定远育才学校2019—2020学年度第一学期第三次月考高一实验班数学一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.以下说法正确的有（ ）①若{(,)|4}{(,)|21}A x y x y B x y x y =+==-=，，则{}31A B ⋂=，； ②若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =； ③函数1y x=的单调递减区间是(0)(0)-∞+∞，，；④若集合P ={a ，b ，c }，Q ={1，2，3}，则映射f ：P →Q 中满足f （b ）=2的不同映射共有9个 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】①由(){}4331211x y x A B x y y +==⎧⎧⇒⇒⋂=⎨⎨-==⎩⎩， ，故错误；②中(0)(0)(0)0f f f -=-⇒=，正确；③单调递减区间为()()0,0-∞+∞，，， 故错误；④不同映射共有339⨯= 个，故正确，综上正确的有2 个，故选B.2.函数2()3125f x x x =-+在区间[]0,n 上的最大值为5，最小值为7-，则n 的取值范围是（ ） A. [)2,+∞ B. []2,4C. (],2-∞D. []0,2【答案】B 【解析】∵函数22()31253(2)7f x x x x =-+=--∴函数()f x 的对称轴为直线2x =，且函数()f x 的最小值为7- 令()5f x =，解得0x =或4∵()f x 在区间[0,]n 上的最大值为5，最小值为7- ∴实数n 的取值范围是24n ≤≤ 故选B点睛：本题考查二次函数的图象与性质.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系函数的图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.3.函数()y =f x 在[0，2]上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数，则下列结论成立的是( )A. 57(1)()()22f f f << B. 75()()(1)22f f f << C. 75()(1)()22f f f <<D. 57()(1)()22f f f <<【答案】C 【解析】 【分析】函数(2)f x +是偶函数可得函数()y f x =图像关于2x =对称，利用对称性将数值转化到[]0,2内比较大小.【详解】函数(2)f x +是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数()y f x =的图像关于2x =对称，则53()()22f f =，71()()22f f =，函数(=)y f x 在[]0,2上单调递增，则有13()(1)()22f f f <<，所以75()(1)()22f f f <<.选C . 【点睛】本题考查抽象函数的性质.由(2)f x +的奇偶性得到()f x =的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系.4.函数2ln x x y x=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】由函数2ln x x y x =为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B 、C ；0x >时，函数22ln ln 2ln x x y x x x===在()0,∞上递增，可排除选项D ；故选A.点晴:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则()192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 32-B. 152-C.12D. 12-【答案】D 【解析】函数()f x 满足()()2f x f x += ()f x ∴函数是周期为2的周期函数，1911222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当01x ≤≤时，()()21f x x x =-1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭故19122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭故选D点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型6.如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A. [1，＋∞)B. [0C. [0，1]D. [1【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，求213()22f x x x =-+的增区间，再求()13122f x y x x x==-+的减区间，从而求缓增区间.【详解】因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+， 令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为， 故选D.【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.7.设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是 A. (0,)AB =+∞B. (](),0U C A B ⋃=-∞ C. (){}210U C A B ⋂=--，，D. (){1,2}U C A B =【答案】C【解析】∵{}0A y y =，{}21012B =--，，，， ∴(){}0,210A B ⋃=+∞⋃--，，,选项A 错误；()]({}012U C A B ，，∞⋃=-⋃，选项B 错误； ()]({}{}021012210U C A B ∞⋂=-⋂--=--，，，，，，，，选项C 正确，D 错误， 故选C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．8.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (千帕)是气球体积V (立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为( )A .p ＝96VB. p ＝96V- C. p ＝69VD. p ＝96V【答案】D 【解析】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设kp V=，由图象可知，点()1.5,64 在函数图象上，所以64 1.5k=，解得96k =，故96p V=，故选D. 9.设函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()3g x x=-图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间为( )A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】C 【解析】令()()133xh x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()()58102,1,2,33927g g g g =-=-=-=，故()h x 的零点在()2,3内，因此两函数图象交点在()2,3内，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用，属于中档题. 零点存在性定理的条件：（1）利用定理要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线；（2）要求()()0f a f b <；（3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性).10.