c—幂零群与幂零群

（） ＝ （ ；（） １ Ｋ ６ ２Ｃ是 ＵＣ的极大 子群 ． Ｎ ３
中图分类号： ５ ． Ｏ １ ２１
文献标识码：Ａ
极 大子 群 的极大 完备 未必 是群 Ｇ 的极大 子群 ，
１预备知识及 引理
关 于 极 大 子 群 的性 质 和 有 限 群 结 构 之 间 的 关
下 面 的引理 给 出了极 大完 备是 极大 子群 的一个 充分
性质 ２ Ｉ 令 ≤Ｍ＜Ｇ ６ ，ⅣｑＧ那么 ’／ 与 ＭＮ
的 Ｃ 一 同构． Ｉ截
， ，叫做 在 Ｇ 中 的指 数 复合．并且 ， （
大完 备．
中的
元 按包含 关 系构成 一个 偏序 ， 其极 大元 叫做 的极 利用 极大 完备 这个 概念对 于研 究有 限群 的构 造 提供 了一 个很 好 的途 径 ，关 于这 一课题 的系列文 章 可参 阅文 献 ［—】 ３５．一般 而 言 ，极大 完 备不 是 同态 遗 传 的 ，即若 Ｃ是 中的极 大元 ， 是含 于 ＣｎＭ
Ｃ中 的每一 个 Ｇ 不变 真字 群都 含在 Ｍ 中．用 ０
表 示 Ｃ的所有 Ｇ 不变 真子 群之 积 ，则 ０ ＜Ｃ ，并 且 ｃ ｑＧ， 在 Ｇ 中 的所有 完备 作成 的集合 记 为 ） Ｍ
性质 １ Ｉ 对于群 Ｇ的任意极大子群 Ｍ， ６ 在同构
意义 下 在 Ｇ 中有 唯一 的 Ｃ 一 Ｉ截．
因此在 关于 极 大完备 的命 题 中 ，归纳法 是 失效 的 ， 文献 ［】 ３利用 下面 的引理从 根本 上解 决 了这 一 问题 ． 首先给 出定 义 ： 定义 ３群 称 为群 ｙ的一 个截 断 ，如 果 Ｘ 是
关冀词：极 大子群： Ｉ Ｃ． 截；可解群
群 ｙ的一 个子 群 的同态 像． 引理 １ 】令 Ｇ是群 ， ｑＧ使 ＧＮ有 唯一 极 小 ｔ ／

，
引理 ５３ Ｇ‘ ［ １ ｑＧ
且商 ／ ‘ 换 反 若Ｈ ｑ 且Ｇ 为交 群， ‘ 群ＧＧ 是交 群． 之， Ｇ ／ 换 则Ｇ
，
．
引理 ６１ ［ １ Ｇ是幂零的次单群， （ 则Ｉ Ｉ Ｇ ＝Ｐ Ｐ是素数 ） Ｒ Ｇ是循环群．
引理 ７ １ Ｇ 为非幂零的可解 次单群， 则必有 ｌ ｑ，Ｇ ＝ ， Ｉ Ｇ ＝Ｐ ＜口 ｂ＞，ａ ＝１ ｐ＝ａ ，６ ａ ，ｂ ～ ｂ＝ａ ， ， 三ｌ ｄ ） （—１三０ｍｏ ｑ Ｐ＜ｇ， ｐ ｇ ｐ （ ｍｏ ｑ ，ｒｔ ） （ ｄ ）（ Ｒ ， 均为素数 ） ．
Ｇ ＝１ 其中Ｇ Ｇ （ １ ，， 循 ， 川／ ， ，． Ｓ ２． ） ．
环 ．由此可 知 Ｇ／ 循 环且 也循 环 ． 因为 Ｇ 非幂零 ，所 以非交换 ， Ｚ Ｇ） Ｇ 的真 正规 子群 ．若 又 故 （ 为
Ｚ Ｇ ≠１ 则由于Ｇ的次单性， （） ， 必有Ｚ Ｇ ：Ｈ， （） 因为Ｇ非交换， 由引理 ２ 可知Ｇ Ｈ＝Ｇ ＺＧ 不可能循环， ／ ／ （）
－
Ｄ ｃ ２ ０７ ｅ． ０
…
文章编号：１ ３ ８３２０ ） － ９ － ０ ． ４ （ ７ ６１ ４ ３ ０２ ０ ０ ２ ０
关于有 限次单群 的几个结论
