安徽省高中数学学业水平测试试题及答案word版

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

安徽高一高中数学水平会考班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列中，，则=（）A．B．C．D．2.已知则的最小值值为（）A．B．C．D．3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．4.设的角所对的边分别是，若，则等于（）A．B．C．D．5.两数的等比中项是（）A．1B．-1C．-1或1D．6.设的角所对的边分别是，若，则等于（）A．B．C．D．7.不等式的解集为（）A．B．C．D．8.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于（）A．B．C．D．9.在中，若，则的面积等于（）A．B．C．D．10.在等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数n的值为（）A．B．C．D．11.设的角所对的边分别是，若，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形12.各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（）A．数列是常数列B．数列是递减数列C．数列是递数列增D．数列是摆动数列或常数列二、填空题1.数列前n项和，则=2.等差数列的前n项和，若则的最大值是3.若不等式的解集为，则．4.如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知则山的高度BC为 m．5.若则下列不等式恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题1.（本小题满分8分）在等比数列中，且，求公比q及前6项的和．2.（本小题满分8分）在中，分别为角所对的边，已知．求c．3.（本小题满分8分）已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．4.（本小题满分10分）中，分别为角所对的边．（Ⅰ）若成等差数列，求的值；（Ⅱ）若成等比数列，求角的取值范围．5.（本小题满分10分）若数列满足．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求证：（Ⅲ）记表示不超过的最大整数，如．设，数列的前项和为．求．安徽高一高中数学水平会考答案及解析一、选择题1.已知数列中，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】数列递推公式2.已知则的最小值值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由均值不等式可知，当且仅当时等号成立【考点】均值不等式求最值3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数在R上是增函数可知A项正确；B项时不正确；C项时不正确；D项时不正确【考点】不等式性质4.设的角所对的边分别是，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】变形为【考点】余弦定理5.两数的等比中项是（）A．1B．-1C．-1或1D．【答案】C【解析】设两数的等比中项为，等比中项为-1或1【考点】等比中项6.设的角所对的边分别是，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,由正弦定理得【考点】正弦定理7.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】与不等式对应的方程的两个根为，结合与之对应的二次函数图像可知不等式的解集为【考点】一元二次不等式解法8.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】成等比数列【考点】等差等比数列通项公式9.在中，若，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理及三角形面积公式10.在等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数n的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，数列是单调递减数列，，所以n最大值为8【考点】等差数列性质及求和公式11.设的角所对的边分别是，若，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】,三角形为等腰直角三角形【考点】三角函数基本公式12.各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（）A．数列是常数列B．数列是递减数列C．数列是递数列增D．数列是摆动数列或常数列【答案】D【解析】，是常数列，是摆动数列【考点】等比数列通项公式二、填空题1.数列前n项和，则=【答案】15【解析】【考点】等差数列求和公式2.等差数列的前n项和，若则的最大值是【答案】20【解析】，令，所以前5项和最大，最大值为【考点】等差数列通项公式及求和公式3.若不等式的解集为，则．【答案】11【解析】与不等式对应的方程的根为，由根与系数的关系可知【考点】1．三个二次关系；2．根与系数的关系4.如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知则山的高度BC为 m．【答案】300【解析】在中中【考点】正弦定理解三角形5.若则下列不等式恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．【答案】①③⑤【解析】；；；【考点】不等式性质及均值不等式求最值三、解答题1.（本小题满分8分）在等比数列中，且，求公比q及前6项的和．【答案】3，364【解析】利用等比数列的通项公式将已知条件转化为首项和公比表示，解方程组得到基本量，代入公式可得前6项和试题解析：【考点】等比数列通项公式和求和公式2.（本小题满分8分）在中，分别为角所对的边，已知．求c．【答案】【解析】由求得的值，由三角形余弦定理求得值，求得后注意验证是否可以构成三角形试题解析：，当时，当时【考点】余弦定理解三角形3.（本小题满分8分）已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）解一元二次不等式，首先找到与不等式对应的方程的两个根，然后结合二次函数图像得到不等式的解集；（Ⅱ）将解集为全体实数即恒成立问题转化为函数最值问题，结合函数图像寻找满足的条件试题解析：（Ⅰ）不等式化为的两根为，因此不等式解集为（Ⅱ）当时恒成立，当时需满足【考点】1．一元二次不等式的解法；2．二次不等式与二次函数的转化4.（本小题满分10分）中，分别为角所对的边．（Ⅰ）若成等差数列，求的值；（Ⅱ）若成等比数列，求角的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由成等差数列得到三边的关系式，结合正弦定理将所求的角化为三边，求其值；（Ⅱ）由三边构成等比数列试题解析：（Ⅰ）成等差数列（Ⅱ）成等比数列范围是【考点】1．等差等比数列；2．正余弦定理解三角形5.（本小题满分10分）若数列满足．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求证：（Ⅲ）记表示不超过的最大整数，如．设，数列的前项和为．求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）1【解析】（Ⅰ）利用数列的递推公式可由求得，由求得；（Ⅱ）将已知递推公式两边取倒数可证明结论；（Ⅲ）借助于（Ⅱ）中的结论将通项变形，各项相消整理出，结合数列单调性可求得的值试题解析：（Ⅰ）则（Ⅱ）证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）及知又，又由，得∴数列是递增数列【考点】1．数列递推公式；2．数列求和；3．不等式性质。

