幂零群的若干充分条件_赵莹

第39卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2014年2月V o l.39N o.2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2014文章编号:10005471(2014)2000103有限群的W S C-子群与p幂零性①韩章家,陈晨,张志让成都信息工程学院应用数学学院,成都610225摘要:设H是群G的子群,如果H是G的弱s置换子群,或者是G的半覆盖远离子群,则H是G的W S C-子群.利用W S C-子群的性质给出了几个G是p幂零群的充分条件.关键词:有限群;弱s置换子群;半覆盖远离子群;p幂零群中图分类号:O152.1文献标志码:A研究有限群的具有某些特性的子群与有限群的结构之间的关系一直是有限群论的重要课题之一.文献[1]引入了弱s置换子群的概念,并利用一些特殊子群的弱s置换性得到了有限群超可解的一些充分条件.2006年,文献[2]引入了半覆盖远离子群的概念.设H为G的一个子群,M,N正规于G,且N<M,如果H N=HM,则称H覆盖M/N,而当HɘN=HɘM时,则称H远离M/N.我们可以看到,子群的弱s置换性和半覆盖远离性在刻画群结构方面有类似的结果,那么我们能否将这两种形式的结果结合起来呢?本文试图就这一问题作一些探讨.定义1如果G的子群H要么是G的弱s置换子群,要么是G的半覆盖远离子群,则称H是G的W S C-子群.下面的关于W S C-子群的性质在本文中是必要的:引理1[2-3]设G为群,K◁_G,HɤG,那么1)如果HɤMɤG,且H是G的W S C-子群,那么H是M的W S C-子群;2)设H是G的W S C-子群,如果g c d(|K|,|H|)=1,那么H K/K是G/K的W S C-子群.定理1设G是群.令p是能整除G的阶的奇阶素数,P是G的S y l o w p子群.如果N G(P)是p幂零的,并且P的每个极大子群是G的W S C-子群,那么G是p幂零的.证1)O pᶄ(G)=1.假设O pᶄ(G)ʂ1,设P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是G/O pᶄ(G)的S y l o w p子群.记췍G=G/O pᶄ(G),췍P= P O pᶄ(G)/O pᶄ(G),则N췍G(췍P)=N G(P)/O pᶄ(G)是幂零群.又记P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的极大子群.因为g c d(|P1|,|O pᶄ(G)|)=1,由引理1,P1O pᶄ(G)/O pᶄ(G)是P O pᶄ(G)/O pᶄ(G)的W S C-子群,那么G/O pᶄ(G)满足定理条件,即对于G/O pᶄ(G),N췍G(췍P)是p幂零的,且G/O pᶄ(G)的每个极大子群都是它的W S C-子群.所以G/O pᶄ(G)是p幂零的,那么G是p幂零群,矛盾.所以O pᶄ(G)=1.2)假设M是G的某一真子群,使得PɤM<G,那么M是p幂零群.显然N M(P)ɤN G(P),因此N M(P)是p幂零的.由引理1,M满足定理的条件,由G的极小性,M①收稿日期:20121022基金项目:国家自然科学基金(11301426),四川省教育厅面上项目(14Z A0314).作者简介:韩章家(1972),男,湖北红安人,副教授,主要从事群论的研究.Copyright©博看网. All Rights Reserved.2西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第39卷是p幂零的.3)G=P Q,其中Q是G的S y l o w q子群,pʂq,G是超可解群.如果G不是p幂零的,由文献[4],存在P的一个特征子群H(ʂ1),使得N G(P)为p幂零群,且N G(H)不是p幂零群.但是对于P的每个包含H的特征子群K,N G(K)为p幂零群,这里H<KɤP.因为H在P中特征,并且P◁_N G(P),则H◁_N G(P)并且N G(P)ɤN G(H).又因为N G(H)不是p 幂零的,故N G(P)<N G(H),由2)可得到N G(H)=G,从而O p(G)=H.由H的选择我们知道,对于P 的每个包含O p(G)的特征子群K,N G(K)是p幂零的.再由文献[4],我们有G/O p(G)是p幂零的,此时G是p可解的.对于任意qɪπ(G)且pʂq,存在G的S y l o w q子群Q,使得G1=P Q是G的一个子群.如果G1<G,由2)我们知道G1是p幂零的.由O pᶄ(G)=1,我们得到,QɤC G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.所以G=G1=P Q.4)G是p幂零群.令N是G的极小正规子群,因为O pᶄ(G)=1,则N是p群且NɤO p(P).由引理1知,G/N满足定理条件,再由G的极小性,G/N是p幂零群.因为p幂零群系是饱和群系,故N是G的唯一极小正规子群,且N⊈Φ(G).因此存在G的极大子群M,使得G=MN,且MɘN=1,N=C G(N)=O p(G)=F(G).设M p是M的极大子群,则G p=N M p是G的S y l o w p子群.如果M p=1,则G p=N,因此N G(P)=N G(N) =G,则G是p幂零群,矛盾.因此M pʂ1,M p包含在G p的某个极大子群P1中.令N1=P1ɘN,那么|NʒN1|=|NʒP1ɘN|=p,故N1是N的极大子群.假设P1是G的弱s置换子群,即存在xɪG,使得P1Q x=Q x P1,这里取Q是G的任一S y l o w q子群.因为N1=NɘP1⊆NɘP1Q xɤN,所以N=N ɘP1Q x,或者N1=NɘP1Q x.如果N=NɘP1Q x,那么NɤP1Q x.因为M pɤP1,则G pɤP1Q x,矛盾.所以N1=NɘP1Q x.因为N1=NɘP1Q x◁_P1Q x,那么N1◁_<P1Q x,N>=G.由N的极小性,我们得到N1=1,因此|N|=p.设p>q,则N Q是p幂零群,因此Q⊆C G(N)=C G(O p(G))ɤO p(G),矛盾.如果p<q,因为M≅G/N=N G(N)/C G(N)≅UɤA u t(N),我们可以得到M是交换群,从而M=QˑM p.现在设G=(Q M p)N,我们得到M p N=G pɤG,因此G=N G(P)是p幂零群,矛盾.如果P1是G的半覆盖远离子群,由N的极小性知P1覆盖N/1,所以N是阶为p的循环群,即NɤZ(P)并且PɤC G(N).由于C G(N)ɤN,故N=P是G的S y l o w p子群,从而由假设就可得G=N G(P)是p幂零群,矛盾.我们假设P的每个极小正规子群覆盖N/1,因此NɤΦ(P),从而NɤΦ(G),矛盾.定理2设G是群.令p是能整除G的阶的最小素数,且P是G的S y l o w p子群,并且使得P的每个4阶循环子群是G的W S C-子群,而P的每个p阶元素群包含在Z F(G)中,这里F是p幂零群类,P与四元素群无关,那么G是p幂零的.证设结论不真,群G为极小反例.由引理1,G的任意一个子群H满足定理2的条件,故G是内p 幂零群.由文献[5]的定理9.1.9,存在G的S y l o w p子群P和S y l o w q子群Q,使得G=P Q,其中P◁_G 且Q是循环的,而且P=Gᶄ.如果p为奇数,则e x p(P)=p;如果p=2,则e x p(P)|4.进一步有P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群.设xɪG且x∉Φ(P),则x的阶为p或者4.接下来我们分3种情况讨论.1)设P是交换群.此时P是初等交换群,由假设,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中.再由文献[6-7]知,G是p幂零群,矛盾.2)设P不是交换群,且p>2.此时P的幂指数是p,P的每个p阶子群包含在Z F(G)中,PɤZ F(G).由文献[6]可得,G是p幂零群,矛盾.3)设P不是交换群,且p=2.令L=<x>是P的循环子群,如果L是弱s置换子群,设Q是G的循环S y l o w q-子群,则存在gɪG使得L Q g=Q g L.由模律,有PɘL Q g=L(PɘQ g)=L◁_L Q g,所以L Q g ɤN G(L).