已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是 A. ()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞ B. ()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-∞ C. ()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- D. ()f x 是奇函数，递增区间是(),0-∞【答案】C 【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)＝222,0{2,0x x x x x x -≥--<，画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)f 的值为（ ）A. 3-B. 13-C.13D. 3【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，1222log 3log 3222241(log 3)(log 3)(log 3)2(lo 3)2g 9f f f f --==--=-==-=-，故选B ．考点：指数幂运算及对数的运算性质．12.已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-+，则当0x <时，()f x 的解析式是（ ） A. ()(2)f x x x =-+ B. ()(2)f x x x =- C. ()(2)f x x x =-- D. ()(2)f x x x =+【答案】D 【解析】令0x <，则0x ->，所以()22f x x x -=--，又()f x 是R 上的奇函数，所以()2()2(2)f x f x x x x x =--=+=+，故选D.二、填空题（共4小题,每小题5分，共20分）13.函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.5-=[]4,2.1-=2．已知定义在R 上的函数()g x =[][]2x x +，若A = {|y y = (),01}g x x ≤≤，则A 中所有元素的和为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据取整函数的意义，将定义域分为102x ≤<、112x ≤<、x=1三段分别求得值，即可求得集合A 中的各元素，进而求得A 中所有元素的和． 【详解】由题意，∵01x ≤≤， ∴022x ≤≤，当102x ≤<时，()g x =[][]2x x +=0；当112x ≤<时，()g x =[][]21x x +=； 当x=1时，()g x =[][]2x x +=3， ∴A ={}0,1,3，则A 中所有元素的和为4， 故答案为4．【点睛】本题考查了函数新定义及性质的简单应用，注意分段函数边界点的选择，属于中档题．14.若2()lg ()1x f x a a x R ⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭是奇函数，则常数a 的值为___________． 【答案】1- 【解析】【详解】因为2()lg ()1x f x a a x R ⎛⎫=+∈⎪+⎝⎭，所以2()lg 1x f x a x ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭， 因为()()0f x f x +-=，所以22111x x a a x x -⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭， 化解得222(43)1a a x a -++=-，所以2243010a a a ⎧++=⎨-=⎩，解得1a =-． 15.若函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，()22xf x x c =++，则(2)f -的值为__________． 【答案】7- 【解析】函数()y f x =在R 上为奇函数故(0)0, 1.f c ==- ，()()22f f -=-，(2)4417,f =+-=故(2)7.f -=- 故答案为-7.16.将函数xy e =的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数()y f x =的图像，则函数()y f x =的零点为__________． 【答案】1ln3+【解析】将函数xy e =的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数13x y e -=-令130x y e-=-=，得到其零点为1ln3+即答案为1ln3+三、解答题（共6小题,共70分）17.已知0a > ，1a ≠，设集合{|log (1)log (5)}a a A x x x =+>-，{|211}B x m x m =-<<+.（1）若1a >，请用区间表示A ；（提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性） （2）若1.9A ∈，且AB B =，求m 的取值范围.【答案】(1)()2,5A =；(2)[][)0,12,+∞.【解析】试题分析：（1）由对数函数的性质可得1550x x x +>-⎧⎨->⎩，解不等式组即可得结果；（2）由1.9A ∈，可得01a <<，结合对数函数的性质可得()1,2A =-，由A B B ⋂=可得B A ⊆，讨论两种情况，列不等式求解即可.试题解析：（1）当1a >时，不等式：()()log 1log 5a a x x +>-⇔ 150x x +>-> 1550x xx +>-⎧⇔⎨->⎩ 25x ⇔<<所以()2,5A =.（2）若1.9A ∈，则log 2.9log 3.101a a a >⇒<<. 不等式()()log 1log 5a a x x +>-⇔ 015x x <+<-1510x x x +<-⎧⇔⎨+>⎩12x ⇔-<<此时，()1,2A =-.①若B =∅，即2112m m m -≥+⇔≥时，A B B ⋂=成立. ②若B ≠∅，则A B B B A ⋂=⇔⊆()()21,11,2m m ⇔-+⊆-12112m m ⇔-≤-<+≤ 01m ⇔≤≤综上，m 的取值范围是[][)0,12,⋃+∞. 18.已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）增区间为(),0-∞；减区间为()2,+∞；（2）1a >． 【解析】【详解】试题分析：（1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2102x x ->可得函数的定义域为()(),02,-∞+∞，结合图象可得函数的减区间为(),0-∞，增区间为()2,+∞．（2）令()2g x ax x =-，分两种情况考虑．当01a <<时，若满足题意则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且2min ()0g x ax x =->；当1a >时，若满足题意则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且2min ()0g x ax x =->．由此得到关于a 的不等式组，分别解不等式组可得所求范围． 试题解析： （1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2102x x ->，得220x x ->， 解得0x <或2x >， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(),0-∞，减区间为()2,+∞． （2）令()2g x ax x =-，则函数()g x 的图象为开口向上，对称轴为12x a=的抛物线， ①当01a <<时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且2min ()0g x ax x =->，即()1421140164ag a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，此不等式组无解．