2019年安徽省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13,5A =,，{}0,1,2B =，则=A B I （ ） A ．∅ B ．{}1C ．{0,1}D ．{}1,2,3【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算可得； 【详解】解：{}13,5A =Q ,，{}0,1,2B =， {}1A B ∴⋂=故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．y =B ．1y x =-C ．2y x =D ．3y x =【答案】C【解析】利用偶函数的定义判断即可． 【详解】解：y =[)0,+∞，不关于原点对称，不是偶函数；1y x =-是非奇非偶函数；2y x =是偶函数，3y x =是奇函数；故选：C ． 【点睛】本题考查常见函数的奇偶性的判断，属于基础题．3．立德中学男子篮球队近5场比赛得分情况如茎叶图所示，则这5场比赛的平均得分是（ ） 茎叶3 84 2 65 0 4A ．42B ．44C ．46D ．48【答案】C【解析】根据茎叶图读取数据，再计算平均数即可； 【详解】解：由茎叶图可得这5场比赛得分分别为：38、42、46、50、54， 则平均数3842465054465++++==故选：C 【点睛】本题考查茎叶图的应用，几个数的平均数的计算，属于基础题. 4．不等式(1)(3)0x x +-<的解集为（ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|31}x x -<< C ．{|1x x <-，或3}x > D ．{|3x x <-，或1}x >【答案】A【解析】直接根据一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】解：因为(1)(3)0x x +-< 所以13x -<<即不等式的解集为{|13}x x -<< 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5．函数()1x f x a =+（0a >，且1a ≠）的图象经过定点（ ） A ．(0,1)B ．(01)-，C ．(0,2)D ．(1,1)【答案】C【解析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1即可得解． 【详解】解：因为()1xf x a =+（0a >，且1a ≠） 令0x =，则()0012f a =+=，故函数过点()0,2，故选：C 【点睛】本题考查指数函数过定点问题，属于基础题.6．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则在男运动员中需要抽取的人数为（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】若用分层抽样的方法,则样本中男运动员与所有运动员的人数之比与总体的男运动员与所有运动员的人数之比相同,由此求解即可 【详解】由题,男运动员占总体运动员的56456427=+,所以男运动员中需要抽取的人数为428167⨯=,故选:C 【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题7．如图，分别以正方形ABCD 的两条边AB 和CD 为直径，向此正方形内作两个半圆（阴影部分），在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12πB ．8πC ．6π D ．4π 【答案】D【解析】首先求出正方形的面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形的面积为224=，阴影部分恰可拼成一个直径为2的圆，则阴影部分的面积为21ππ⨯=，根据几何概型的概率公式可得，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率4P π=，故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点(3,4)，则cos α=（ ）A ．43B ．34C ．45D ．35【答案】D【解析】先求出点P 到原点的距离r ，然后按照cos α的定义：cos xrα=求出结果． 【详解】解：3x =Q ，4y =，5r ==，∴由任意角的三角函数的定义知，3cos 5x r α==， 故选：D ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取一点（除原点外），求出此点到原点的距离r ，该角的余弦值等于所取点的横坐标除以此点到原点的距离r ．9．已知直线l 10y -+=，则直线l 的倾斜角是 A ．23πB ．56π C ．3π D ．6π 【答案】C【解析】直线方程即：1y =+ ，直线的斜率k =，则直线的倾斜角为3π .本题选择C 选项.10．已知(2,2)a m =-r ，(4,)b m =r ，且//a b r r，则m =（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-6【答案】A【解析】根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为(2,2)a m =-r ，(4,)b m =r ，且//a b r r，所以()242m m ⨯=⨯-， 解得4m = 故选：A 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 11．5sin6π=（ ）A ．12 B ．12-C D ． 【答案】A【解析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； 【详解】 解：51sinsin sin 6662ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.12．已知点(4,9)A ，(6,3)B ，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ） A ．22(5)(6)40x y +++=B ．22(5)(6)40x y -+-=C ．22(5)(6)10x y +++=D ．22(5)(6)10x y -+-=【答案】D【解析】利用中点坐标公式求出AB 的中点坐标即为圆心，再根据平面直角坐标系上两点间的距离公式求出AB 的长即直径，最后写出圆的标准方程. 【详解】解：因为(4,9)A ，(6,3)B ，所以AB 的中点坐标为()5,6，AB ==，则以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为()5,6，半径r =，故圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=，故选：D 【点睛】本题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．