我们考虑P/Φ(P)的子群LΦ(P)/Φ(P),因为P/Φ(P)是初等交换群,则LΦ(P)/Φ(P)◁_PΦ(P)/Φ(P).由Q gɤN G(L),且LΦ(P)/Φ(P)◁_G/Φ(P),因此LΦ(P)◁_G,所以L=LΦ(P)=P,矛盾.这个矛盾显示<x>不是G的弱s置换子群,而是半覆盖远离子群,即<x>在G中具有半覆盖远离性质.于是存在G的一个主列1=G0ɤG1ɤ ɤG l=G,使得<x>覆盖或者远离所有的G i+1/G i.因为xɪG,Copyright©博看网. All Rights Reserved.所以存在某个k ,使得x ∉G k 但x ɪG k +1.由G k ɘ<x >ʂG k +1ɘ<x >可得G k <x >=G k +1<x >=G k +1.故G k +1/G k 是一个阶为p 或4的循环群.由于G k ɘP ◁_G ,且P /Φ(P )是G /Φ(P )的极小正规子群,因此(G k ɘP )Φ(P )=Φ(P ),P .如果(G k ɘP )Φ(P )=P ,则G k ɘP =P ,这与x ∉G k ɘP 矛盾,故G k ɘP ɤΦ(P ).另一方面,(G k +1ɘP )Φ(P )=P ,故P /Φ(P )是一个阶为p 的循环群.利用引理1得G /Φ(P )满足定理2的假设,从而G /Φ(P )是p 幂零的,当然G 就是p 幂零的,矛盾.若p =2,并且P 与四元素群无关,在这种情况下,如果x 的阶为2,那么L =<x >是阶为2的子群,因此我们可以用1)的讨论得到矛盾.故我们假设P 的每个2阶子群包含在Φ(G )中,因此Φ(G )ʂ1,Z (P )ɘ(Ω1(Φ(P )))ɤZ (G ).得到Z (G )ɘP ɘG N =Z (G )ɘP ɘG =Z (G )ɘP ʂ1,由文献[8]的定理6.2.8,我们有Z (G )ɘP ɘG N=1(其中G N 是G 的幂零剩余).因此G 就是p 幂零的,矛盾.定理2得证.参考文献:[1]S K I B A A N.O n W e a k l y s P e r m u t a b l eS u b g r o u p s o fF i n i t eG r o u p s [J ].JA l g e b r a ,2007,315(1):192-209.[2] 樊 恽,郭秀云,岑嘉评.关于子群的两种广义正规性的注记[J ].数学年刊,2006,27A (2):169-176.[3] 陈云坤,游太杰.S yl o w 子群的弱正规化和子群的弱s 置换性[J ].扬州大学学报:自然科学版,2011,14(3):1-5.[4] T HOM P S O NJG.N o r m a l p C o m p l e m e n t s f o rF i n i t eG r o u p s [J ].JA l g e b r a ,1964,1(1):43-46.[5] R O B I N S O N DJS .AC u o r s e i n t h eT h e o r y o fG r o u p s [M ].N e w Y o r k :S p r i n g e r -V e r l a g ,1980.[6] L A U ER.D u a l i z a t i o no f S a t u r a t i o n f o rL o c a l l y D e f i n e dF o r m a t i o n [J ].JA l ge b r a ,1978,52(2):347-353.[7] D O E R KJ ,D E S K I N SB W E ,MU K H E R J E E NP .T h e I nf l u e n c eo fM i n i m a l p S u bg r o u p so n th eS t r u c t u r eo fFi n i t e G r o u ps [J ].A r c h M a t c h ,1985,45:1-4.[8] D O R N HO F FL .M -G r o u p s a n d2-G r o u ps [J ].M a t hZ ,1967,100(3):226-256.[9] 韩章家.p 幂零群的几个充要条件[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2009,34(5):7-13.O n W S C -S u b g r o u p s o f F i n i t eG r o u p s a n d p -N i l p o t e n c yHA NZ h a n g -j i a , C H E N C h e n , Z HA N GZ h i -r a n g S c h o o l o f A p p l i e dM a t h e m a t i c s ,C h e n g d uU n i v e r s i t y o f I n f o r m a t i o nT e c h n o l o g y ,C h e n gd u 610225,C h i n a A b s t r a c t :As u b g r o u p H o f G i s c a l le d aW S C -s u b g r o u p of G i f i t i s e i t h e r aw e a k l y s -p e r m u t a b l e s u bg r o u p o r a s e m i -c o v e r -a v o i d i n g s ub g r o u p o f G .I n t h i s p a p e r ,w i t h t h ec o n c e p t o fW S C -g r o u p s ,s o m e s u f f i c i e n t c o nd i t i o n s o f p -n i l p o te n t g r o u p s h a v eb e e n g i v e n .K e y w o r d s :f i n i t eg r o u p ;s -p e r m u t a b l e s u b g r o u p ;s e m i c o v e r -a v o i d i n g s u b g r o u p ;p -n i l p o t e n t g r o u p 责任编辑 廖 坤3第2期 韩章家,等:有限群的W S C -子群与p 幂零性Copyright ©博看网. 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极大子群与p-幂零群
朱静萍
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2008(032)003
【摘要】设G为一个群,日为G的一个子群,称H在G中是S-半置换的,若对G的任意一个Sylow p-子群Gp,只要(p,| H|)=1,就有GpH=HGp;称日在G中是c-正规的,若存在G的正规子群T使得G=HT,H ∩ T≤HG,其中Hc是G的包含在H中的最大的正规子群.利用S-半置换子群和c-正规子群获得了p-幂零群的一个充分条件,由此一些现有的结论.
【总页数】3页(P223-225)
【作者】朱静萍
【作者单位】佛山科学技术学院,信息科学与数学系,广东,佛山,528000
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.关于p-拟幂零群和p*-幂零群的一些结果 [J], 李士恒
2.Sylow子群的2-极大子群与有限群的p-幂零性 [J], 陈云坤;黎先华
3.极大子群与p-幂零性的一些充分条件 [J], 周洋;杨立英;韦华全;杨娇;钟国
4.p-幂零解、p-可解群与q-闭群 [J], 卢雪明
5.p-幂零群和p-闭群的若干充分条件 [J], 李世荣;史江涛;张翠
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关于p-幂零群和亚循环群
张林华;付诗禄
【期刊名称】《土木建筑与环境工程》
【年(卷),期】2000(022)001
【摘要】首先用C-正规子群和p-超中心的性质,对It定理作了推广,然后讨论了一类亚循环群的特征标.