②当1a >时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且2min ()0g x ax x =->，即()1222420a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，又1a >， ∴1a >， 综上可得1a >．所以实数a 的取值范围为(1,)+∞． 点睛：求函数的单调区间时容易忽视函数定义域的限制，对数型函数的单调性满足“同增异减”的性质．对于本题中的（2），同样容易忽视20ax x ->的限制条件，解题时要考虑全面，不要漏掉条件．19.已知定义在R 上的函数2()2x x b f x a--=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t ∈R ，关于t 的不等式2(2)()0f t t f k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-，1b =-（2）()f x 在R 上为减函数（3）1k <- 【解析】试题分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a ，b ；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()()22f t t f k f k -<--=，然后利用单调性求k 的取值范围. 试题解析：（1）因为()22x x b f x a --=-是定义在R 上的奇函数所以()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =-，1b =-经检验符合题意，所以1a =-，1b =-（2）由（1）知()1212xxf x -=+设12x x <，则()()()()()2112121212222121212121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++ 因为2xy =是增函数，所以21220x x >>，所以()()12f x f x >所以()f x 在R 上为减函数（3）因为()f x 为R 上减函数，且为奇函数所以()()220f t t f k -+-<等价于()()()22f t t f k f k -<--=，所以22t t k ->恒成立即()22211k t t t <-=--，所以1k <-点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在，难度不大；在该题中可将不等式()()220f t t f k -+-<转化为()()22f t t f k -<，结合单调性由此可把不等式化为具体不等式求解.20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．【答案】（1）=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 【解析】【详解】（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； 当420x <≤时，设，显然在[4,20]是减函数，由已知得200{42a b a b +=+=，解得18{52a b =-=故函数=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈（2）依题意并由（1）可得*2*2,04,{15,420,.82x x x N x x x x N <≤∈-+≤≤∈ 当04x ≤≤时，为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=；当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==．所以，当020x <≤时，的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 21.若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()xf f x f y y=-，当1x >时，()0f x >.（1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 【答案】（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 22.已知0a >且1a ≠，函数2()log 1a f x x=-. （1）求()f x 的定义域D 及其零点；（2）讨论并用函数单调性定义证明函数()f x 在定义域D 上的单调性；（3）设2()23g x mx mx =-+，当1a >时，若对任意1(,1]x ∈-∞-，存在2[3,4]x ∈，使得12()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 定义域D 为(,1)-∞,函数()f x 的零点为-1;(2)见解析;(3) 1m ≥-. 【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数()f x 定义域为(,1)-∞，再由()0f x =，即可求解函数的零点；（2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）由任意1(,1]x ∈-∞-，存在2[3,4]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，得到max max ()()f x g x ≤ 由（2）知当1a >时，()f x 在(,1]-∞-上单调递增，得到函数的最大值为0，分三种情况讨论，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（1）由题意知，201x>-，1x 0->，解得x 1<， 所以函数()f x 定义域D 为(),1∞-. 令()f x 0=，得211x=-，解得x 1=-，故函数()f x 的零点为-1； （2）设1x ，2x 是(),1∞-内的任意两个不相等的实数，且12x x <，则21Δx x x 0=->，()()121a21x Δy f x f x log 1x -=-=- ∵12x x 1<<，∴12x x 1->->-，即121x 11x ->- 所以当0a 1<<时，Δy 0<，故()f x 在D 上单调递减， 当a 1>时，Δy 0>，故()f x 在D 上单调递增.（3）若对于任意(]1x ,1∞∈--，存在[]2x 3,4∈，使得()()12f x g x ≤成立， 只需()()max max f x g x ≤由（2）知当a 1>时，()f x 在(],1∞--上单调递增，则()()max f x f 10=-= ①当m 0=时，()g x 3=，()()12f x g x ≤成立②当m 0>时，()g x 在[]3,4上单调递增，()()max g x g 48m 3==+，由8m 30+≥，解得3m 8≥-，∴m 0>③当m 0<时，()g x 在[]3,4上单调递减，()()max g x g 33m 3==+，由3m 30+≥，解得m 1≥-，∴1m 0-≤<综上，满足条件的m 的范围是m 1≥-.点睛：本题函数性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性的定义证明与判定，函数的奇偶性的应用，函数零点的概念与求解，同时考查了分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解答中熟记函数的基本性质的概念和判定方法，合理转化恒成立与有解问题时解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.。
