电容元件和电感元件

电容元件和电感元件电容元件电感元件公式q(t)=cu c(t)伏安关系式功率p=u c(t)i c(t)p=u L(t)i L(t)贮能W(t)=cu c2(t)/2W(t)=Li L2(t)/2电容电压不能跃变电感电流不能跃变共同点：都是记忆元件，惯性元件。

零输入响应当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.RC电路的零输入响应右图(a) 所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压u C(0-)=R0I S，t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电，电路如图 (b)所示，电路中形成电流i。

故 t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。

换路后由图（b）可知，根据KVL有-u R+u c=0,而u R=i R,代入上式可得上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为u c=Ae pt（t≥0）式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。

p为１式对应的特征方程的根。

将２式代入１式可得特征方程为RC+1=0p从而解出特征根为则通解将初始条件u c(0+)=R0I S代入,求出积分常数A为(t≥0)令τ=RC，它是具有时间的量纲，即故称τ为时间常数, 这样两式可分别写为(t≥0)(t≥0)由于为负，故u c和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值u c(0+)=R0I S 及当t→∞时，u c和i 衰减到零。

画出u c及i的波形如图所示。

RL电路的零输入响应一阶RL电路如图(a)所示，t=0-时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。

即i L(0-)=I0，故电感储存了磁能。

在t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R 放电，在电路中产生电流和电压，如图(b)所示。

由于t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。

换路后由图（b）可知，根据KVL有u R+u L=0,将代入上式可得上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为i L=Ae pt(t≥0)将2式代入1式，得特征方程为LP+R=0 故特征根为则通解(t≥0)若令，τ是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为(t≥0)将初始条件代入,求出积分常数A为i L (0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为(t≥0) 电阻及电感的电压分别是(t≥0) (t≥0)分别作出i L 、u R 和、u L的波形如图(a)、(b)所示。

由图可知，i L、u R及u L的初始值、u L(0+)= -RI0，它们都是（亦是最大值）分别为i L(0+)=I0、u R(0+)=RI0从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。

衰减的快慢取决于时间常数τ，这与一阶RC零输入电路情况相同。

从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。

且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。

若用f(t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为(t≥0)应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者τ=RC，后者τ=L/R。

例如图 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。

求t≥0时的电压u c、u R和电流i c。

解由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。

所以由换路定律，得作出t=0+等效电路如图(b)所示，电容用4V电压源代替，由图(b)可知换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示，为：时间常数为计算零输入响应，得V （t≥0 ）V （t≥0 ）A （t≥0 ）也可以由求出i C = -0.8e -t A （t≥0 ）零状态响应在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。

RC电路的零状态响应如a图所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励Uk闭合后电路中的响应。

S接通，试确定在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律u c(0+)=u c(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，u R(0+)=U S，故电容开始充电。

随着时间的推移，u C 将逐渐升高，u R则逐渐降低，i R（等于i c）逐渐减小。

当t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流i c(∞)=0，u R (∞)=0，u c=(∞)=U s。

由kVL u R+u c=U S而u R=R i R=R i C=，（t≥0 ）1代入上式可得到以uc为变量的微分方程式初始条件为u C(0+)=01式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解u CP，即u c=u ch + u cp 1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为式中A 为积分常数。

特解u cp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设u cp=k，代入1式得u cp=k=U s1式的解（完全解）为将初始条件u c(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-U S，故由于稳态值u c (∞)=U S，故上式可写成（t≥0 ）2式由2式可知，当t=0时，u c(0)=0，当t=τ时，u c(τ) =U S （1-e–1）=63.2%U S，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值u c=(∞)=U S的63.2%所需的时间是τ。

而当t=4~5τ时，u c上升到其稳态值U S的98.17%~99.3%，一般认为充电过程即告结束。

电路中其他响应分别为根据u c、i c、i R及u R的表达式，画出它们的波形如(b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。

RL电路的零状态响应对于图(a)所示的一阶RL电路，U S为直流电压源，t＜0时，电感L中的电流为零。

t=0时开关s闭合，电路与激励U S接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)= i L(0-)=0, 选择i L为首先求解的变量，由KVL有：u L+u R=U S将, u R=R i L , 代入上式，可得初始条件为i L(0+)=0 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解i Lh和非齐次方程的特解i LP两部分组成，即i L=i Lh+i Lp其齐次方程的通解也应为式中时间常数τ=L/R，与电路激励无关。

非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解i LP为常量，令i LP =K，代入1式得i LP=K=U s/R 因此完全解为代入t=0时的初始条件i L(0+)=0得A=-Us/R于是由于i L的稳态值，故上式可写成：（t≥0 ）电路中的其他响应分别为（t≥0 ）（t≥0 ）（t≥0 ）它们的波形如图(b)、(c)所示。

其物理过程是，S闭合后，i L(即i R)从初始值零逐渐上升，u L从初始值u L(0+)=US 逐渐下降，而u R从u R(0+)=0逐渐上升，当t=∞，电路达到稳态，这时L相当于短路，i L(∞)=U S／R，u L(∞)= 0，u R(∞)= U S。

从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。

全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。

如图所示，设u C=u C(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。

对t≥0的电路，以u C为求解变量可列出描述电路的微分方程为（1）1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即代入初始条件u C (0+)=U0 得K= U0 - U S从而得到通过对1式分析可知，当U S=0时，即为RC零输入电路的微分方程。

而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。

这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。

上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。

1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。

如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。

2式中第二项U S= u C(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。

这样有全响应=暂态响应+稳态响应2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。

将2式改写后可得：3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。

因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应=零输入响应+零状态响应求解一阶电路三要素法如用f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f (∞) 表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。

式中f (0+)、f (∞) 和称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。

由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：一、确定初始值f (0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。

(1) 先作t=0-电路。

确定换路前电路的状态u C(0-)或i L(0-), 这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。

(2) 作t=0+电路。

这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。

若u C(0+)=u C(0-)=U0，i L(0+)=i L(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，L用电流源I0代替。

若u C(0+)=u C(0-)=0 或i L(0+)=i L(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。

可用下图说明。

作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。

二、确定稳态值f(∞)作t=∞电路。

瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。

在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。

三、求时间常数τRC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。