【总页数】4页(P93-96)
【作者】张林华;付诗禄
【作者单位】重庆建筑大学,应用科学与技术系,重庆,400045;后勤工程学院,基础部,重庆,400016
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.关于p-拟幂零群和p*-幂零群的一些结果 [J], 李士恒
2.p-幂零解、p-可解群与q-闭群 [J], 卢雪明
3.关于有限群的幂零性与p-幂零性的一些判别 [J], 王坤仁
4.p-幂零群和p-闭群的若干充分条件 [J], 李世荣;史江涛;张翠
5.Sylow p-子群为循环群的10pn阶非交换群的 Coleman自同构群 [J], 依火阿呷;海进科
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p-可分群的两个充分条件
刘玉凤
【期刊名称】《商丘师范学院学报》
【年(卷),期】2007(23)12
【摘要】ψ表示p-可分群的群类.利用c-补子群的概念,得到了p-可分群的两个充分条件:(1)如果群G的4阶循环子群在G中c-可补且G的任意极小子群含于G的ψ-超中心Zψ(G)中,那么G是p-可分群;(2)设H(△)G且G/H是p-可分群.如果H 的任意4阶循环子群在G中c-可补且H的任意极小子群包含在G的ψ-超中心Zψ(G)中,那么G是p-可分群.
【总页数】3页(P19-21)
【作者】刘玉凤
【作者单位】山东工商学院,数学与信息科学学院,山东,烟台,264005
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.p-幂零子群的两个充分条件 [J], 王燕;谢凤艳;於遒
2.p-幂零群的两个充分条件 [J], 林丽秋;钱方生
3.子群的完全c-可换性与p-可分群 [J], 刘玉凤
4.p-幂零群的两个充分条件 [J], 刘玉凤
5.p-幂零群和p-闭群的若干充分条件 [J], 李世荣;史江涛;张翠
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幂零群与内幂零群的幂图郑涛;郭秀云【摘要】主要研究幂零群、内幂零群以及内交换群幂图的相关图论性质.一般地,给出有限群G的幂图P(G)为某图的线图当且仅当G为素数幂阶循环群,得到幂零群与内交换群幂图独立数取临界值时的充要条件,以及内幂零群与内交换群幂图可平面化的充要条件.最后,分析内幂零群与内交换群真幂图的连通性,给出了连通情形的直径估计以及非连通情形的连通分支个数.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(024)006【总页数】9页(P1030-1038)【关键词】幂零群;内幂零群;内交换群;幂图【作者】郑涛;郭秀云【作者单位】上海大学理学院,上海 200444;上海大学理学院,上海 200444【正文语种】中文【中图分类】O152.1幂图是通过群G的幂结构定义的图,即以群的全部元素作为图的顶点,不同顶点x与y有边相连当且仅当x=ym或y=xm,其中m∈N∗.幂图最早是在2002年由Kelarev和Quinn在半群中研究的,即半群中的不同元素x与y存在弧x→y当且仅当y=xm,其中m∈N∗[1].对于抽象有限群,2009年Chakrabarty等[2]开始考虑乘法半群Zn和其单位群Un的幂图,并决定了其为完全图、可平面图以及Hamilton 图的条件.2010年,Cameron[3]证明了两个有限群无向幂图同构与有向幂图同构等价.此外,2011年Cameron等[4]证明了有限交换群的幂图同构则群同构.考虑到幂零群、内幂零群以及内交换群在有限群研究中的重要地位,研究这三类群的幂图在一定程度上有助于人们进一步研究一般有限群的幂图结构以及群与图的关系.本工作基于2013年Chelvam等[5]关于有限交换群幂图的研究和2015年Doostabadi等[6]以及Pourgholi等[7]关于幂零群真幂图研究的一系列相关成果,对上述三类群的幂图性质与结构进行探究.本工作主要是研究幂零群、内幂零群以及内交换群所对应幂图的一系列图论性质.由于这类群结构比较清晰,可以对其相应幂图或真幂图的性质作进一步研究,主要从能否为线图、独立数性质、可平面性以及连通性等角度讨论.特别地,由于一般群G 的任意元素都与单位元相连,故在考察连通性时仅对真幂图P∗(G)进行讨论.1 准备工作假定本工作中出现的群皆为有限群,所用到的一系列符号与定义如下.V(Γ),E(Γ)分别表示图Γ的顶点集合与边集合.设G为有限群,用P(G)以及P∗(G)分别表示群相应的幂图与真幂图,其中真幂图是幂图去掉单位元顶点后所诱导的子图.K5为5个点的完全图,K3,3为由两个含3个元素的集合构成的二部图.此外,设Γ1,Γ2为两个图,则Γ1∪Γ2表示以V=V(Γ1)∪V(Γ2)为新的顶点集,以E=E(Γ1)∪E(Γ2)为新的边集所得到的图;Γ1+ Γ2表示在Γ1∪Γ2的基础上还满足Γ1中所有点与Γ2中所有点相连的图.图Γ的线图L(Γ)是一个图,其全部顶点是Γ的所有边并且当边e=uv和f=vw在Γ中出现时才有ef∈E(L(G)).图Γ中一个顶点子集合称为是独立的,如果该集合中任意两顶点都不邻接.图Γ的点独立数β(Γ)定义为Γ中点独立集的最大基数.图Γ称为一个平面图,如果Γ能够画在一个平面上而使得任何两条边都不会交叉.对于图Γ中的两点x与y,用x～y表示两个不同顶点有边相连,用x≃y表示两顶点或者x=y或者x～y,用x/～y表示顶点不相连,d(x,y)表示两顶点间距离.此外,diam(Γ)表示图Γ的连通直径,k(Γ)表示其连通分支个数.设群G为p群,s1(G)表示其p阶子群的个数.下面给出主要应用的引理.引理1[8]图G是某图的线图当且仅当图G不具有图1中9种形式的诱导子图. 图1 9种诱导子图Fig.1 9 induced subgraphs引理2[2] 设G是有限群,则其幂图P(G)是完全图当且仅当G为pm阶循环群,其中p为素数,m∈N.引理 3[5] 设G为群,且|G|=,其中p1,p2,···,pn是一些互不相同的素数,则群G的独立数β(P(G))≥n.引理4[8]K5和K3,3是不可平面图.引理5[9]设G是有限群,则其幂图P(G)可平面化当且仅当每个元素的阶属于集合{1,2,3,4}.引理6[6] 设G是有限p群,则其真幂图P∗(G)的连通分支与G的p阶子群一一对应.引理7[10] 设G是内幂零群,则G有下列性质:(1)|G|=pnqm,p/=q均为素数,且适当选择符号便有G的Sylow p-子群PG,而Sylow q-子群循环,故QG,并有Φ(Q)≤Z(G);(2)Φ(P)≤Z(G),特别地c(P)≤2;(3)若p＞2,则exp(G)=p,而若p=2,则exp(P)≤4.2 主要结果下面分别对幂零群、内幂零群以及内交换群的幂图或真幂图进行讨论.一般地给出了有限群的幂图为某图之线图的充要条件,研究了相应幂图独立数的临界取值与可平面化的充要条件以及相应真幂图的连通性.定理1 设G为有限群,则幂图P(G)是某图的线图当且仅当G为素数幂阶循环群.证明必要性:设有限群G的幂图P(G)是某图的线图,下面分三步证明结论.(1)群G的Sylow子群皆循环.设P为Sylow p-子群,由p群的计数定理(见文献[11]中定理8.8)可知p阶子群的个数s1(G)≡1(mod p).若s1(G)/=1,则s1(G)≥1+p≥3.取x,y,z∈G分别为3个不同p阶子群的生成元,幂图P(G)在顶点子集H={1,x,y,z}上诱导的子图P(H)为爪形图,由引理1知不可能是某个图的线图,矛盾.故P有唯一极小子群,从而P是循环群或者广义四元数2群(见文献[10]中定理5.7.1).