刘锐 ， 晓琳 杨
（ 成 都 理 工 大 学信 息 管理 学 院，四 川 成都 ６０５ ） １０ ９
摘
要 ：本 文讨 论 了几个特殊的有限次单群的性质及结构，得到 了若干结论，丰富 了研 究次单群这一领域的成果．
尺 是 忠 实 表 示 ，所 以 Ｇ 兰Ｒ Ｇ）． 由 引 理 １ 可 知 Ｇ 必 有 ２ 阶 元 ｇ ， ｇ≠１ ＝１． 由 于 （ ， ｇ ａ （ ） ，（ ｇ） Ｒ ｇ ≠ａ口 Ｒ（ ） ＝口 Ｖ ， ａ∈Ｇ ， Ｒ ｇ 是一些对换 （ ，Ｒ ｇ ） 故 （） 以 ａ （ ）之积， Ｇ 共有 ２ 个元素， 而 ｑ 从而 Ｒ ｇ 是 （） ｇ个对换之积．由于 ｇ为奇数， 所以 Ｒ ｇ 是奇置换， （） 于是 尺 Ｇ） （ 中含有奇置换． 从而 （ ） Ｇ 中全体偶置换构成 了 （ ） Ｇ 的指数 为 ２ 的正规子群 ，且ｆ ｆｇ．由于 Ｒ Ｇ） （ ， 以 Ｒ Ｇ） ： Ｈ （ ＜Ｓ Ｇ） 所 （ 的换位元素全是偶置换 ， 即

心 群列 。 有 中心 群列 的（ 限 ） 具 有 群称 为 幂零群 。设
Ｈ≤Ｇ 对 于群 Ｇ的任 一子群 Ｋ， ， 只要 （日Ｉ ｌ ） ， １ ，Ｋ１ ＝１
就 有 Ｈ Ｋ 则 称 是半 正规 的 ； Ｋ＝ Ｈ， 若对 于任 意 的 素数 ＰＩＧＪ只 要有 （１ ， ）＝１ 就 有 ｌ ｌ ， 日ｌ ｐ ， ｉ ｐ＝Ｐ Ｈ， 其 中 Ｐ为 Ｇ的 ＳｌｗＰ一子 群 ， 称 日是 ｓ ｙ ｏ 则 一半 正
义如文献［ ］ １ 啪 。 所示 。
设 Ｇ为有 限群 ， Ｃ Ｇ … ＜Ｇ 一 ＜Ｇ ＝Ｇ １＝ ｏ ｌ Ｉ １ Ｉ
是 Ｃ的一个 正规群列 。若 Ｇ／ 包含 在 Ｇ Ｇ（ ＝ Ｇ ／ ｉ
１２ … ， ） 中心 内 ， 称 这个 群 列 为 Ｇ的 一个 中 ，， ｎ 的 则
第 ３ ３月 １期 ２卷 ２１ ０ ２年 第
Ｊｕ ａｏＡｈ安徽ｖｒｔ大学ｉｃ 自然科ｏｇ（ａ ｒ ｉｃ） ｏｒ ｌｆ ｎｕ Ｕｉ ｓｙｏＳ学报ａｄ ｅｈ学版 ）ｔａＳ ｅ ｅ ｎ ｉ ｎ理工 ｅ ｅ（ ｃｎｌｙＮ ｕｌｃ ｎ ｅｉ ｆ ｃｎ ｎ Ｔ ｏ
Ｖ １ ２ Ｎ ． ０． ｏ１ ３
ＧＵ Ｊａ ｇ—ｙ ｎ ｉｎ — ｏ ｇ
（Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｅｃ ｅ ｄ ｃｔｎ Ｓ ｑａ ｏ ｅｅ Ｓ ｑａ ｉ ｇｕ２３ ０ Ｃ ｉａ ｅ ａ ｍ ｎ ａｈｒ ｕａｏ ， ｕ ｉ Ｃ ｌ ｇ ， ｕｉｎＪ ｎｓ ２ ８０， ｈｎ ） ｔ ｏＴ Ｅ ｉ ｎ ｌ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍａ ｉ ｌ ｕ ｇｏ ｐ ｆ ｙ ｏ ｓｒ ｃ ：Ｂ ｓｎ ｘ ｍａ ｂ ｒ ｕ ｓ ｏ ｌｗ Ｐ—ｓ ｂ ｒ ｕ ｓ ｆＧ．ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓ０ ｎ ｔ ｒ ｕ ｅ ｈ ｓ Ｓ ｕ ｇｏ ｐ ｏ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆａｆ ｉ ｇ ｏ ｐ ｂ — ｉ ｉ ｉ ｅ ｉ ｇ Ｐ —ｎ ｌ ｏｅ ｔｉ ｇ ｖ ｎ：ｅ ｉ ｈ ｙｏ —ｓ ｂ ｒ ｕ ｓ ｏ ｎ ｉ ｔ ｎ ｓ ｉ ｅ ｌｔ ｐ Ｐ ｓ ｔ ｅ Ｓ ｌ ｗ Ｐ ｕ ｇ ｏ ｐ ｆＧ。ｉ ａ ｌｔ ｅ ｍａ ｉ ｌ ｕ ｇ ｏ ｐ ｆＰ ｉ ｓ—ｓ ｍｉ ｆ ｌ ｈ ｘ ｍａ ｂ ｒ ｕ ｓ ｏ ｓ ｓ ｅ — ｎ ｒ ｌｓ ｂ ｒｕ ｓｉ ｅ ｇ ｏ ｐ ｏ ｈ ｅ ｓＰ—ｎ ｌ ｏｅ ｔｇ ｏ ｐ，ａ ｄ ｗｈ ｃ ｅ ｅ ａｉ ｏ ｎ ｗ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｔ ｒ ｕ ｆＧ，ｔ ｎ Ｇ ｉ ｎｈ ｉ ｔｎ ｒ ｕ ｐ ｎ ｉｈ ｇ ｎ ｒ ｚ ｓ ｍｅ ｋ ｏ ｎ ｒ ｓ ｌ ｏ ｌ ｅ ｓ ｈ ｓｔ ｉ ． ｔ ｉ ｐ ｃ ｏ

内幂零群 ，从而 Ｇ＝Ｐ Ｒ，其中 Ｐ为 Ｇ的正规 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗｐ－ 子群，Ｑ是Ｇ的 Ｓ ｙ ｌ ｏ ｗｑ 一 予群且 Ｑ循环．
（ ２ ） Ｐ＝２， ｅ ｘ ｐ （ Ｐ ） ＝４．
若 ｐ＞２，则 ｅ ｘ ｐ （ Ｐ ） ＝Ｐ ，由假 设知 ， Ｐ≤Ｚ （ Ｇ） 而 Ｇ＝Ｐ Ｑ＝Ｚ （ Ｇ ） Ｑ为幂 零群 ，矛盾 ． 故 Ｐ＝２，同上
（ １ ）如果 Ｈ ≤ ≤Ｇ ，则 是 的 Ｃ ‘ 一 可 补 嵌入子 群．
收稿 日期 ：２ ０ ｌ ３ ４ —１ ６ 基金项 目：２ ０ １ １ 年伊 犁师范学院教改课题 ［ ２ ０ １ １ ０ ８ ］ ． 作 者简介 ：古丽洁合 热姆 ・ 阿 卜来 （ １ ９ ７ ） ，女 （ 维吾 尔族 ） ，讲 师，研 究方向 ：代 数学 ’ 通讯作者 ：郭继 东 （ １ ９ ６ ５ 一） ，男，教授 ，硕 士生导 师，研究方向 ：代数 学．
（ ３ ）设 是Ｇ 的一个 Ｐ一 子群 ，且 Ｈ （ Ｇ ） ，则 Ｈ在 Ｇ中 Ｓ 一 拟正规．
（ ４ ）若Ｎ ｑ Ｇ，则删 在Ｇ中是ｓ ． 拟正规嵌入的，且Ｈ Ｎ ／ Ｎ在Ｇ ／ Ⅳ中是 一 拟正规嵌入的．
引理 ２ ． ２ … 令 日 是 Ｇ 的一个 Ｃ 一可补 嵌入 子群 ，则 ：
１ ０
伊 犁师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２ ０ １ ３ 生
（ ２ ）如果Ⅳｑ Ｇ，且Ⅳ Ｈ Ｇ，则 Ⅳ是Ｇ ／ Ⅳ的Ｃ ’ 一 拟正规嵌入子群． （ ３ ）若日是Ｇ的子群，Ｎ是Ｇ的正规子群，则Ｈ Ｎ ／ Ｎ是Ｇ ／ Ⅳ的ｃ ． 一 拟正规嵌入子群．
引理 ２ ． ３ … 若 Ｐ是 Ｇ 的一 个 一 拟 正规 ｐ一 子群 ，￣ Ｕ ｗ ｅ （ Ｐ ） ＞ － （ Ｇ） ．