13．函数()ln 3f x x x =+-的零点的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先可以判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断可得； 【详解】解：因为ln y x =与3y x =-在()0,∞+上单调递增， 所以()ln 3f x x x =+-也在()0,∞+上单调递增，又()1ln11320f =+-=-<Q ，()3ln333ln30f =+-=> 所以()()130f f <，故函数在()1,3上存在唯一零点， 故选：B 【点睛】本题考查函数的单调性的判断及应用，零点存在性定理的应用，属于基础题.14．我国古代数学专著《九章算术》中的“堑堵”是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，三棱柱111ABC A B C -为堑堵，其中AB AC ⊥，AB =1AC =，则直线BC 与11A B 所成角是（ ）A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°【答案】B【解析】由三棱柱的定义可得11//AB A B ，则ABC ∠为异面直线11A B 与BC 所成的角，在ABC ∆中利用三角函数计算可得； 【详解】解：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 所以ABC ∠为异面直线11A B 与BC 所成的角， 在ABC ∆中，AB AC ⊥，3AB =1AC =， 所以3tan 33AC ABC AB ∠===， 所以30ABC ︒∠=，故异面直线11A B 与BC 所成的角为30︒， 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.15．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．只有一次中靶 C ．两次都中靶 D ．两次都不中靶 【答案】D【解析】根据互斥事件的定义逐个分析即可. 【详解】“至少有一次中靶”与 “至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A 错误. “至少有一次中靶”与“只有一次中靶” 均包含中靶一次的情况.故B 错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶” 均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.16．如图，在ABCV中，CD是AB边上的中线，点P是CD的中点，则（）A．1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rB．1124AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rC．1132AP AB AC=+u u u r u u u r u u u rD．1123AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】根据平面向量的加法和数乘运算法则计算可得；【详解】解：依题意可得()12AP AC AD=+u u u r u u u r u u u r，12AD AB=u u u r u u u r所以()1111122224AP AC AD AC AB AC AB⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：A【点睛】本题考查平面向量的线性运算的几何表示，属于基础题.17．不等式组20210x yx y+->⎧⎨--<⎩表示的平面区域是（）A．B．C ．D ．【答案】B【解析】由线定界，由点定域，即可画出线性约束条件所表示的平面区域； 【详解】解： 首先在平面直角坐标系中画出直线20x y +-=，将()0,0代入20x y +->，不等式不成立，可得20x y +->所表示的平面区域在直线20x y +-=的右上方， 同理可得210x y --<所表示的平面区域在直线210x y --=的左上方，即可得到线性约束条件所表示的平面区域为:故选：B 【点睛】本题考查根据线性约束条件画出可行域，属于基础题.18．如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为218m ，高度为3m .若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为（ ）A ．40000元B ．42000元C ．45000元D ．48000元【答案】B【解析】设房屋的长为xm ，则宽为18m x ，则总造价1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭再利用基本不等式求出最小值即可得解； 【详解】解：设房屋的长为xm ，则宽为18m x ，则总造价1860001000323y x x ⎛⎫=+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭36366000300060003000242000y x x x x ⎛⎫∴=+⨯+≥+⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当36x x =，即6x =时取等号；故当长等于6m ，宽等于3m 时，房屋的最低总造价为42000元， 故选：B 【点睛】本题考查函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题.二、填空题19．从甲､乙､丙三名学生中任选一名学生参加某项活动，则甲被选中的概率是_______. 【答案】13【解析】由题意可得总的方法种数为133C =，甲被选中只有1种选择方法，由古典概型的概率公式可得． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中，任选一人参加某项活动共有133C =种不同的选择方法，而甲被选中，只有1种选择方法，由古典概型的概率公式可得甲被选中的概率13P =，故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合简单计数，属于基础题． 20．点M （2，-2）到直线210x y --=的距离为______.【解析】直接利用点到直线的距离公式d =计算可得；【详解】解：点()2,2M -到直线210x y --=的距离d==【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 21．2lg2lg25+=______． 【答案】2【解析】通过同底对数的运算法则，求得结果. 【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.22．如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e u v 、2e u u v分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+u u u v u v u u v ，则把有序实数对,x y 叫做向量OPuuu v在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =u u u v ．