若群G=〈a,b:a2n-1=1,b2=a2n-2,b-1ab=a-1〉为广义四元数2群,幂图P(G)在顶点子集K={1,a,b,ba}上诱导爪形子图P(K),即P(G)不是线图,从而P为循环群.(2)群G的Sylow子群皆正规.若否,存在一个Sylow子群不正规,不妨设PG,此时群G的Sylow p-子群的个数np≥1+p≥3,取x,y,z为3个不同的循环Sylow p-子群的生成元,则子集合M={1,x,y,z}在幂图P(G)中诱导的子图P(M)为爪形图,即P(G)不是某个图的线图,矛盾.(3)群G为素数幂阶循环群.设有限群G的阶为,由(1)和(2)知G为循环群.若s≥2,则生成元个数1)···(ps-1)≥2,故可选取两个不同生成元x,y,再取p1阶元a,p2阶元b 以及单位元1构成子集N={1,a,b,x,y},此时的诱导子图P(N)如图2所示,由引理1知P(G)不是某图的线图.必要性得证.图2 诱导子图P(N)Fig.2 Induced subgraph P(N)充分性:若G是素数幂阶循环群,由引理2知幂图P(G)为完全图,自然可看作星图K1,|G|的线图,充分性显然.定理 2 设幂零群G=P1×P2×···×Pn,其中Pi为群G的Sylow pi-子群,则其幂图P(G)的独立数β(P(G))=n当且仅当G为阶是p1p2p3或p1rp2或pr1的循环群,其中pi(i=1,2,3)均为素数,r∈N.证明必要性:由于G有n个不同的素因子,由引理3可知幂图P(G)必存在含有n个元素的点独立集.又已知β(P(G))=n,则群G的每个Sylow p-子群皆为循环群.设,当n≥4时,在集合{g∈G:o(g)=pipj,1≤i,j≤n,i/=j}中即可找到含n+1个元素的点独立集,矛盾.从而n≤3.当n=1时,因为β(P(G))=1,G必为素数幂阶循环群;当n=2时,若r1,r2≥2且o(x)=,o(y)=,则有{x,y,xp1yp2}为G的势为3的点独立集,矛盾,从而至多只有一个素因子幂指数大于等于2,即|G|=;当n=3时,应用前述方法可知|G|=若r1≥2,设o(x)=,o(y)=p2,o(z)=p3,则有{xp1y,xp1z,x,yz}为一个势为4的点独立集,矛盾,从而|G|=p1p2p3.充分性:若G为阶是p1p2p3或的循环群,下面依次讨论.(1)当|G|=p1p2p3时,P(G)～=K1+(Kϕ(p1p2p3)+K),其中K如图3所示,可以验证独立数β(P(G))=3;(2)当|G|=p1rp2时,Γ=K1+(Kpr1-1∪Kpr1(p2-1))是P(G)的子图且β(Γ)=2.又子图Γ的顶点集V(Γ)=V(P(G)),边集E(Γ)⊆ E(P(G)),则β(P(G))=2;(3)当|G|=pr1时,P(G)～=Kpr1为完全图,独立数β(P(G))=1.图3 抽象图KFig.3 Abstract graph K定理3 幂零群G的幂图P(G)可平面化当且仅当群方次数exp(G)=3或exp(G)整除4.证明必要性:若有限群G的幂图P(G)可平面化,由引理5可知群元素的阶只能取自集合{1,2,3,4}.又G幂零,则G只能为2群或3群,故有exp(G)=3或exp(G)整除4. 充分性:若exp(G)=3,作出其幂图P(G)～=K1+lK2;若exp(G)整除4,其幂图为P(G)～=K1+(mK1∪nK3),其中l,m,n∈N,显然二者均可平面化.定理4 内幂零群G=PQ,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群(见引理7),则其幂图P(G)可平面化当且仅当G为以下情形之一:(1)G是Frobenius群且满足P为初等交换2群,Q为3阶循环群;(2)G是Frobenius群且满足P为初等交换3群,Q为2阶循环群.证明必要性:由于内幂零群G的幂图可平面化,由引理5可得{p,q}={2,3}.Case 1.p=2,q=3.先证明CP(Q)=1.若否,则可取x∈CP(Q),o(x)=2与y∈Q,o(y)=3,显见子群H=〈x〉×〈y〉诱导的子图P(H)含有K3,3,由引理4可知不可平面化,矛盾.此时P为初等交换2群,又由于Q为3阶循环群,故Q在P上作用为无不动点自同构,即G为Frobenius群.Case 2.p=3,q=2.先证明|Q|=2.若否,显然|Q|=4,可取x∈P,o(x)=3与y∈Q,o(y)=4,因G内幂零,则有子群H=〈x〉×〈y2〉诱导的子图P(H)含有K3,3,从而可得幂图不可平面化,矛盾.故|Q|=2,类似Case 1可以证明CP(Q)=1,则有P为初等交换3群且G为Frobenius群.充分性:命题中两种情形相应的幂图P(G)～=K1+(mK1∪nK2),其中m,n∈N,从而可平面化.定理5 有限群G=PQ为内幂零群,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群.设|G|=pnqm,则其真幂图P∗(G)的连通性有如下结论.Case 1.m≥2,真幂图P∗(G)连通且满足:(1)若P是循环群或广义四元数2群,diam(P∗(G))≤3;(2)若P既不循环也不是广义四元数2群,diam(P∗(G))≤4.Case 2.m=1,设 Q= 〈a〉,真幂图 P∗(G)满足:(1)若CP(a)=1,则P∗(G)不连通且连通分支个数k(P∗(G))=(2)若CP(a)＞1,则P∗(G)的连通分支个数为k(P∗(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.证明Case 1.m ≥ 2,设Q= 〈a〉,令Q1= 〈aq〉,则G1=P ×Q1幂零,根据文献[6]中定理2.6可知,其真幂图连通且满足若P是循环群或广义四元数2群,diam(P∗(G1))=2;若P既不是循环群也不是广义四元数2群,diam(P∗(G1))=4.任取不同两点g1,g2∈G,下面在两种情形下讨论真幂图P∗(G)的连通性.(1)P是循环群或广义四元数2群.若p∈π(o(g1))π(o(g2))则存∩在m1∈N∗使得o()=p满足g1≃≃ g2,即d(g1,g2)≤ 2;若q∈ π(o(g1))π(o(g2))则存在m2,m3∈N∗满足o()=q.由Q1的正规性可知其包含在群G的任意一个Sylow q-子群中,从而,即d(g1,g2)≤2.若g1为p元素,g2为q元素,当o(g2)＜qm时,构造g1～g1g2～g2;当o(g2)=qm时,构造,故d(g1,g2)≤3.综合上述3种情况可知d(g1,g2)≤3.∩(2)P既不是循环群也不是广义四元数2群.若q∈π(o(g1))π(o(g2)),由(1)可知d(g1,g2)≤2.若g1是p元素且q∈π(o(g2)),存在m4∈N∗使得1＜o()＜qm,则g1～≃ g2,即d(g1,g2)≤ 3.若g1,g2均为p元素,g1～g1µ ～µ(∈ Q1)～g2µ ～g2.综合上述3种情况可知d(g1,g2)≤4.故内幂零群真幂图P∗(G)连通且直径diam(P∗(G))≤3或4.Case 2.m=1,此时〉,满足o(a)=q.首先证明CP(a)是真含于P的G的极大正规子群.显然CP(a)＜ P,由于且满足,从而,若N＜P且,则NQ成群即N≤CP(a).由文献[12]中定理1.1可知CP(a)=Φ(P).(1)CP(a)=1,则〈a〉为P的无不动点自同构群,从而G为Frobenius群,且Φ(P)=CP(a)=1,此时P初等交换群且G=.故易得其真幂图P∗(G)的连通分支数:(2)CP(a)/=1,考虑商群G=G/Φ(P)=P/Φ(P)(〈a〉Φ(P))/Φ(P),则由文献[10]中定理其中l=|P|.进而有 G=P Φ(P)QΦ(P)Qh2··· Φ(P)Qhl.