甘肃省2022-2023学年高一下学期期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题〖答 案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答 案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答 案〗标号．回答非选择题时，将〖答 案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}3,1,2,6A =--，{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{2,6}B ．{3,1}--C ．{1,2,6}-D ．{3,1,2}--2．“260x x -->”是“5x <-”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．复数(12i)(3i)-+-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．sin145cos35︒︒=（ ）A ．sin 70-︒B ．1sin 702-︒C ．sin 70︒D ．1sin 702︒5．若正方形ABCD 的边长为2，则AD AB BD -+=（ ）A．B．D．6．若x 是方程2123xx =-的解，则0x ∈（ ）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)7．一个底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则V=（）A．203πB．6πC．163πD．8π8．柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双．若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）A．15B．25C．35D．45二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城镇人口比重图如图所示，则（）A．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为40.01%B．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%C．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%D．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%10．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（）A．事件、A和事件B是对立事件B．事件A和事件C是对立事件C．()()P B C P C+=D．()()P BC P C=11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,4a b ==，锐角C满足sin C =，则（ ）A ．ABC △的面积为B ．1cos 4C =C．c =D．cos 19B =12．在直三棱柱111ABC A B C -中，BC BA ==，2AC =，13AA =，点E 在棱1AA 上，1AE =，D 是11A C 的中点，则（ ）A ．三棱柱111ABC ABC -的侧面积为3 B ．三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为13πC ．11//B C 平面BCDD ．CE ⊥平面1B DE三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=______．14．已知sin 2cos αα=-，则tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______． 15．已知函数2cos (0)y x ωω=>在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为14，则ω的值为______．16．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=．在底面为矩形的四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，AD=，PC与底面ABCD所成的角为6π，在四棱锥P ABCD-中，顶点B的曲率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．证明：以(1,2)A，(3,6)B，(0,5)C，(1,3)D-为顶点的四边形是直角梯形．18．已知复数11iz'=+，22i()z m m=+∈R．（1）若21zz为纯虚数，求m；（2）若21zz∈R，求123iz z+的实部与虚部之和．19．已知1cos()3αβ+=，1sin sin4αβ=．（1）求cos cosαβ；（2）求()cos 22αβ-．20．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,cos 2b a b c a B c =+．（1）求A ；（2）若AD 为ABC △的角平分线，2AD =，且2sin sin B C =，求ABC △的周长．21．如图1，正方形ABCD 和正方形EFGH 的中心重合，36,//,,,,AB EF HG CD I J K L ==分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，将图中的四块阴影部分裁剪下来，然后将HEI △，EFJ △，FGK △，GHL △分别沿着HE ，EF ，FG ，GH 翻折，使得点I ，J ，K ，L 与点P 重合，得到如图2所示的四棱锥P EFGH -．（1）求直线PE与底面EFGH所成角的余弦值；（2）若M为PF的中点，求M到平面PGH的距离．22．某高校的人学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是111 ,, 234．（1）求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率．——★ 参 考 答 案 ★ ——一、选择题 1．A〖解 析〗由题意得{}2,6A B =．2．C〖解 析〗由260x x -->得2x <-或3x >，所以“260x x -->”是“5x <-”的必要不充分条件． 3．B〖解 析〗因为(12i)(3i)17i -+-=-+，所以(12i)(3i)-+-在复平面内对应的点位于第二象限． 4．D〖解 析〗1sin145cos35sin 35cos35sin 702︒︒=︒︒=︒．5．A〖解 析〗由题意得242AD AB BD BD -+==6．C〖解 析〗因为函数()2312x f x x =+-单调递增，且2(2)261220f =+-=-<，3(3)291250f =+-=>，所以函数()f x 的零点所在区间是(2,3)，即0(2,3)x ∈．7．C〖解 析〗由题可知3242243V ππ⨯+=⨯⨯，解得163V π=． 8．B〖解 析〗设红、黑、白颜色的左手手套依次为1a ，1b ，1c，右手手套依次为2a ，2b ，2c ，则这个试验的样本空间为()()()()()()()()()()()(){111112121211121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a a a b a c b c b a b b b c c a c b c c ()()()}222222,,,,,a b a c b c ，共包含15个样本点．记事件A =“取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套”，则()()()({)()()}121212121212,,,,,,,,,,,A a b a c b a b c c a c b =，共包含6个样本点，所以62()155P A ==．