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3a =v，5,2b =-v ， ,a b v v夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】由题意,1223a e e =+u r u u r r ,1252b e e =-+u r u u r r ,分别求出a b ⋅r r ,a r ,b r ,进而利用数量积求出夹角即可 【详解】由题,1223a e e =+u r u u r r,1252b e e =-+u r u u r r ,所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+-u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r rr()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=u r u u r u r u r u u r u u r r ,则19a =r()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=u r u u r u r u r u u r u u r r ,则19b =r 所以1912cos 21919a b a bθ-⋅===-⨯⋅r r r r ,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力三、解答题23．ABC V 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 30A A -=. （1）求角A ；（2）若4b =，2c =，求a . 【答案】（1）3π（2）23【解析】（1）由同角三角函数的基本关系求出角A ； （2）由余弦定理即可求出边a 的值； 【详解】解：（1）由sin 3cos 0A A -=，易知cos 0A ≠，则tan 3A =.因为0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得22212cos 164242122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以23a =.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及余弦定理的应用，属于基础题.24．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，M 是PB 的中点，PA ⊥平面ABC ，且23PA =，4AB =，30ABC ︒∠=.（1）求证:BC ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥M —ABC 体积. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）依题意可得AC BC ⊥，再由PA ⊥平面ABC ，得到PA BC ⊥，即可证明BC ⊥平面PAC ；（2）连接OM ，可证//OM PA ，即可得到OM ⊥平面ABC ，OM 为三棱锥M ABC -的高，再根据锥体的体积公式计算可得； 【详解】（1）证明:因为AB 是半圆O 的直径，所以AC BC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，且AC PA A ⋂= 所以BC ⊥平面PAC .（2）解:因为30ABC ∠=︒，4AB =，所以23BC =，1sin 30232ABC S AB BC ︒=⋅⋅⋅=V .连接OM .因为O 、M 分别是AB ，PB 的中点，所以//OM PA ，132OM PA ==.又PA ⊥平面ABC .所以OM ⊥平面ABC .因此OM 为三棱锥M ABC -的高.所以123323M ABC V -=⨯⨯=.【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题. 25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且11a =，23211a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证:123111174n S S S S +++⋯+<. 【答案】（1）21n a n =-（2）2n S n =（3）证明见解析【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得方程组，解得1a ，d ，即可求出通项公式；（2）由等差数列的前n 项和公式直接可得；（3）利用()()22111111n n n n =--<+放缩，再利用裂项相消法求和即可得证； 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得()1111,2211.a a d a d =⎧⎨+++=⎩解得11a =，2d =.所以21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，21(21)2n n S n n +-∴=⨯=. （3）①当1n =时，左边714=<，原不等式成立. ②当2n …时，左边22222111111234n =+++++L 2222111112131411n <++++⋯+----11111132435(1)(1)n n =++++⋯+⨯⨯⨯-⨯+111171171122142224n n n n ⎛⎫=+⨯+--=--< ⎪++⎝⎭. 综上可得，123111174n S S S S +++⋯+<. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，放缩法证明数列不等式及裂项相消法求和，属于中档题.。

2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学真题卷（答案在最后）本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B = {}1,2,3，故选：D2.设命题:p x ∃∈R ，10x -≥，则命题p 的否定为（）A.R x ∀∈，10x -≤B.R x ∀∈，10x -<C.R x ∃∈，10x -≤D.R x ∃∈，10x -<【答案】B 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：R x ∀∈，10x -<．故选：B ．3.已知i 为虚数单位，()1i i 5i a +=+，则实数a 等于（）A.1-B.1C.5- D.5【答案】C 【解析】【分析】化简方程可得i 5i a -=+，由此可求a .【详解】因为()1i i 5i a +=+，即2i i 5i a +=+，可得i 5i a -=+，所以5a =-.故选：C.4.已知2= a，b =，a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（）A.π4B.34π C.6π D.56π【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义求解．【详解】由已知2cos ,2a b a b a b ⋅===，又,],0π[a b ∈ ，∴π,4a b = ，故选：A ．5.如图，在长方体，1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB =，则异面直线CD 与11A C 所成的角的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角．