又Φ(P)=CP(a)/=1,顶点集连通且连接P中与Φ(P)相连的顶点,故P∗(G)的连通分支个数为k(P∗(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.定理6 设内交换群G=PQ,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群,|G|=pnqm,则其幂图P(G)的独立数β(P(G))≥q+1且等号成立当且仅当以下情形之一成立:(1)当m≥2时,Sylow q-子群个数为q+1;(2)当m=1时,G ～=S3或G为2n(2n-1)阶Frobenius群,其中Sylow 2-子群正规,2n-1为素数.证明对于G=PQ,考虑Q在P上的作用,则有P=CP(Q)×[P,Q](见文献[10]中定理8.2.7).若CP(Q)＞1,则[P,Q]＜P,从而G交换,矛盾.故CP(Q)=1,P是初等交换p群,取P中的p阶子群的生成元代表A={x1,x2,···,xt},其中t=又循环群Q非正规,由Sylow第三定理可知其Sylow q-子群的个数至少∪为q+1,取出这q+1个循环群的生成元代表B={y1,y2,···,ys},其中s=q+1,显然AB即构成了势为q+1的点独立集,不等式显然成立.下面考虑等号成立条件.必要性:若m ≥2,由于Sylow q-子群的个数nq≥q+1,若不等号严格成立,用上述方法可以得到势至少为t+2q+1的点独立集,矛盾,即nq=q+1.若m=1,由CP(Q)=1可知Q在P上的作用是无不动点的,此时G为Frobenius群,相应的Frobenius分划为〉取点独立集D={x1,···,xt,y,yg2,···,yg|P|},若要使等号成立必须有t+|P|≤t+q+1,又 q+1||P|,故得|P|=q+1,若p是奇素数,显然q=2,|P|=3,此时G为非交换的6阶群,即G～=S3.若p=2,则有q=2n-1为素数,此时G为2n(2n-1)阶Frobenius群.充分性:当m≥2时,群G中不存在阶为pαqm(α/=0)的元素,若否,则与CP(Q)=1矛盾. 设集族容易验证任意g∈G都属于该集族中某个元素.对于S的子族至多可选择t个群 G 中元彼此不相连. 若否,存在 g1/～ g2 且不妨设〉均为 Sylow q-子群, 存在g=,u ∈ N,a ∈ P, 使得〈y2〉= 〈y1〉g= 〈y1〉a,即存在v ∈ N,y2=y1av, 此时〉.又c≡ 1(mod p),c≡ v(mod qm-1),由孙子定理[13]可得 c有解,故因o(g1),o(g2)有整除关系,则g1∪～ g2,矛盾.从而等号恒成立.当m=1 时,若 G ～=S3,则其幂图 P(G) ～=K1+(3K1K2),则有β(P(G))=4.若G为2n(2n-1)阶Frobenius群,其中Sylow 2-子群正规,q=2n-1为素数,此时P(G)～=K1+(qK1(q+1)Kq-1),则有β(P(G))=2q+1.从而两种情形均可取到等号,命题得证:定理7 设群G内交换,则其幂图P(G)可平面化当且仅当以下情形之一成立:(1)G=PQ是Frobenius群且满足P为初等交换2群,Q为3阶循环群;(2)G=PQ是Frobenius群且满足P为初等交换3群,Q为2阶循环群;(3)exp(G)=4时有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);(4)exp(G)=3时有G=M3(1,1,1).证明若内交换群G=PQ,则G内幂零,此时由定理4可得G有形式(1),(2).下面考虑G为p群.由引理5得可平面化群的元素之阶取自集合{1,2,3,4},故p=2或p=3.由内交换群的分类(见文献[14]中定理2.3.7)可知,G=Q8或G=Mp(n,m),n≥2,m≥1或G=Mp(n,m,1),n≥m≥1按方次数讨论:当exp(G)=4时群的可能形式有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);当exp(G)=3时群的可能形式有G=M3(1,1,1);当exp(G)=2时群的可能形式有G=M2(1,1,1).下面逐一验证上述形式群幂图的可平面性.Case 1.由定理4可知(1),(2)中群的幂图显然可平面化.Case 2.当G=Q8或G=M2(2,1)=D8时,显然方次数exp(G)=4可平面化.当G=M2(2,2)时,元素(biaj)4=b4ia(4+12i)j=1;当G=M2(2,1,1)时,元素(aibjck)4=(aibj)4=a4ib4j[b,a]6ij=1,从而其幂图可平面化.同理M2(2,2,1)幂图可平面化.Case 3.当G=M3(1,1,1)时,元素(aibjck)3=(aibj)3=a3ib3j[b,a]3ij=1,幂图可平面化. Case 4.当G=M2(1,1,1)=D8时,exp(G)=4/=2,矛盾.综上可知,命题得证.定理8 有限群G为内交换群,则其真幂图P∗(G)的连通性有如下结论.Case 1.G=,其中P,Q为Sylow子群.设|G|=pnqm,则真幂图P∗(G)满足:(1)若m≥2,则P∗(G)连通且diam(P∗(G))≤4;(2)若m=1,则P∗(G)不连通,连通分支个数k(P∗(G))=Case 2.G为内交换p群,则真幂图P∗(G)满足:(1)若G=Q8,则P∗(G)连通且diam(P∗(G))=2;(2)若G=Mp(n,m),n≥ 2,m ≥ 1.当G/=M2(2,1)时,P∗(G)连通分支个数k(P∗(G))=p+1.当 G=M2(2,1)时,k(P∗(G))=5;(3)若G=Mp(n,m,1),n≥m ≥1.当G/=M2(1,1,1)时,P∗(G)连通分支个数k(P∗(G))=p2+p+1.当G=M2(1,1,1)时,k(P∗(G))=5.证明对内交换群G分为非p群与p群两种情形讨论.Case1.G=,此时G内幂零,由定理5可知若m≥2,P∗(G)连通且diam(P∗(G))≤4;若m=1,由定理6的证明可知CP(Q)=1,再利用定理5可知真幂图P∗(G)不连通且连Case 2.G为内交换p群.根据文献[14]中定理2.3.7可得G仅有Q8,Mp(n,m)n≥2,m≥1,Mp(n,m,1)n≥m≥1这3种情形.(1)若G=Q8,其真幂图P∗(G)=K1+3K2,显然连通且满足diam(P∗(G))=2;(2)若G=Mp(n,m),此时G={biaj:ab=ba1+pn-1},|G|=pn+m,故知biaj两两不同.容易计算利用上式求G的p阶元,则有①m ≥ 2,于是得pm|pi,即pm-1|i,i.e.i=pm-1,2pm-1,···,pm,故bi∈ Z(G),此时(biaj)p=bipajp=1,即j=pn-1,2pn-1,···,pn,从而易得p阶元的个数为p2-1,p阶子群个数为p+1.由引理6可知P∗(G)的连通分支个数k(P∗(G))=p+1.② m=1,此时G=Mp(n,1)= 〈a,b:apn=bp=1,ab=a1+pn-1〉,容易计算若p为奇素数,即apj=1,于是j=pn-1,2pn-1,···,pn,i=1,2,···,p.此时G有个p阶子群,真幂图P∗(G)不连通且k(P∗(G))=p+1.若p=(a)当i=0时,(biaj)2=a2j=1可得2阶元为a2n-1;(b)当i=1时,2n|j(2+2n-1),若2 ł j得到2n|2+2n-1,此时仅有n=2时成立,群G为M2(2,1)即二面体群,若2|j得到a2j=1,此时2阶元为ba2n-1,b.故可得当G/=M2(2,1)时k(P∗(G))=3;当G=M2(2,1)时k(P∗(G))=5.(3) 若 G=Mp(n,m,1)则G′= 〈c〉,G={aibjck:i=1,2,···,pn;j=1,2,···,pm;k=1,2,···,p},其中c∈ Z(G).