二、选择题 9．BC〖解 析〗甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为52.23%11.13%41.1%-=，A 错误．这组数据从小到大排列依次为11.13%，12.22%，15.34%，22.04%，24.01%，36.12%，52.23%，则这组数据的中位数为22.04%，B 正确．因为775% 5.25⨯=，所以这组数据的第三四分位数为36.12%，C 正确．平均数为1(11.13%12.22%15.34%22.04%24.01%36.12%52.23%)7++++++=173.09%25%7<，D 错误．10．BC〖解 析〗易知A 错误，B 正确．又因为B C ⊆，所以()()P B C P C +=，()()P BC P B =，故选BC ． 11．BC〖解 析〗由题意得ABC △的面积为1sin 2ab C =．因为C 为锐角，所以1cos 4C ==．由余弦定理，得2222cos 19c a b ab C =+-=，所以c =，222cos 219a c b B ac +-==．12．BCD 〖解 析〗三棱柱111ABC A B C -的侧面积为2)36⨯=．因为BC BA ==，2AC =，所以ABC △为以B 为直角的等腰三角形，则三棱柱ABC -111A B C的外接球半径r ==，所以外接球的表面积为13π． 因为11//B C BC，11B C ⊂/平面BCD ，所以11//B C 平面BCD ．由已知得1111A B B C =，又D 是11A C 的中点，所以111B D AC ⊥，侧棱1AA ⊥平面111A B C ，又1B D ⊂平面111A B C ，所以11AA B D⊥，因为1111AA AC A =，所以1B D ⊥平面11AAC C，又CE ⊂平面11AAC C，所以1B D CE⊥，因为1AE =，2AC =，13AA =，所以CE =DE =CD =则222CE DE CD +=， 所以CE DE ⊥．又1DEB D D=，所以CE ⊥平面1B DE．故选BCD ．三、填空题 13．2-〖解 析〗(5)(5)2f f -=-=-．14．13-〖解 析〗由题可知tan 2α=-，则tan 1211tan 41tan 123πααα+-+⎛⎫+===-⎪-+⎝⎭． 15．43〖解 析〗21cos (1cos 2)2y x x ωω=-+，又,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,23x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 由题可知2πω-23π=-，解得43ω=．16．34π〖解 析〗 如图，连接AC ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PCA ∠为PC 与底面ABCD 所成的角，则6PCA π∠=，所以AC =．又AD =，在矩形ABCD 中，CD PA ==，则AB CD PA ==，所以4PBA π∠=．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，所以顶点B 的曲率为322244ππππ⎛⎫-⨯+=⎪⎝⎭．四、解答题17．证明：由题意得(2,4)AB =，(2,1)AD =-，(1,2)DC =，则2AB DC =， 得//AB DC 且2AB DC =，则四边形ABCD 为梯形． 因为22140AB AD ⋅=-⨯+⨯=，所以AB AD ⊥．故以(1,2)A ，(3,6)B ，(0,5)C ，(1,3)D -为顶点的四边形是直角梯形．18．解：（1）212i (2i)(1i)2(2)i1i (1i)(1i)2z m m m m z ++-++-===++-，因为21z z 为纯虚数，所以20,220,2mm +⎧-⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩解得2m =-．（2）因为21z z ∈R ，所以202m -=，解得2m =， 所以123i 33i 2i 215iz z +=++-=+，故123i z z +的实部与虚部之和为156+=．19．解：（1）由11cos()cos cos sin sin cos cos 43αβαβαβαβ+=-=-=，得117cos cos 3412αβ=+=． （2）因为715cos()cos cos sin sin 1246αβαβαβ-=+=+=，所以2257cos(22)cos 2()2cos ()1213618αβαβαβ-=-=--=⨯-=．20．解：（1）由正弦定理得sin sin cos sin 2BA B C =+，即2sin cos sin 2sin A B B C =+．因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以sin 2cos sin 0B A B +=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=．（2）因为2sin sin B C =，所以2b c =， 由ABD ACD ABCS S S +=△△△，得111sin sin sin 222c AD BAD b AD DAC bc A⋅⋅∠+⋅⋅∠=， 得12c b bc+=．又2b c =，解得3b =，6c =，则a ===，所以ABC △的周长为639++=+21．解：（1）如图1，取HE 的中点N ，连接IN ．如图2，连接EG ，HF ，设EG ，HF的交点为O ，连接PO ．由题意得HI EI =，PE IE ∴= 易得四棱锥P EFGH -为正四棱锥，PO ∴⊥平面EFGH ，PE ∴与底面EFGH 所成的角为PEO ∠．12EO EG ==cos EO PEO PE ∴∠==． （2）由题意得M 到平面PGH 的距离等于F 到平面PGH 的距离的12．设F 到平面PGH 的距离为h ．由题意得122PHG HEI S S HE IN ==⋅=△△，12FGH S HG =△．2FG =，PO ==1133F PHGPHG P FGH FGH V S h V S PO--=⋅==⋅△△，FGH PHG S PO h S ⋅∴==△△．故M 到平面PGH 的距离为2．22．解：（1）设事件D 为李明第一环节抽中A 题，且第一环节通过面试，由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为13， 所以111()326P D =⨯=．（2）方法一：设事件E 为李明第一环节通过面试，则11111113 ()32333436P E=⨯+⨯+⨯=．设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：A题错B题错C题错，A题错C题错B题错，B题错A题错C题错，B题错C题错A题错，C题错A题错B题错，C题错B题错A 题错．所以111231 ()6322344P F=⨯⨯⨯⨯⨯=．故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为71()()18P E P F--=．方法二：设事件E为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：A题错B题对，A题错C题对，B题错A题对，B题错C题对，C题错A题对，C题错B题对．所以1111112121313117 ()3223243234424372P E⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭．设事件F为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下：A题错B题错C题对，B题错A 题错C题对，A题错C题错B题对，C题错A题错B题对，B题错C题错A题对，C题错B题错A题对．所以1112113132111 ()2223223424343272P F⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为7 ()()18P E P F+=．。