【详解】∵11//CD C D ，∴111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，在直角111AC D中，11111,A D AD C D AB ====，11111113tan 3A D A C D C D ∠==，所以11130AC D ∠=︒，所以异面直线CD 与11A C 所成的角是30︒，故选：A ．6.下列函数为奇函数的是（）A.2y x =B.e xy = C.tan y x= D.ln y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性.【详解】A.2y x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，故A 错误；B.e x y =是非奇非偶函数，故B 错误；C.tan y x =是奇函数，故C 正确；D.ln y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，故D 错误.故选：C7.已知扇形的半径是1cm ，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A.21cmB.22cm C.24cm D.28cm 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得2211··2·1122S r α===，故选：A.8.已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C9.从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm ），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（）A.5.40B.5.42C.5.44D.5.46【答案】A 【解析】【分析】根据众数的定义求解.【详解】根据众数的定义可得，该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值5.40.故选：A.10.为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.【详解】对于A ，得πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭满足题意；对于B ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不满足题意；C ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意；D ，得π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意.故选：A.11.函数()()lg 2f x x =-的零点是（）A.2B.3C.2,0D.()3,0【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，解方程可得结论.【详解】令()0f x =，可得()lg 20x -=，所以21x -=，故3x =.所以函数()()lg 2f x x =-的零点是3.故选：B.12.如图，在ABC V 中，2BO OC =，则AO 等于（）A.1133AB AC +B.1233AB AC +C.2133AB AC +D.2233AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为2BO OC =，所以()2AO AB AC AO -=- ，即得2132,33AO AC AB AO AC AB =+=+ .故选：B.13.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M =“点数不大于2”，事件N =“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A.M 是不可能事件B.N 是必然事件C.M N ⋂是不可能事件D.M N ⋃是必然事件【答案】D 【解析】【分析】根据事件的定义判断．【详解】事件M 是点数为1或2，事件N 是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M N ⋂是点为2，是随机事件，是可能发生的，M N ⋃是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，故选：D ．14.函数23,0log ,0x x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象与x 非正半轴的交点个数及在(0,)+∞上单调性判断即可.【详解】当0x >时，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，排除AB ；当0x ≤时，由0y =，得0x =或1x =-，此时函数图象与x 非正半轴有2个交点，排除C ，选项D 符合题意.故选：D15.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a ，b ，则使log a b 为整数的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为2log 42=，2log 83=，4log 382=，41log 22=，82log 43=，81log 23=，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率2163P ==.故选：B16.设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则（）A.()()12f f ->-B.()()11f f -<C.()()12f f >-D.()()12f f <【答案】D 【解析】【分析】结合函数的单调性比较()()1,2f f --，结合偶函数性质可得()()()()11,22f f f f -=-=，由此确定结论.【详解】因为函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，21-<-，所以()()21f f ->-，A 错误；因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()()()11,22f f f f -=-=，B 错误；所以()()21f f >，()()21f f ->，D 正确，C 错误.故选：D.17.已知两条直线l ，m 与平面α，则下列结论中正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l α⊥，//m α，则l m ⊥C.若//l α，m l ⊥，则m α⊥D.若l α⊥，m l ⊥，则//m α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//l α，//m α，则//l m 或l 与m 相交或异面，故A 错误；对于B ；因为//m α，则存在直线a α⊂，使得//m a ，又l α⊥，所以l a ⊥，则l m ⊥，故B 正确；对于C ：因为//l α，m l ⊥，则m α⊥或//m α或m 与平面α相交（不垂直）或m α⊂，故C 错误；对于D ：因为l α⊥，m l ⊥，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B18.