设aibjck为G的一个p阶元,则有(aibjck)p=(aibj)pckp=(aibj)p=1,由于利用上式可得故可得i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm.当n ≥ 2或m ≥ 2时,G 的 p 阶元 aibjck 满足 i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm,k=1,2,···,p,且 i,j,k不同时取pn,pm,p.故真幂图P∗(G)的连通分支个数k(P∗(G))=+p+1.当n=m=1时,可得(aibj)p=apibpj[b,a]p(p2- 1)ij=[b,a]p(p2- 1)ij=1,若p≥3,同上,G有p3-1个p阶元,即连通分支个数k(P∗(G))=p2+p+1.若p=2,则G=M2(1,1,1)=D8,k(P∗(G))=5,命题得证.3 结束语本工作讨论了幂零群、内幂零群以及内交换群和它们相对应幂图的关系问题,主要从线图、独立数、可平面性以及连通性等图论性质出发进行研究.一般地得到了有限群G的幂图P(G)是某图的线图的充要条件,刻画了幂零群与内交换群独立数的临界情形以及3类群可平面化的充要条件.此外，给出了内幂零与内交换群真幂图连通时的连通直径估计以及不连通时连通分支数目计算.对于这3类特殊的有限群幂图的图论性质给出了清晰的描述.相反地,也从相应幂图的图论性质出发进一步刻画了群结构.参考文献:【相关文献】[1]KELAREV A V,QUINNS J.Directed graph and combinatorial properties of semigroups[J].J Algebra,2002,251:16-26.[2]CHAKRABARTY I,GHOSH S,SENM K.Undirected power graphs ofsemigroups[J].Semigroup Forum,2009,78:410-426.[3]CAMERONP J.The power graph of a finite group,Ⅱ[J].J Group Theory,2010,13(6):779-783.[4]CAMERONP J,GHOSH S.The power graph of a finite group[J].DiscreteMath,2011,311:1220-1222.[5]CHELVAM T T,SATTANATHANM.Power graph of finite abelian groups[J].J Algebra and Discrete Mathematics,2013,16:33-41.[6]DOOSTABADI A,FARROKHI M,GHOUCHAND.On the connectivity of proper power graphs of finite groups[J].J Communications in Algebra,2015,43(10):4305-4319.[7]POURGHOLI G R,YOUSEFI-AzARI H,ASHRAFI A R.The undirected power graph of a finite group[J].Bull Malays Math Sci Soc,2015,38:1517-1525.[8]WEST D B.Introduction to graph theory[M].2nd ed.London:Pearson Education,2001.[9]MIRzARGAR M,ASHRAFI A R,NADJAFI-ARANI M J.On the power graph of a finite group[J].Filomat,2012,26(6):1201-1208.[10]徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[11]HUPPERT B.Endliche gruppenⅠ[M].Berlin:Springer-Verlag,1967.[12]陈重穆.内外Σ群与极小非Σ群[M].重庆:西南师范大学出版社,1988.[13]聂灵沼,丁石孙.代数学引论[M].北京:高等教育出版社,2000.[14]徐明曜,曲海鹏.有限p群[M].北京:北京大学出版社,2010.。

第47卷第10期西南师范大学学报(自然科学版)2022年10月V o l.47N o.10 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)O c t.2022D O I:10.13718/j.c n k i.x s x b.2022.10.008有限群的S S-半置换p-子群与p-幂零性①李彬彬,钟祥贵,张博儒,卢家宽广西师范大学数学与统计学院,广西桂林541006摘要:设G是有限群,H是群G的子群.如果群G中存在子群B使得G=H B,并且H与B的所有S y l o w p子群置换,其中素数p满足(p,|H|)=1,则称H在G中S S半置换.假设P是群G的S y l o w p子群,D是P的非平凡子群.利用有限群G的S y l o w p子群P的|D|阶子群的S S半置换性来研究有限群G的结构,给出了有限群G是p幂零群的两个充分条件.关键词:p子群;S S半置换;p幂零中图分类号:O152.1文献标志码:A文章编号:10005471(2022)10005405O n S S-S e m i p e r m u t a b l e p-S u b g r o u p sa n d p-N i l p o t e n c y o f F i n i t eG r o u p sL i B i n b i n,Z h o n g X i a n g g u i,Z h a n g B o r u, L u J i a k u a nS c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,G u a n g x i N o r m a l U n i v e r s i t y,G u i l i nG u a n g x i541006,C h i n aA b s t r a c t:L e t G i s a f i n i t e g r o u p,a n d H i s a s u b g r o u p o f G.I f t h e r e e x i s t s a s u b g r o u pB o f G s u c ht h a t G=H B a n d H p e r m u t e sw i t h a l l o f S y l o w p-s u b g r o u p o f B,w h e r e p r i m e p i s a c o p r i m ew i t h t h e o r d e r o f H,t h e n H i s S S-s e m i p e r m u t a b l e g r o u p o f G.S u p p o s e P i s aS y l o w p-s u b g r o u p o f g r o u p G a n d D i sa n o n t r i v i a l s u b g r o u p o f P.I n t h i s n o t e,t w o s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r a S y l o w p-n i l p o t e n c y o f f i n i t e g r o u p G a r e o b t a i n e db y u s i n g t h e S S-s e m i p e r m u t a t i o no f s o m e s u b g r o u p s o f S y l o w p-s u b g r o u p o f g r o u p G.K e y w o r d s:p-s u b g r o u p;S S-s e m i p e r m u t a b l e;p-n i l p o t e n c y本文所涉及的群都是有限群.