值解法试题与答案
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一.填空(1553=⨯分)
1.若步长趋于零时,差分方程的截断误差0→lm
R ,则差分方程的解lm U 趋近于微分方
程的解lm u . 此结论_______(错或对); 2.一阶Sobolev 空间{}
)(,,),()(21
Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x
关于内积=1),(
g f _____________________是Hilbert 空间;
3.对非线性(变系数)差分格式,常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性; 4.写出3
x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数:_________________________________, ________________________________________;
5.隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______(错或对)。
二.(13分)设有椭圆型方程边值问题
用1.0=h 作正方形网格剖分 。
(1)用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化; (2)用截断误差为)(2
h O 的差分法将第三边界条件离散化; (3)整理后的差分方程组为 三.(12)给定初值问题
x
u
t u ∂∂=∂∂ , ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ,空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式), 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1.所选用的差分格式是: 2.计算所求近似值:
四.(12分)试讨论差分方程
()h
a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ
+
-
=
-+=++++11,111
1
逼近微分方程
0=∂∂+∂∂x
u a t u 的截断误差阶R 。 思路一:将r 带入到原式,展开后可得格式是在点(l+1/2,k+1/2)展开的。
思路二:差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点,可由此构造中心点的差分格
式。
五.(12分)对抛物型方程
22x
u
t u ∂∂=∂∂,考虑Du Fort-Frankel 格式 试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann 条件? 六. (12分)(1)由Green 第一公式推导Green 第二公式: (2) 对双调和方程边值问题
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=∂∂+∆=∂∂=∈=∆ΓΓΓ+Γ0
,),(][),(,),(),(),(2
1
2
1
212αϕαy x n u
u y x g n u y x g u G y x y x f u ,G ∂=Γ+Γ21
选择函数集合(空间)为:
推导相应的双线性泛函和线性泛函: 相应的虚功问题为: 极小位能问题为 七.(12分)设有常微分方程边值问题 将区间],[b a 作剖分:
1.若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数,试写出基函数所应满足的插值条
件: 2.画出基函数在],[b a 上的图形:
3.将有限元解*
h y 用基函数的形式表示出来:
八.(12分)设有常微分方程边值问题
1. 转化为相应的变分问题
选择函数集合(空间)为:
推导相应的双线性性泛函和线性泛函:
2. 将[1,0]二等分,采用线性元的有限元方法,导出有限元方程并求解。
参考解答
二.(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++1
.0)4(10)4(1
2031210012C D A A B c U U U U U h U U U U U h
即
⎩⎨
⎧=+-=++-801.148
.14D C A
C B A u u u u u u (2)⎩⎨⎧=-+=+-52
.02.42599
.02.42D C B D B A U U U U U U 或
⎩
⎨
⎧=+-=+-08.12.3404
.12.34D C B A U U U U
(3)⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----52.0599.0801.18.12.4210102.421401
0114
D C B A u u u u 或
三.
1
.125.05.025.0)1(2)1())1(01
000
101
200012101121=++=+-+-=+-=----U U U u r u r r u r ru u r u
四.Box 格式,二阶 五.练习题。总满足。
六.1.在Green 第一公式()()⎰⎰⎰⎰⎰
Γ∂∂-+=
∆-G
G
y y x
x
vds n
u
d v u v
u vd u σσ中 ①将v u 与位置对换,并进一步换u u ∆-→ ②在原Green 公式中换u u ∆-→
2.取⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∈=ΓΓ+Γ212
2
1
2
1
,,g n u g u H u u H F
20H v ∈∀,由Green 第二公式有()()⇒=∆v f v u ,,2
()⎰⎰⎰∂∂∂∂+∆⋅∆=ΓG
ds n
v
n u d v u v u A 2
),(α
σ, =)(v F ⎰⎰
⎰
∂∂+G
ds n
v vd f ϕσ
虚工问题:求2
F H u ∈*
,使(
)()20,H v v F v u A ∈∀=*
极小位能:求2
F H u ∈*
,使()()()()u I u F u u A u I
F
H u 2
min ,2
1∈*
*
*
*
=-=
七.1.1,,2,1,0,,
0,1)(-=⎩⎨
⎧≠==n i i
j i
j A j i Λϕ
2.∑∑==+=n
i i
i
n
i i
i
h
x m x y x y 0
)1(0
**)()()(ϕ
ϕ
八.1. 取()(){}
()(){}010,,
11,00,11011
==∈===∈=y y H y y H y y H y y H E
,1
0H ∈∀η作内积 ()()ηη,,2x y y =+''-,分部积分
虚工问题:求
1E
H y ∈*,使()()1
0,H F y A ∈∀=*ηηη