已知函数()22xxf x -=-，()22xxg x -=+，下列关于函数()f x 和()g x 的三个结论：①()g x 的值域是[)2,+∞；②存在0R x ∈，使得()03f x =，()04g x =；③任意x ，R y ∈，都有()()()()f x y f x y f x g y ++-=.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.①②C.①③D.②③【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合122xx-=，判断②，根据指数运算，即可判断③.【详解】①()222x x g x -=+≥=，当22-=x x ，即0x =时等号成立，故①正确；②联立223224x x x x--⎧-=⎨+=⎩，解得：722x=，122x -=，显然这样122x x -=矛盾，故②错误；③()()2222x yx y x y x y f x y f x y +----+++-=-+-，()()()()22222222x x y y x y x y x y x y f x g y --+--+--=-+=+--，所以()()()()f x y f x y f x g y ++-=，故③正确.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.2cos 3π=________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解.【详解】2πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-.20.已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =________.【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.21.某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =________.【答案】300【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n 人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人，则每个学生被抽到的概率为1001600p =，可得114401600176016n =++，解得300n =（人），故答案为：300.22.如图，城市A 在观察站B 的北偏东40︒方向上且相距20km ，在观察站C 的北偏西20︒方向上相距30km .则观察站B 和C 相距________km.【答案】【解析】【分析】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理求.BC 【详解】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理可得2222·cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，所以21400900220307002BC =+-⨯⨯⨯=，故BC =故答案为：.三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.23.已知函数()1sin 2f x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）πT =；（2）π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【小问1详解】因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）求证：1BD AC ⊥；（2）若2AB =，1AA =，求三棱锥1B DCC -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得.（2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可.【小问1详解】证法一：由题意知，ABC V 为正三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，又因为1AC CC C = ，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.证法二：如图，取1CC 中点E ，连接DE ，BE ，则BDE ∠或其补角即为异面直线1AC 与BD 所成的角，在BDE V 中，3BD =，3DE =，6BE =则BDE V 为直角三角形，90BDE ∠=︒，即异面直线1AC 与BD 所成的角为直角，故1BD AC ⊥.【小问2详解】因为ABC V 为正三角形，2AB =，所以3BD =，所以BCD △的面积11322S BD DC =⋅=，又1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BC ⊥，1CC DC ⊥，所以1C CD 的面积21122S DC CC =⋅=1BC C △的面积31122S BC CC =⋅=，由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥，13C D =，所以1BC D 的面积4113322S BD DC =⋅=，所以三棱锥1B DCC -的表面积123432S S S S S =+++=.25.为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长72米，宽54米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x 米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中13x ≤≤.（1）若种植植物的区域面积不小于3640平方米，求x 的取值范围；（2）若修建观赏通道的总费用为11881199m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，种植植物的费用为m x元/平方米（m 为正常数）.当x 为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m 表示）.（完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用）【答案】（1）[]1,2；（2）32x =，最低总费用3474m 元.【解析】【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论；（2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】由题意得种植植物的区域面积为()()7254x x --，所以()()72543640x x --≥，即21262480x x -+≥，解得2x ≤或124x ≥.又13x ≤≤，得12x ≤≤，所以x 的取值范围为[]1,2.【小问2详解】设完成此计划所需要的总费用为S 元，则()()1188997254119930041263004126m S x x m x m x m m x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=--⋅+-=+-≥⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36001263474m m m =-=，当且仅当94x x =即32x =时等号成立.所以，当32x =时，完成此计划所需要的最低总费用3474m 元.。