在有限群论中,利用具有某些性质的子群来研究有限群的结构是人们感兴趣的课题[1-4].而素数幂阶子群相对于其他子群而言,结构简单㊁可控性强,于是许多学者通过对p子群的研究,给出了有限群的p幂零性的判别条件[5-9],例如F r o b e n i u s定理[10].从F r o b e n i u s定理出发,人们希望运用较少的p子群给出有限群的p幂零性的判别条件,例如G l a u b e r m a n-T h o m p s o n定理[10].为了方便起见,我们给出一些概念.设H为群G的子群,如果H与G的每个S y l o w子群置换,则称子群H为群G的S置换子群[11].文献[11]引入S置换的概念之后,文献[12]进一步推广了S置换性,提出了S S置换的概念:设H为群G的子群,如果G中存在子群B使得G=H B,H与B的每个S y l o w子①收稿日期:20220217基金项目:国家自然科学基金项目(11861015,12161010);广西省自然科学基金项目(2020G X N S F A A238045);广西省自然科学基金项目(2020G X N S F B A297121);2020年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(2020K Y02019).作者简介:李彬彬,硕士研究生,主要从事有限群的研究.通信作者:张博儒,讲师.群都置换,则称子群H 在群G 中S S 置换.在此基础上,文献[13]提出了S S 半置换的概念:设H 为群G 的子群,如果G 中存在子群B 使得G =H B ,H 与B 的所有S y l o w p 子群置换,其中素数p 满足(p ,|H |)=1,则称H 是S S 半置换的.本文主要通过研究较少的素数幂阶子群的S S 半置换性对有限群的结构的影响,给出了有限群G 是p 幂零群的两个充分条件.引理1[13] 设H 是群G 的S S 半置换子群,则:(i )如果H ɤK ɤG ,则H 是K 的S S 半置换子群;(i i )如果N 是G 的正规子群,H 是p 子群,则HN /N 是G /N 的S S 半置换子群.引理2[14] 设有限群G 是π可分的.如果O π'(G )=1,则C G (O π(G ))⊆O π(G ).引理3[6] 设A ,B 是有限群G 的真子群.如果G =A B ,则G =A B x ,G ʂA A x 对任意x ɪG 成立.引理4 设N 是G 的初等交换正规p 子群.如果N 中存在一个子群D ,1<|D |<|N |,使得N 的所有|D |阶子群在N 中S S 半置换,则N 中存在一个极大子群正规于G .证 令{M 1,M 2, ,M s }是N 在G 中互不共轭的极大子群的集合.由于N 是初等交换p 群,则M i 是N 中一些|D |阶子群的乘积.因为N 的|D |阶子群都在G 中S S 半置换,则M i 在G 中S S 半置换,即存在B ,使得G =M i B M i Q =Q M i其中Q 是B 的任一S y l o w q 子群,q ʂp .由M i 是p 子群知Q ɪS y l q (G ).又由M i <N ɤO p (G )知M i =O p (G )ɘM i Q从而Q ɤN G (M i ).由q 的任意性知O p (G )ɤN G (M i ).于是|G ʒN G (M i )|=p f i .故在G 中与M i 共轭的子群个数为p f i,由N ◁_G 知这些子群均在N 中.于是N 中所有极大子群的个数为ðsi =1|G ʒN G (M i )|.由p 群计数原理:ðsi =1|G ʒNG(M i )|ʉ1(m o d p )存在t ɪ{1,2, ,s }使得f t =0.从而M t ◁_G .定理1 设G 是有限群,P 是G 的S y l o w p 子群,p 是奇素数.如果P 的每个极大子群P 1在G 中都是S S 半置换群,且N G (P 1)是p 幂零的,则G 是p 幂零的.证 假设G 是极小阶反例,则G 是非p 幂零的.步骤1 O p '(G )=1.假设O p '(G )ʂ1.为了方便起见,记 G =G /O p '(G ),并且令 M =M /O p '(G )是 P 的极大子群.易知P ɘM 是P 的极大子群,则根据引理1(i i )可知P ɘM 在 G 中也是S S 半置换的.根据假设,我们可知N G (P ɘM )是p 幂零的,进一步可知N G (P ɘM )=N G (P ɘM )O p '(G )/O p '(G )是p 幂零的.由此可见 G 满足定理假设条件,因此 G 是p 幂零的,从而G 也是p 幂零的,与题设矛盾.因此O p '(G )=1.步骤2 如果P ɤT <G ,则T 是p 幂零的.根据引理1(i )和N T (P 1)ɤN G (P 1),我们容易看到T 满足定理假设,因此根据G 的极小性知T 是p 幂零的.步骤3 G /O p (G )是p 幂零的,且C G (O p (G ))ɤO p (G ).实际上,G 是p 可解的.设J (P )是P 的T h o m ps o n 子群,容易看到P ɤN G (Z (J (P ))).如果N G (Z (J (P )))<G ,则根据步骤2可知N G (Z (J (P )))是p 幂零的.进一步根据G l a u b e r m a n -T h o m ps o n 定理知G 是p 幂零的,与题设矛盾.因此N G (Z (J (P )))=G .进一步,我们可知O p (G )ʂ1.假设N 为G 的极小正规p 子群.注意到N ɤO p (G )ɤP .如果N =P ,则G /O p (G )=G/P 是p 幂零的.因此可设N <P .当N 是P 的极大子群时,则由假设知G =N G (N )是55第10期 李彬彬,等:有限群的S S -半置换p -子群与p -幂零性65西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.e d u.c n第47卷p幂零的,与题设矛盾.进一步我们假设|PʒN|ȡp2,根据引理1(i i)可知G/N满足定理假设条件,再由G的极小性可知G/N是p幂零的,从而G/O p(G)是p幂零的.进一步可知,G是p可解的.再根据O p'(G)=1和引理2可知C G(O p(G))ɤO p(G).步骤4G=P Q,QɪS y l q(G),pʂq.设qʂp是|G|的素因子.由于G是p可解的,因此根据文献[15]的定理6.3.5可知,存在QɪS y l q(G)使得P QɤG.如果P Q<G,则由步骤2知P Q是p幂零的,从而Q◁_P Q.于是O p(G)Q=O p(G)ˑQ再根据步骤3可知QɤC G(O p(G))ɤO p(G)矛盾.因此G=P Q.步骤5G有唯一的极小正规子群N,并且Φ(G)=1.实际上,N=O p(G).如果极小正规子群N不唯一,则存在另一个G的极小正规子群N1ʂN.由于G是p可解的并且O p'(G)=1,那么N1和N都包含在P中.运用步骤3的方法,我们可知G/N1和G/N都是p幂零的.因此G<~G/N1ˑG/N是p幂零的,与题设矛盾.因此N是唯一的.如果Φ(G)ʂ1,则NɤΦ(G).然而G/N是p幂零的,所以G/Φ(G)是p幂零的.进一步可知,G 是p幂零的,矛盾.因此Φ(G)=1.再根据文献[16]的定理4.5可知O p(G)=N.步骤6|N|=p,且存在G的极大子群M,使得PɘM是P的极大子群.因为Φ(G)=1,所以存在G的极大子群M1,使得N⊈M1.故G=NM1.设M'p为M1的S y l o w p子群,则NM'p是G的S y l o w p子群.根据S y l o w定理可知,存在gɪG使得(NM'p)g=N(M'p)g=P不妨取M=M g1.由引理3可得G=NM,并且M p=PɘM是M的S y l o w p子群.由于G是p可解的,且N是G的极小正规p子群,所以N是初等交换p群.又由于NɘM◁_M,因此NɘM◁_G.进一步,根据N的极小性可知NɘM=1.因为N为p群,所以PɘM是P的真子群.进一步可知,存在P的极大子群P1使得PɘMɤP1.显然M=<M q|M qɪS y l q(M),qɪπ(M)>由于P1是P的极大子群,所以P1是S S半置换的.再根据S S半置换的定义可知,P1M q=M q P1对任意的素数qʂp成立.因为M pɤP,所以P1M=MP1.由M的极大性,我们可知P1M=G或者P1ɤM.若P1M=G,则P=PɘP1M=P1(PɘM)=P1矛盾.故P1ɤM.因此我们可以得到|N|=p.步骤7最后的矛盾.因为G是p可解的,并且O p'(G)=1,所以根据引理2及N的极小性可知C G(O p(G))=O p(G)又由于N=O p(G)是交换群,因此N=C G(N).再根据文献[16]的定理5.7可得M≃G/N=N G(N)/C G(N)<~A u t(N)又因为N是p阶循环群,因此A u t(N)也是循环群.进一步,我们可知M也是循环群.故MɤN G(PɘM)因为PɘM是P的极大子群,所以PɘM◁_P NɤN G(PɘM)进一步,根据题设可以得到G=NMɤN G(PɘM)是p幂零的,矛盾.定理2设G是有限群,P是G的S y l o w p子群,p是奇素数.如果P存在一子群D,1<|D|< |P|,使得P中所有|D|阶的子群H在P中S S半置换,且N G(H)是p幂零的,则G是p幂零的.证 假设定理2不成立,设G 是极小阶反例.步骤1 O p '(G )=1.设O p '(G )ʂ1.令 G =G /O p '(G ).容易看到 G 满足定理2的假设条件,因此根据G 的极小性可知 G 是p 幂零的.进一步可知G 是p 幂零的,矛盾.因此O p '(G )=1.步骤2 P ɤT <G ,则T 是p 幂零的.由于N T (H )ɤN G (H ),且N G (H )是p 幂零的,因此N T (H )也是p 幂零的.再根据引理1(i)可知T 满足定理中的假设条件,故由G 的极小性可知T 是p 幂零的.步骤3 G /O p (G )是p 幂零的,且C G (O p (G ))ɤO p (G ).设J (P )是P 的T h o m ps o n 子群,容易得到P ɤN G (Z (J (P ))).如果N G (Z (J (P )))<G ,那么根据步骤2可知N G (Z (J (P )))是p 幂零的.进一步根据G l a u b e r m a n -T h o m ps o n 定理可得G 是p 幂零的,与题设矛盾.因此N G (Z (J (P )))=G ,即Z (J (P ))◁_G .故O p (G )ʂ1.为了方便起见,我们设 G=G /O p (G ),并且令G 1/O p (G )=N G (Z (J ( P ))) P 1/O p (G )=Z (J ( P ))如果G 1=G ,那么P 1◁_G .容易看出P 1>O p (G ),则与O p (G )是G 中最大的正规p 子群矛盾.故G 1<G .进一步,根据步骤2可知G 1是p 幂零的,因此N G (Z (J ( P )))也是p 幂零的.再根据G l a u b e r m a n -T h o m ps o n 定理可知G /O p (G )是p 幂零的.显然可得G 是p 可解的.再根据O p '(G )=1和引理2可得C G (O p (G ))ɤO p (G ).步骤4 G =P Q ,Q ɪS y l q (G ),p ʂq .设q ʂp ,q ɪπ(G ).由于G 是p 可解的,因此根据文献[15]的定理6.3.5可知,存在Q ɪS y l q (G )使得P Q ɤG .如果P Q <G ,则由步骤2知P Q 是p 幂零的,从而Q ◁_P Q .于是O p (G )Q =O p (G )ˑQ 再根据步骤3可知Q ɤC G (O p (G ))ɤO p (G )矛盾.因此G =P Q .步骤5 G 中存在唯一的极小正规子群N ,且G /N 是p 幂零的.实际上,Φ(G )=1,N =O p (G ).因为G 是p 可解的,且O p '(G )=1,所以N 是初等交换p 群.首先我们断言|N |<|D |.如果|N |=|D |,则根据定理假设可知G =N G (N )是p 幂零的,与题设矛盾.现在我们假设|N |>|D |,则N 的所有|D |阶子群在G 中S S 半置换.再根据引理4可知,N 中存在的极大子群N 2正规于G ,与N 的极小性矛盾.因此|N |<|D |.如果|P ʒD |=p ,则D 是P 的极大子群.进一步根据定理1可得G 是p 幂零的,与题设矛盾.因此|D |>p .容易验证G /N 满足定理假设,则根据G 的极小性可得G /N 是p 幂零的.若存在另外一个极小正规子群N 1ʂN ,则G ≃G /(N ɘN 1)<~G/N ˑG /N 1是p 幂零的,与题设矛盾.因此N 是唯一的.在这里容易验证Φ(G )=1.再根据文献[16]V 的定理4.5可得N =O p (G ).步骤6 最后的矛盾.根据步骤4和B u r n s i d e p a q b定理可得G 可解.进一步根据文献[16]Ⅲ的定理1.7可得,G 中存在极大子群M ,使得M ◁_G ,且|G ʒM |是素数.如果|G ʒM |=q ,则P ɤM .再根据步骤2可知M 是p 幂零的.设M 的正规p 补为K ,则K c h a r M ◁_G ,由步骤1,K ɤO p '(G )=1,从而P =M ◁_G N =O p (G )=P进一步,根据引理4可得N 中存在G 的极大子群N 2正规于G ,与N 的极小性矛盾.因此|G ʒM |=p .由于M ◁_G ,那么根据文献[16]Ⅱ的命题2.3(6)可得P ɘM ɪS y l p (M ).进一步可得P ɘM 是P 的极大子群.再根据引理1(i )可知P ɘM 的每个|D |阶子群H 1在M 中S S 半置换,N M (H 1)ɤN G (H 1)是p 幂零的,从而M 满足定理假设,由G 的极小性知M 是p 幂零的,M =(P ɘM )ˑO p (M ),其中75第10期 李彬彬,等:有限群的S S -半置换p -子群与p -幂零性85西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.e d u.c n第47卷O p(M)c h a r M M◁_G从而O p(M)◁_G.于是G=P M=P(PɘM)O p(M)=P O p(M)故G是p幂零的,矛盾.参考文献:[1]曹建基,高建玲.非正规循环子群的正规化子皆极大的两类有限可解群[J].西南大学学报(自然科学版),2018,40(12):81-85.[2]高建玲,毛月梅.有限群的δ置换子群[J].西南大学学报(自然科学版),2021,43(10):105-109.[3]高丽,汪忠碧,陈贵云.用极大交换子群阶的集合刻画S 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